DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

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1 DÉRIVÉE I Nombre dérivé - Tangente Exercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f(x) = -x pour x [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité cm. 2 ) On admet que la courbe (C) schématise un dôme à l'échelle /00. Sur ce dôme se trouve un mât d'une hauteur de mètre. Quelles sont les coordonnées du point A représentant l'extrémité de ce mât? 3 ) Le point H de coordonnées (a ; 0 ) avec a > 4 représente un objectif d'appareil photographique. Justifier graphiquement que pour a = 5, l'extrémité du mât ne peut pas être photographiée. Qu'en est-il pour a = 2? 4 ) Quelle est la valeur minimale de a pour que l'objectif, correctement orienté, puisse photographier l'extrémité du mât. Exercice 02 ( voir animation ) ) Tracer dans un repère (O; i, j ) la représentation graphique de la parabole d'équation y = x 2. 2 ) On considère le point R d'abscisse 2 de la parabole et δ une droite passant par R. Justifier que si δ est une droite parallèle à (Oy), elle a un seul point d'intersection avec la parabole. Dans toute la suite on suppose que δ n'est pas parallèle à (Oy). 3 ) a) Donner une équation de δ. b) Étudier le nombre de points communs à δ et à la parabole et justifier qu'il existe une et une seule droite δ ayant un seul point commun avec la parabole. Donner le coefficient directeur de cette droite. 4 ) Reprendre la question 3 avec le point R de la parabole d'abscisse 3. 5 ) Reprendre la question 3 avec le point R d'abscisse r (r IR). Exercice 03 Un mobile se déplace sur un axe (O, u ). On suppose que sa position sur cet axe à l'instant t ( t ³ 0) est donnée par son abscisse : p(t) = t 2 + 2t. L'unité de longueur étant le mètre, l'unité de temps la seconde. ) Quelle sont les positions aux instants t = 0 ; t = ; t = 2 ; t = 3. Faire un dessin. Facultatif : justifier que le mobile se déplace dans le sens du vecteur u, sans revenir en arrière. 2 ) Déterminer la distance parcourue lorsque t varie de à 3. Déterminer la vitesse moyenne sur l'intervalle [ ; 3]. 3 ) Donner les vitesses moyennes du mobile sur les intervalles [ ; 2] ; [ ;,5] ; [ ;,25] ; [ ;,] ; [ ;,0] Que peut-on conjecturer de la vitesse à l'instant t =? (vitesse instantanée) Exercice 04 ( voir animation ) ) Tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur [0 ; 3] par f(x) = x 2 + 2x On prendra un repère (O; i, j ) d'unités 2cm sur Ox et 0,5cm sur Oy. 2 ) Placer sur la courbe le point P d'abscisse. 3 ) Pour chacune des valeurs de x suivantes, calculer f(x), placer le point M d'abscisse x de la courbe, tracer la droite (PM) et donner son coefficient directeur. x = 2 ; x =,5 ; x =, 4 ) On considère le point M de la courbe d'abscisse + h (avec h petit). Donner en fonction de h la valeur de f( + h). En déduire le coefficient directeur de la droite (PM). Que devient la droite (PM) et que devient son coefficient directeur lorsque h tend vers 0. ères Dérivée page

2 Considérons le point M 0 d'abscisse x 0 de la parabole représentant la fonction carré f(x) = x 2. Si on considère un point M sur la courbe, proche du point M 0, l'abscisse de M peut s'écrire sous la forme x 0 + h (avec h "petit"). L'ordonnée du point M est alors (x 0 + h) 2. Le coefficient de la droite (M 0 M) est : On peut remarquer que lorsque h tend vers 0, ce coefficient directeur tend vers 2x 0. On écrira lim f(x 0 + h) - f(x 0 ) = 2x h 0 h 0 On retrouve ainsi le coefficient directeur de la tangente à la parabole au point d'abscisse x 0 (voir Exercice 2) Lorsqu'on prend x 0 = 2, si on superpose sur le graphique la y - y 0 = f(x) - f(x 0 ) = (x 0 + h)2 - x 2 0 = h2 + 2x 0 h = h + 2x x - x 0 x - x 0 x 0 + h - x 0 h 0 parabole et la droite passant par M 0 et de coefficient directeur 4, c'est-à-dire la droite d'équation y = 4x - 4, on peut constater que cette droite est, au voisinage du point M 0, quasiment confondue avec la courbe. Remarque Dans le cas général de la représentation graphique d'une fonction f, le coefficient directeur de la droite (M 0 M) sera f(x) - f(x 0 ) f(x ou encore 0 + h) - f( (x 0 ). x - x 0 h où x = x 0 + h est l'abscisse de M et x 0 l'abscisse de M 0 Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de M 0 et la droite (M 0 M) peut avoir une position "limite", représentéee en rouge sur le dessin, que l'on appelera tangente à la courbe au point M 0. ( voir animation ) M 0 M M M Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit x 0 I. Si f(x 0 + h) - f(x 0 ) h tend vers un réel a quand h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en x 0. Le réel a sera noté f'(x 0 ) et appelé nombre dérivé de f en x 0. Si f est la fonction carré, définie sur IR, (Voir calcul dans l'exemple précédent) Exercice 05 Soit f définie sur IR par f(x) = 2x 2 - x. Montrer que f est dérivable en x 0 = et donner la valeur de f'(). Vérifier en utilisant une calculatrice ou un grapheur. Exercice 06 Soit f définie sur IR par f(x) = x - x 2. Montrer que f est dérivable en x 0 = -2 et donner la valeur de f'(-2) Définition - Propriété Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en x 0 I. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. La droite passant par M 0 (x 0 ; f(x 0 )) et de coefficient directeur f'(x 0 ) est appelée tangente à (C) en M 0. Cette tangente T a pour équation : y = f'(x 0 ) (x- x 0 ) + f (x 0 ). Cas particulier Si f'(x 0 ) = 0, T est parallèle à l'axe des abscisses (horizontale). On notera lim f(x 0 + h) - f(x 0 ) = f'(x h 0 h 0 ). pour tout x 0 élément de IR, f est dérivable en x 0 et f'(x 0 ) = 2x 0. é (voir démonstration 0) ères Dérivée page 2

3 Remarque Si f est dérivable en x 0, on sait que f(x 0 + h) - f(x 0 ) tend vers f'(x h 0 ) quand h tend vers 0. f(x On en déduit que 0 + h) - f(x 0 ) - f'(x h 0 ) tend vers 0 quand h tend vers 0. Si on pose ε(h) = f(x 0 + h) - f(x 0 ) - f'(x h 0 ), on a alors f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f'(x 0 ) x h + h ε(h) Propriété - Définition (voir démonstration 02) Si f est dérivable en x 0, on peut écrire f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f'(x 0 ) x h + h ε(h) ε étant une fonction telle que ε(h) tend vers 0 quand h tend vers 0. On dit que f(x 0 ) + f'(x 0 ) x h est une approximation affine de f(x 0 + h). (On peut même démontrer que c'est la "meilleure" approximation affine de f(x 0 + h) ) Soit f la fonction carré. f est dérivable en tout x 0 élément de IR et on sait que f'(x 0 ) = 2x 0. En prenant x 0 = 3, on a f(3) = 9 et f'(3) = 6. On en déduit que f(3 + h) a pour approximation affine f(3) + f'(3)h, c'est-à-dire que (3 + h) 2 a pour approximation affine 9 + 6h. Si on applique ceci avec h = 0,0, on en déduit que 3,0 2 9,06. On peut vérifier avec une calculatrice. L'approximation est bonne lorsque h est "petit" car dans ce cas la courbe est très proche de sa tangente. Exercice 07 On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = x. ) Calculer f( + h) - f(). h En déduire que f est dérivable en et donner la valeur de f'(). Donner une approximation affine de. Vérifier sur un exemple en utilisant une calculatrice. + h 2 ) Calculer f(2 + h) - f(2). h En déduire que f est dérivable en 2 et donner la valeur de f'(2). Quelle approximation affine peut-on en déduire? Vérifier sur un exemple en utilisant une calculatrice. 3 ) Soit x 0 ]0; + [. Justifier que f est dérivable en x 0 et donner la valeur de f'(x 0 ). Exercice 08 ( voir animation ) Soit f définie sur IR par : f(x) = x 3 + 3x 2 ) Tracer la courbe en utilisant une calculatrice ou un ordinateur. 2 ) Donner une équation de la droite de coefficient directeur a passant par le point de la courbe d'abscisse En traçant cette droite sur le même graphique que la courbe de f, chercher la valeur de a correspondant à la tangente à la courbe. On pourra affiner le résultat en faisant une fenêtre de zoom. 3 ) En utilisant la méthode précédente, compléter le tableau : abscisse du point x = x = 0 x = - x = -2 x = -3 coefficient directeur de la tangente a = a = a = a = a = 4 ) Soit x 0 IR. Justifier que f est dérivable en x 0 et donner la valeur de f'(x 0 ). Comparer avec les résultats trouvés à la question précédente. ères Dérivée page 3

4 Exercice 09 Soit f définie sur [0; + [ par : f(x) = x. ) Montrer que f(3 + h) - f(3) = h 3 + h + 3 En déduire, en utilisant la définition, que f est dérivable en 3 et donner la valeur de f'(3). 2 ) Soit x 0 [0; + [. Étudier la dérivabilité de f en x 0 et donner, s'il existe, le nombre dérivé de f en x 0. 3 ) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur tracer la représentation graphique de f. Que peut-on dire de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0? Exercice 0 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 3x - 5. Soit x 0 IR. Étudier la dérivabilité de f en x 0 et donner, s'il existe, le nombre dérivé en x 0. En déduire une approximation affine de f(x 0 + h). Que peut-on dire de cette approximation affine? Exercice On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = x. On rappelle que si x ³ 0, on a f(x) = x et si x < 0 f(x) = - x. Tracer la représentation graphique de f. Soit x 0 IR. Étudier la dérivabilité de f en x 0. (On pourra envisager plusieurs cas) Exercice 2 On considère la fonction définie sur IR par f(x) = x 2 -. Donner, suivant les valeurs de x, une expression de f(x) n'utilisant pas la valeur absolue. Tracer la représentation graphique de f. Étudier la dérivabilité de f en -2, en 2, en 0, en et en -. Quelle particularité a la courbe de f en ses points d'abscisses - et? Exercice 3 On donne ci-contre la courbe représentative d'une fonction f et quelques unes de ses tangentes. Donner en utilisant ce graphique les valeurs de : f(-4) f'(-4) f(-3) f'(-3) f(0) f'(0) f(3) f'(3) f(6) f'(6) O Exercice 4 Tracer la courbe d'une fonction f vérifiant f(-2) = ; f(0) = 2 ; f(2) = 2 ; f(5) = f'(-2) = - 2 ; f'(0) = 0 ; f'(2) = ; f'(5) = -3 ères Dérivée page 4

5 II Fonction dérivée - Opérations Définition Si une fonction f est dérivable en tout x 0 d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. L'application qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée f'. Considérons la fonction f (racine carrée), définie sur [0; + [ par f(x) = x. (Voir Exercice 09) f est dérivable sur ]0; + [. Pour tout x 0 ]0; + [, le nombre dérivé de f en x 0 est f'(x 0 ) =. 2 x 0 La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donc la fonction f' définie sur ]0 ; + [ par : f'(x) = Exercice 5 On considère les fonctions f, g, t définies sur IR par : f(x) = k, k IR g(x) = x t(x) = ax + b, a IR et b IR En utilisant la définition, démontrer que ces fonctions sont dérivables sur IR et donner pour chacune d'elles sa fonction dérivée. Exercice 6 On considère les fonctions f, g, h définies sur IR par : f(x) = x 2 g(x) = x 3 t(x) = x 4 En utilisant la définition, démontrer que ces fonctions sont dérivables sur IR et donner pour chacune d'elles sa fonction dérivée. Conjecturer l'expression de la dérivée de la fonction p définie par p(x) = x n n IN * Dérivées des fonctions usuelles (en partie admis) On donne ci-dessous les dérivées de fonctions rencontrées couramment. Fonction Dérivée Ensemble f(x) = k f'(x) = 0 IR f(x) = x f'(x) = IR f(x) = ax + b f'(x) = a IR f(x) = x 2 f'(x) = 2x IR f(x) = x 3 f'(x) = 3x 2 IR 2 x f(x) = x f(x) = x f'(x) = - x 2 f'(x) = 2 x ]- ; 0[ ou ]0 ; + [ ]0 ; + [ f(x) = x n n ZZ n 0 f'(x) = nx n- IR si n > 0 ]- ; 0[ ou ]0; + [ si n < 0 f(x) = sin x f'(x) = cos x IR f(x) = cos x f'(x) = - sin x IR Remarque Si f' est elle-même dérivable sur I, la dérivée de f' sera notée f" ou f (2), on l'appelle dérivée seconde de f. On peut ainsi, par itérations, définir si elle existe la dérivée d'ordre n de f que l'on notera f (n). ères Dérivée page 5

