TD 4 : HEC 2001 épreuve II

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1 TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,, a n ) des numéros tirés est aussi appelée permutation de l ensemble {, 2,, n} Étant donné deux entiers k et p vérifiant k p n, la suite (a k,, a p ) se réduisant à (a k ) dans le cas où k est égal à p est appelée sous-suite de (a, a 2,, a n ) et son nombre d éléments est appelé longueur de cette sous-suite On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de l univers Ω, ensemble des permutations de {, 2,, n}, muni de la tribu de ses parties P(Ω) et de la probabilité uniforme P, ce qui signifie que, pour toute permutation ω de {, 2,, n}, on a :P ({ω}) n! Si X est une variable aléatoire définie sur (Ω, P(Ω), P), on note E(X) son espérance et V(X) sa variance Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur (Ω, P(Ω), P), on note Cov(X, Y ) leur covariance I Préliminaire Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans {, 2,, m} où m est un entier supérieur ou égal à 2 Montrer l égalité : E(X) P([X k]) II Première sous-suite croissante Étant donné une permutation (a, a 2,, a n ) de {, 2,, n}, la première sous-suite croissante est définie de la façon suivante : dans le cas a < a 2 < < a n, la première sous-suite croissante est (a, a 2,, a n ) ; dans le cas contraire, k étant le plus petit entier de {,, n } vérifiant a k > a k+, la première sous-suite croissante est (a,, a k ) Soit L la variable aléatoire définie sur (Ω, P(Ω), P) qui, à toute permutation ω, associe la longueur de sa première soussuite croissante Par exemple, si n 9 et ω (2, 3, 5, 4, 9, 6, 7, 8, ), comme 2 < 3 < 5 et 5 > 4, on a : L(ω) 3 (a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par L? Que vaut P([L n])? (b) Montrer que, pour tout entier k de {, 2,, n}, on a : P([L k]) En déduire la loi de L 2 Donner la valeur de E(L) sous forme d une somme et déterminer la limite de E(L) quand n tend vers l infini III Deuxième sous-suite croissante Étant donné une permutation (a, a 2,, a n ) de {, 2,, n} et sa première sous-suite croissante (a,, a k ) ; si celle-ci se termine par a n (ie si k n), on dit que la deuxième sous-suite croissante n existe pas ; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de (a k+,, a n ) est appelée deuxième sous-suite croissante de (a, a 2,, a n ) Soit L la variable aléatoire définie sur (Ω, P(Ω), P) qui, à toute permutation ω, associe 0 s il n existe pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire Par exemple, si n 9 et ω (2, 3, 5, 4, 9, 6, 7, 8, ), la deuxième sous-suite croissante est (4, 9) et l on a : L (ω) 2 Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par L? Que vaut P([L 0])? 2 On suppose, dans cette question seulement, que n est égal à 3 (a) Montrer que la loi du couple (L, L ) est donnée par le tableau suivant : (b) Donner la loi de L et calculer son espérance L \L /6 /6 /3 0 2 /3 0 0 (c) Calculer la covariance de L et de L Pouvait-on prévoir le signe de cette covariance? 3 On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 (a) Dénombrer les parties de l ensemble {, 2,, n} distinctes de, {}, {, 2},, {, 2,, n } (b) En déduire P([L + L n]) (c) Montrer de même que, pour tout entier k de {, 2,, n}, on a : P([L + L k]) 2k k (d) Donner la valeur de E(L + L ) sous forme d une somme (e) En déduire E(L ) et sa limite quand n tend vers l infini L2 Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne

2 La partie ci-dessous ne sera pas traitée en TD mais est donnée à titre d information IV Nombre de sous-suites croissantes Étant donné une permutation (a, a 2,, a n ) de {, 2,, n}, si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas par a n, on définit la troisième sous-suite croissante à l instar de la deuxième, etc, jusqu à ce que l on ait défini une sous-suite croissante se terminant par a n Soit T la variable aléatoire définie sur (Ω, P(Ω), P) qui, à toute permutation ω, associe le nombre de ses sous-suites croissantes Par exemple, si n 9 et ω (2, 3, 5, 4, 9, 6, 7, 8, ), comme les sous-suites croissantes sont (2, 3, 5), (4, 9),(6, 7, 8) et (), on a : T (ω) 4 (a) Donner la loi de T dans le cas où n vaut 2 Calculer son espérance et sa variance (b) Donner la loi de T dans le cas où n vaut 3 Calculer son espérance et sa variance 2 On suppose désormais l entier n supérieur ou égal à 4 (a) Calculer P([T ]) et P([T n]) (b) Comparer les évènements [L + L n] et [T 2] En déduire la valeur de P([T 2]) (c) Donner la loi de T dans le cas où n vaut 4 Calculer son espérance et sa variance 3 Pour tout entier i de {, 2,, n }, soit A i l évènement égal à l ensemble des permutations (a, a 2,, a n ) vérifiant a i > a i+, et soit X i la variable aléatoire qui, à toute permutation ω, associe si ω A i et 0 sinon (a) Montrer que X i suit la loi de Bernoulli de paramètre 2 Donner son espérance et sa variance (b) Donner une expression de T en fonction de X i En déduire l égalité : E(T ) n + 2 (c) Montrer que l on a : i {,, n 2}, P(A i A i+ ) 6 En déduire la valeur de Cov(X i, X i+ ) (d) Montrer que, pour tout couple (i, j) d entiers vérifiant i < i + 2 j n, les évènements A i et A j sont indépendants En déduire l égalité : Cov(X i, X j ) 0 n + (e) Établir enfin l égalité : V(T ) 2 4 On suppose maintenant que n est égal à 5 On considère 000 variables aléatoires T,, T 000, mutuellement indépendantes, de même loi que la variable T et on note S la variable aléatoire égale à T i i On note φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante : φ( 5) 0, 987 Calculer une valeur approchée de la probabilité P([2, 95 < S < 3, 05]) L2 Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne

3 CORRECTION I Préliminaire Comme X (Ω) {, 2,, m} on a p([x k]) p ( m ik (X i)) p (X i) ik p (X k) p (X i) ik k i m i p (X i) [ i p (X i) p (X i) ip (X i) E (X) i ] i i On effectue ici une intervertion des deux : La première porte sur tous les k de à n et tous les i de k à m Donc sur tous les i et k tels que k i m ce qui peut se relire : i m et k i II Première sous-suite croissante (a) La première sous liste croissante est au minimum de longueur (atteint par exemple pour (3,, 2 ) et au maximum de longueur n quand tous les termes sont en ordre croissant et donc que la permutation est (, 2,, n) On a donc p([l n]) p (, 2, n) /n! car toutes les permutations sont équiprobables (et d après la normalisation donnée par l énoncé) (b) (L k) signifie que la première sous suite croissante est au moins de longueur k On calcule la probabilité en dénombrant : Cet événement est caractérisé par la liste en ordre croissant et sans répétition de ces k premiers éléments et par la permutation des n k éléments restants Or pour connaitre l arrangement strictement croissant, il suffit de connaitre la combinaison de ces éléments (il n y a qu une seule façon alors de les réordonner) Donc le cardinal est : L k Cn k (n k)! et la probabiltié p (L k) Ck n (n k)! après simplification n! des factorielles On a alors p (L k) p (L k) + p (L > k) (incompatibles) p (L k) + p (L k + ) car L ne prend que des valeurs entières p (L k) p (L k) p (L k + ) (k+)! Donc la loi de L est : L (Ω) [[, n]] et p (L n) n! et p (L k) 2 Pour calculer E (L) on repasse par la question préliminaire : E (L) II Deuxième sous-suite croissante p(l k]) e k (k+)! si k + n donc si k n k (k+)! si k [[, n ]] n On a au minimum L 0 et au maximum L n (si la première sous-suite est de longueur et les autres termes en ordre croissant) L 0 signifie qu il n y a pas de deuxième sous-suite et donc que la première est de longueur n : L n Donc p (L 0) p (L n) /n! 2 On suppose, dans cette question seulement, que n est égal à 3 (a) Pour déterminer la loi du couple on liste toutes les permutations possibles Comme elles sont équiprobables, il ne restera qu à compter le nombre de celles correspondant à chaque valeur du couple : k0 L2 Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne

4 (, 2, 3) (, 3, 2) (2,, 3) (2, 3, ) (3,, 2, ) (3, 2, ) L L On a donc par exemple L L 2 2 et p (L L 2) 2/6 et on a donc bien : L \L 2 3 p (L i) /6 /6 /6 /3 0 /2 2 /3 0 0 /3 (b) La loi de L est alors une loi marginale donnée ci-dessus et son espérance est : 0/6 + /2 + 2/3 7/6 E (L ) (c) On a Cov (L, L ) E (L L ) E (L) E (L ) E (L L ) /6 + /6 + 2/ / On a E (L) k D où Cov (L, L ) < 0 Le signe s explique par le fait que plus L est grand plus L tend à être petit 3 On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 (a) Il y a 2 n parties parmi n éléments ( n k0 Ck n 2 n ) donc 2 n n parties différentes de celles données (b) Or pour avoir L + L n il faut avoir au plus une rupture de croissance Cette rupture de croissance étant donnée, la permutation est définie par la combinaison des éléments de la première sous suite croissante (il n y a qu une seule façon de les retrier) Donc la permutation est déterminée par cette combinaison Mais elle ne doit pas être, car la première sous suite est au moins de longueur Elle ne doit pas être réduite à {} car la seconde sous suite commencerait au moins à 2 et la première ne serait pas () Ni {, 2} car la seconde sous suite commencerait au moins à 3 et la première ne serait pas réduite à (, 2) Ni {, 2,, n } car le dernier terme serait n et la première sous-suite serait (, 2,, n) Finalement ces permutations sont caractérisées par toutes les combinaisons sauf, {}, {, 2},, {, 2, } Il y en a donc 2 n n et par équiprobabilité, p (L + L n) 2n n n! (c) Par un raisonnement analogue à celui-ci dessus, on a (d) A l aide du préliminaire, on obtient p (L + L k) Ck n(2 k k)(n k)! n! E(L + L ) p (L + L k) 2k k 2 k k L2 Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne

5 On remarque que si n tend vers l infini, alors lim E(L + n + L ) e 2 e + (e) Puisque l espérance est linéaire, on a E(L + L ) E(L) + E(L ), ce qui donne lim n + E(L ) e 2 e + (e ) e 2 2e La suite du corrigé sera mis en ligne prochainement L2 Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne