I. Le principe du GPS II. Un récepteur «standard» III. La précision du positionnement III. Au delà de la précision métrique

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2 I. Le principe du GPS II. Un récepteur «standard» III. La précision du positionnement III. Au delà de la précision métrique

3 «ECEF» x z Méridien origine O l R T h Equateur (x,y,z) f P x M (h,l,f) Coordonnées géographiques h : altitude l : longitude f : latitude y Modèles : Sphère WGS84 NAVIGATION Hier : Sextant Chronomètre Aujourd hui et demain : Récepteur GPS

4 Mesure de la longitude (XVIII ème ) Positionnement global (XX ième - XXI ème siècle) Horloges mécaniques Horloges atomiques Oscillateur à quartz H John Harrison ( ) 0,3 s/jour 10-7 _ 10-9 s/jour 10-2 s/jour

5 Date d émission t E Eclair (lumière) Tonnerre (son) Foudre Date de réception t R d = c son (t R -t E ) ; d(km) durée(s)/3

6 Où suis-je? d 1 S 1 X «grave» d 1 = c son (t R1 - t E1 ) d 2 s 2 X «aigu» d 2 = c son (t R2 - t E2 )

7 Deux stations Trois stations M d 1 + s 1 + s 3 d 1 D 1 + M s 1 c son dt R d 2 + s 2 M + s 2 Distance d - pseudo-distance D

8 X X s 1 M s 2 d 1 L Attention : L horloge du capitaine est décalée de dt R! d 2 Pseudo-distances mesurées : D 1 = d 1 + c son dt R et D 2 = d 2 + c son dt R Valeurs corrigées : d 1 = (L + D 1 -D 2 )/2 d 2 = (L + D 2 -D 1 )/2 dt R = (D 1 +D 2 -L)/2c son

9 1. Des satellites munis d horloges atomiques synchronisées 2. Les satellites connaissent leurs positions grâce à des stations de contrôle 3. Chaque satellite transmet par ondes électromagnétiques son identification, son éphéméride et la date d émission 4. Le récepteur détermine les temps de parcours, calcule ses distances aux satellites, leurs positions puis sa propre position et la date «exacte» S 1 S 2 M S 3

10 z «ECEF» x S 1 Onde em x S k (x k,y k,z k ) D = c(t R -t E ) = d + cdt R x M(x,y,z) x S 2 1 m 30 ns! O y x [(x-x k ) 2 +(y-y k ) 2 +(z-z k ) 2 )] 1/2 + cdt R = D k, k = 1..4 Résolution du système (x,y,z) et dt R

11 En tout point et 24H/24 au moins 4 satellites au dessus de l horizon et «bien» disposés «ECI» «ECEF» Trajectoires dans le repère «géocentrique» Trajectoires dans le repère «terrestre»

12 «ECI» 31 satellites (en 2013) 6 plans orbitaux inclinés de 55 sur l équateur et décalés de 60 entre eux 5 satellites par plan Trajectoires quasi circulaires à km d altitude Période : 11h 58 min Vitesse : 3,9 km/s

13 Les lois de Kepler (Interaction de deux corps à symétrie sphérique ; M >> m) 1. La trajectoire est une ellipse dont un foyer est au centre de force 2. Le mouvement suit la loi des aires Kepler ( ) 3. Le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe

14 La mécanique newtonienne 1. P.F.D. (référentiel galiléen) ma = F Newton ( ) 2. Loi de la gravitation F GMm u 2 r =...

15 Mouvement sur l orbite a : demi-grand-axe ( T) M Y e : excentricité t P : date de passage au périgée apogée a b C E M(t) r O n périgée X Equation de Kepler : E - e.sine =(2p/T).(t-t P ) = M Position à t : X = a.(cose - e) Y = a(1-e 2 ) 1/2.sinE

16 Positionnement de l orbite z I «ECI» i : inclinaison du plan de l orbite Origine des longitudes Satellite Périgée X W : longitude du nœud ascendant w : position du périgée Plan de l orbite x I Nœud ascendant y I Plan «équatorial» (w, i, W) Mvt Terre (X,Y) (x I,y I,z I ) (x,y,z) «ECI» «ECEF»

17 Au delà du problème des deux corps! Des perturbations - La Terre n est pas «sphérique» - Le référentiel géocentrique n est pas exactement galiléen (champ luni-solaire) - La pression de radiation - et leurs conséquences - Les éléments de l orbite évoluent et doivent être réactualisés. - Il est nécessaire de pouvoir déterminer leur évolution entre deux réactualisations.