6 Propriété (voir démonstration 03) Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la somme u + v est dérivable sur I et on a (u + v)' = u' + v' Soit f définie sur IR par f(x) = x 2 + x On pose u(x) = x 2 et v(x) = x. Les fonctions u et v sont dérivables sur IR et on a u'(x) = 2x et v'(x) =, donc f est dérivable sur IR et f'(x) = 2x + Exercice 7 Pour chacune des fonctions, donner l'ensemble sur lequel elle est dérivable et calculer sa dérivée. ) f(x) = x 2 + 5x 2 ) f(x) = -x + x 3 ) f(x) = x 2 + x 6 4 ) f(x) = x 3 + 3x + 5 ) f(x) = 2x + + cos x 6 ) f(x) = x + x Propriété (voir démonstration 04) Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction u x v est dérivable sur I et on a (u x v)' = u' x v + u x v' s Soit f définie sur IR par f(x) = (x 2 + x)( - x) On pose u(x) = x 2 + x et v(x) = - x, les fonctions u et v sont dérivables sur IR et on a u'(x) = 2x + et v'(x) = -, alors f est dérivable sur IR et f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) donc f'(x) = (2x + )( - x) + (x 2 + x)(-) = 2x - 2x x - x 2 - x = -3x 2 + NB : On pourrait aussi écrire f(x) = (x 2 + x)( - x) = x 2 - x 3 + x - x 2 = -x 3 + x et dériver en utilisant cette expression. Le résultat est bien entendu identique. Soit f définie sur [0; + [ par f(x) = (2x + 3) x On pose u(x) = 2x + 3 et v(x) = x, les fonctions u et v sont dérivables sur ]0; + [ et on a u'(x) = 2 et v'(x) =, 2 x alors f est dérivable sur ]0; + [ et f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) donc f'(x) = 2 x + (2x + 3) = 4x + 2x + 3 = 6x x 2 x 2 x 2 x NB : La fonction racine carrée n'étant pas dérivable en 0, on ne peut utiliser la formule que sur l'intervalle ]0; + [ Cas particulier Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et k un réel, alors la fonction ku est dérivable sur I et on a ( ku )' = k u' Soit f définie sur IR par f(x) = 5x 2 On pose u(x) = x 2 et k = 5, la fonction u est dérivable sur IR et on a u'(x) = 2x, alors f est dérivable sur IR et f'(x) = k u'(x) donc f'(x) = 5 x 2x = 0x Exercice 8 Pour chacune des fonctions, donner l'ensemble sur lequel elle est dérivable et calculer sa dérivée. ) f(x) = 3 sin x 2 ) f(x) = 8x 4-7x 3 + 3x 2-7x 3 ) f(x) = 8 x + 3 x 4 ) f(x) = (-3x - 5)(x 2 + 3x + 7) 5 ) f(x) = (2x + ) x x 6 ) f(x) = (x 2-2x - ) 2 ères Dérivée page 6

7 Propriété (voir démonstration 05) Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et si u ne s'annule pas sur I, alors la fonction u est dérivable sur I et on a u ' = - u' u 2 Soit f définie par f(x) = x 2 +. f est définie sur IR (car x pour tout réel x ) On pose u(x) = x 2 +. La fonction u est dérivable sur IR et on a u'(x) = 2x. donc f est dérivable sur IR et f'(x) = - 2x pour tout x IR. (x ) Remarque L'utilisation des propriétés permet de justifier que les fonction polynômes sont dérivables sur IR. On appelle fonction rationnelle toute fonction s'exprimant comme le quotient de deux polynômes. Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Exercice 9 Pour chacune des fonctions, donner l'ensemble sur lequel elle est dérivable et calculer sa dérivée. ) f(x) = ; 2 ) f(x) = ; 3 ) f(x) = 2 x 3-5x x 2 ; 4 ) f(x) = x 2x + Propriété (voir démonstration 06) Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction u est dérivable sur I et on a u ' = u' x v - u x v' v v v 2 Soit f définie sur IR par f(x) = -3x + 5 x 2 +. On pose u(x) = -3x + 5 et v(x) = x2 +. Les fonctions u et v sont dérivables sur IR et v ne s'annule pas (x 2 + ³ pour tout réel x). On a u'(x) = -3 et v'(x) = 2x, f'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x) (v(x)) 2 donc f'(x) = 3x2-0x - 3 (x 2 + ) 2 Exercice 20 alors f est dérivable sur IR et = -3(x2 + ) - (-3x + 5)(2x) (x 2 + ) 2 = -3x x 2-0x (x 2 + ) 2 Pour chacune des fonctions, donner l'ensemble sur lequel elle est dérivable et calculer sa dérivée. ) f(x) = x + 2 ; 2 ) f(x) = 2x + 2x - 3 x 2 ; 3 ) f(x) = 2 + 3x + 3x x 2 ; 4 ) f(x) = x + + 2x Exercice 2 On considère la fonction f n définie sur IR par f n (x) = x n où n est un entier naturel. ) Rappeler l'expression de la dérivée de f n dans les cas n = 0 ; n = ; n = 2 ; n = 3. 2 ) En utilisant la formule (u x v)' = u' x v + u x v', démontrer que f n est dérivable sur IR et donner l'expression de la dérivée de f n dans les cas n = 4 ; n = 5 et n = 6. 3 ) On suppose que pour un entier naturel n non nul fixé, f n est dérivable sur IR et que f' n (x) = nx n-. Démontrer alors que f n+ est dérivable sur IR et donner l'expression de la dérivée de f n+. 4 ) En déduire la dérivée de f n dans les cas n = 7 ; n = 8 ; n = 9 et n = 0. ères Dérivée page 7

8 Exercice 22 Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes. f(x) = x 3-3x 2 + 2x - 5 g(x) = x2-3x + h(x) = x p(x) = 2 x4 - x x q(x) = x + 2 Exercice 23 x4 x r(x) = 4-2x3 3 Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes. f(x) = 3 2x p(x) = (x - 3) g(x) = x x h(x) = ( - 2x) sin x + x 2 q(x) = (x 2-3) x r(x) = (2x + ) 2 Exercice 24 Donner un intervalle sur lequel la fonction est dérivable et calculer sa dérivée. f(x) = sin x g(x) = x + cos x x - 3 p(x) = sin x x q(x) = x2 + x - x 2 + x + h(x) = 2 + cos x 2 + sin x r(x) = x + x Exercice 25 ( voir animation ) Soit f définie par f(x) = x2 + x -. La courbe représentative de f a-t-elle des tangentes parallèles à la droite d'équation y = -x +? Si oui en quels points? Vérifier en traçant la courbe de f avec une calculatrice ou un grapheur. Propriété (voir démonstration 07) Soient a et b deux réels avec a 0. Si g est une fonction dérivable sur un intervalle I, et si J est l'intervalle formé de tous les réels x tels que ax + b appartienne à I, alors la fonction f définie sur J par f(x) = g(ax + b) est dérivable sur J et sa dérivée est donnée par f'(x) = a x g'(ax + b) s Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (- 3x) 2. Si on considère la fonction g définie sur IR par g(x) = x 2, on a f(x) = g( - 3x) On sait que g est dérivable sur IR et que g'(x) = 2x. On en déduit que f est dérivable sur IR et on a f'(x) = -3 x g'( - 3x) = -3 x 2( - 3x) = -6(- 3x) On peut vérifier en écrivant : f(x) = (- 3x) 2 = - 6x + 9x 2. On obtient alors f'(x) = x. Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (- 3x) 20 Si on considère la fonction g définie sur IR par g(x) = x 20, on a f(x) = g( - 3x) On sait que g est dérivable sur IR et que g'(x) = 20x 9. Donc f est dérivable sur IR et on a f'(x) = -3 x g'( - 3x) = -3 x 20( - 3x) 9 = -60(- 3x) 9 Soit f la fonction définie sur - ; 3 5 par f(x) = 3-5x Si on considère la fonction g définie sur [0; + [ par g(x) = x, on a f(x) = g(3-5x) On sait que g est dérivable sur ]0; + [ et que g'(x) =. 2 x Donc f est dérivable sur Exercice 26 - ; 3 5 et on a f'(x) = -5 x g'(3-5x) = -5 x 2 3-5x ères Dérivée page 8 = x Calculer, en précisant l'intervalle considéré, les dérivées des fonctions suivantes : f(x) = 3x + 3 g(x) = (5x- ) 2 4 h(x) = sin (3x + π) p(x) = 2x - 3

9 III Application aux variations d'une fonction Soit f une fonction croissante sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel x dans l'intervalle [a ; b], f'(x) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe (C) de f au point d'abscisse x. Une interprétation graphique montre que, la fonction f étant croissante, ce coefficient directeur est positif. C T On a donc par conséquent f'(x) ³ 0 pour tout x [a ; b]. Pour une fonction décroissante, on aurait une dérivée négative. a x b Propriété (voir justification 08) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est constante sur I, alors f' est nulle sur I. Si f est croissante sur I, alors f' est positive ou nulle sur I. Si f est décroissante sur I, alors f' est négative ou nulle sur I. Propriété (admise) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f' est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I. Si f' est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f' est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I. Si f' est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Exercice 27 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 3x 2 + 2x - 5. Calculer f'(x) et en déduire le sens de variation de f. En déduire que f a un minimum et calculer ce minimum. Retrouver ce résultat en utilisant la forme canonique de f(x). Exercice 28 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 2x 3 + 3x 2-2x + 7. Calculer f'(x) et en déduire le sens de variation de f. Tracer la courbe représentative de f en utilisant une calculatrice ou un ordinateur. Propriété (admise) Soit f une fonction dérivable sur [a ; b] si f'(x) > 0 pour tout x ]a ; b[, alors f est strictement croissante sur [a ; b]. si f'(x) < 0 pour tout x ]a ; b[, alors f est strictement décroissante sur [a ; b]. : Tableau de variations Considérons la fonction f définie sur [0; 4] par : f(x) = x 3-3x 2 -. f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur [0; 4]. On a f'(x) = 3x 2-6x = 3x(x - 2). f'(x) est un trinôme du second degré dont les racines sont 0 et 2. D'après la règle du signe du trinôme on a : f'(x) < 0 pour x ]0; 2[ et f'(x) > 0 pour x ]2; 4] On en déduit que f est strictement décroissante sur [0; 2] et f est strictement croissante sur [2; 4]. On peut résumer les variations de f dans un tableau appelé tableau de variations : Dans ce tableau on fait figurer les valeurs particulières : f(0) = - f(2) = = -5 f(4) = = 5 On peut considérer ce tableau comme une représentation graphique schématisée de f. x f'(x) f -5 ères Dérivée page 9

10 : Courbe représentative Pour tracer la représentation graphique d'une fonction f, on placera les points particuliers obtenus dans le tableau de variations. On fera apparaître les tangentes parallèles à (Ox) (Ce sont les tangentes aux points dont l'abscisse est racine de la dérivée f'(x)). On cherchera éventuellement quelques points supplémentaires et on tracera la courbe de façon "harmonieuse" et conformément au sens de variation annoncé dans le tableau de variations. Si les unités ne sont pas imposées, elles seront judicieusement choisies. On trace ci-contre la courbe représentant la fonction f définie sur [0 ; 4] par : f(x) = x 3-3x 2 - étudiée dans l'exemple précédent. Les points particuliers sont les points de coordonnées (0 ; -) ; (2 ; -5) et (4 ; 5) La dérivée s'annule en 0 et 2. La courbe a donc des tangentes parallèles à (Ox) en ses points d'abscisses 0 et 2. On trace ces deux tangentes. Remarque Il est convenu qu'une flèche dans un tableau de variations indique que la fonction est strictement monotone et que la courbe ne présente pas de "saut" (ce qui est le cas pour les courbes de toutes les fonctions dérivables) Le tableau de variations permettra de répondre à certaines questions, en particulier pour le nombre de solutions d'équations. : Résolution d'équation On considère une fonction f dont le tableau de variations est le suivant : x f - Le tableau permet de faire des comparaisons d'images. On peut dire par exemple que f(3) < f(4) (car la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 5]). Le tableau permet de donner le nombre de solutions dans [-3 ; 5] de l'équation f(x) = 0. En effet : lorsque x décrit l'intervalle [-3 ; -], f(x) décrit l'intervalle [ ; 3]. On ne peut donc pas avoir f(x) = 0. lorsque x décrit l'intervalle [- ; 0], f(x) décrit l'intervalle [- ; 3]. f(x) prendra donc la valeur 0 une et une seule fois (car f est strictement décroissante) dans [- ; 0]. lorsque x décrit l'intervalle [0 ; 5], f(x) décrit l'intervalle [- ; 4]. f(x) prendra donc la valeur 0 une et une seule fois (car f est strictement croissante) dans [0 ; 5]. En conclusion, le tableau de variations de f permet de dire que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dans [-3 ; 5]. ères Dérivée page 0

11 Exercice 29 Soit f la fonction définie sur [-4 ; 2] par : f(x) = 3 x3 + x 2-3 Soit (C) la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité cm. Étudier les variations de f et donner son tableau de variations. Donner l'équation de la tangente T à la courbe (C) en son point d'abscisse -. - x Tracer (C) et T sur un même dessin. Calculer f"(x) et justifier que f"(x) s'annule et change de signe en -. Étudier le signe de f(x) - Exercice 30. En déduire la position de (C) par rapport à T. Soit f la fonction définie sur [-2 ; 2] par : f(x) = x 4-2x 2 Calculer f'(x) et étudier son signe. Donner le tableau de variations de f. Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité cm. Exercice 3 La courbe représentative d'une fonction f coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 5, coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse et a une tangente horizontale en son point de coordonnées (2 ; -3). Est-il possible que f soit une fonction polynôme de degré 2? de degré 3? Exercice 32 Soit f définie sur IR par f(x) = x 3-3x 2 + 5x - Calculer f(0) et f(). Démontrer que l'équation f(x) = 0 a une solution unique dans IR. Donner, en utilisant une calculatrice, une valeur approchée de cette solution à 0-3 près. Exercice 33 On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 3x x 2 ) Calculer f'(x) et étudier son signe. 2 ) Donner le tableau de variations de f pour x [-5 ; 5]. 3 ) Représenter graphiquement f pour x [-5 ; 5]. On se placera dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité cm. 4 ) Donner, en le justifiant, le nombre de solutions, dans l'intervalle [-5 ; 5], de l'équation f(x) = 2. Exercice 34 On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par f(x) = 5 + x + x Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. ) Déterminer la dérivée de f et étudier son signe. 2 ) Donner le sens de variation de f. 3 ) Démontrer que pour tout x [0 ; + [ on a f(x) >. Que peut-on en déduire pour la courbe (C)? 4 ) Résoudre l'inéquation f(x) <,. Que peut-on en déduire pour (C)? Résoudre l'inéquation f(x) <,0. Que peut-on en déduire pour (C)? 5 ) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse. 6 ) Tracer sur un même dessin, la courbe (C), sa tangente T et la droite d'équation y =. Exercice 35 On considère la fonction f définie sur [0 ; ] par f(x) = x 2 + x + Démontrer que l'équation f(x) = 2 a une solution unique α. Donner une valeur approchée de α à 0-3 près. ères Dérivée page

12 Exercice 36 Méthode d'euler ( voir animation ) Représentation graphique approchée d'une fonction en connaissant sa dérivée. ) Soit f une fonction dérivable en x 0. Donner une approximation affine de f(x 0 + h) pour h "petit". Application : donner une approximation affine de pour h "petit". + h 2 ) On considère une fonction f vérifiant f(0) = 0 et f'(x) = (on admet qu'une telle fonction existe). + x2 a) Déterminer f'(0). En déduire une approximation affine de f(h) pour h "petit". Donner une valeur approchée de f(0,). Représenter, sur le graphique ci-dessous, la courbe de l'approximation de f sur l'intervalle [0 ; 0,]. (Quelle est la nature de cette courbe?) b) Déterminer f'(0,) et en donner une valeur approchée. (Il n'est pas nécessaire d'utiliser une calculatrice, voir l'application de la question ) En supposant que f(0,) est égal à la valeur approchée trouvée au 2 ) a), donner une approximation affine de f(0, + h) pour h "petit". Donner une approximation de f(0,2) c) En utilisant des approximations affines, compléter le tableau suivant (3 chiffres après la virgule) valeurs de x 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 valeurs approchées de f(x) valeurs approchées de f'(x) Compléter le graphique 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, O 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 3 ) Reprendre la méthode de la question précédente pour tracer sur un nouveau dessin une approximation de la courbe (pour x compris entre 0 et ) de la fonction g telle que g'(x) = 3x 2 et g(0) = 0 On fera une subdivision de l'intervalle [0 ; ] en 0, puis en 20 intervalles de même amplitude. NB : Plus le nombre de subdivisions de l'intervalle est important, meilleure est l'approximation obtenue. 4 ) Vos connaissances vous permettent de trouver une fonction g vérifiant les deux conditions imposées à la question précédente. Représenter graphiquement g sur le dessin précédent, afin de comparer l'approximation obtenue par la méthode d'euler avec la courbe de la fonction g elle-même. ères Dérivée page 2