18 Satellites GPS D après le livre : «Satellites : de Kepler au GPS», Michel Capderou

19 y R Onde em y R V D Doppler ( ) R x f R f E E x Fizeau ( ) Cinématique classique (V D <<c) f R = fe 1 V c D Éloignement f, rapprochement f

20 Ordre de grandeur V S «GPS» R V q E «Satellite» «GPS» R T O b r S V S b Horizon V D = V.cosq Δf V = D Vcosθ = f c c Δf Vsinβ V R = = S T f c c r S f = 1575 MHz Df +/- 5 khz

21 Emetteur (simplifié) signal L 1 Porteuse 1575 MHz A.cos(wt) A.c(t).d(t).cos(wt) Ampli f p =1575MHz Horloge Atomique 10,23 MHz Code C/A 1,023 MHz +1-1 c(t) Modulation de phase l p =19cm Données 50 Hz +1-1 d(t) Porteuse : signal sinusoïdal f p = 1575 MHz (= f H x154) Code d identification : signal pseudo aléatoire f c = 1,023 MHz (= f H /10) Données de navigation : signal numérique f D = 50 Hz (= f H /204600)

22 Données 50 bits/s Code C/A 1,023 Mbits/s Code modulé par les données Porteuse Un «bit» 20 ms 1 ms 1 ns Signal modulé (BPSK)

23 Code C/A : suite de «0» et de «1» pseudo-aléatoire 1-1 Ex : code n 18/36 Un «chip» 1 ms/ ms Auto-corrélation (code 32) Corrélation croisée (codes 1 et 32)

24 Acquisition - poursuite Récepteur (très simplifié!) Démodulateur Données f I +Df D f p +Df D H.F. Corrélateur Détecteur corrélation f I +Df D Oscillateur local Générateur code Commande délai Commande fréquence

25 Facteur de corrélation Décalage du code Décalage Doppler

26 Structure du message T S1 T S2 T S1 Corrections d horloge T S2 T S3 Ephéméride Ephéméride T S4 T S5 Almanach, modèle ionosphère, dutc Almanach TLM : télémétrie T si : temps satellite (x6s)

27 Préambule : Le «temps» du satellite reconstitué TLM T s «paragraphe» T s une semaine t s Temps satellite 1 tic = 20 ms Incréments : 1 tic = 0,997 ms Données : 20 ms Code : 1 ms 1 tic = 1 ms «chips» : 0,997 ms T s

28 Conclusion Exemple de données de navigation (almanach) z S k (x k,y k,z k ) x Onde em M(x,y,z) O x t R t Sk y x «ECEF»

29 20000 km v S g km L espace-temps est relativiste! Einstein Dilatation des durées Décalage gravitationnel Ionosphère Stratosphère Troposphère La propagation n a pas lieu dans le vide! Heaviside Ionosphère Troposphère

30 A chacun son temps 2 2 VS gor T 1 1 DtR DtSat DtSat c c RT d R En une journée écart de : 7-45 = - 38 ms! T Compensation au niveau des horloges des satellites 10, MHz 10, MHz (soit 0,00457 Hz!)

31 Ionosphère : 50 < z < 1000 km Milieu ionisé, dispersif Caractéristiques variables dans le temps : densité électronique N e (z, t) c Ne B(t) c où ng 1+A D D n f f g Correction partielle par modélisation ou par mesure bi-fréquences : f DD = D -D f2 f1 ( ) L1 : f 1 = 1575 MHz, L2C : f 2 = 1227 MHz

32 Troposphère : 0 < z < 15 km Milieu neutre, non dispersif ( n 1,0003) Composante «sèche» : N 2,O 2,Ar,CO 2 ; humide : H 2 O c P p p c où n 1+ k + k + k n T T T H2O H2O Modélisation de l atmosphère nécessaire (météorologie)

33 Source d erreur Erreur(1s, m) Horloges satellites 2,0 et éphémérides Ionosphère 7,0 Dilution de la précision Troposphère 0,2 Bruit du récepteur 0,1 Multitrajet 1,0 Erreur totale (E T ) 7,5 «1,5» «5» «HDOP» Erreur pratique (2s - 95%) = E T x HDOP Ex : 2x1,5x7,5 = 22,5 m

34 Du GPS au DGPS De l absolu au relatif d 1 Atmosphère x S x M 1 M 2 (référence) Données d 2 D = d + cd t + cδt ε 1 1 R1 atm,1 D = d + cd t + cδt ε 2 2 R2 atm,2 «absolu» : d + cd t =D - cδt -ε 2 R2 2 atm,2 «relatif» : 1 2 (référence) d + c( dt - dt ) = d + (D -D ) -ε +ε 2 R2 R Élimination des termes communs aux deux récepteurs! 2

35 Du code à la phase (mesures à «1%») Code 1 ms décalage (modulation) Résolution spatiale : x = 3 m 100 Phase Ambigüité entière N.2p déphasage (porteuse) Résolution spatiale : 1 0,19 x =1,9 mm 100

36 Résolution des ambigüités entières : illustration géométrique S 1 S 2 l S 3 l x r x M 1 M 2 Double différence : Élimination des termes communs (R et S) État initial N 1 x Point fixe N 2 Evolution

37 Code C/A Code C/A randonnée Code P géodésie

38 Précision sur la vitesse (mm/an) Vers la tectonique des plaques Précision sur la vitesse relative r M 1 M 2 x x 15 mm ρ - ρ 2 1 v r = t 2 - t 1 3 mm 5 mm 10 mm D v = r 2. Δρ t -t Durée entre les mesures (an)

39 Une constellation de satellites à km km des déplacements de quelques cm!

40 Segment spatial : «Les musiciens» Segment contrôle : «Le chef d orchestre» Segment utilisateur : «L auditeur»

41 Glonass : Système d origine soviétique Constellation actuelle (2013) : 24 satellites opérationnels Les satellites émettent en bande L sur des fréquences différentes (15 canaux), par contre le code pseudo-aléatoire est identique pour tous. Galileo : Système européen Constellation actuelle (2013) : 4 satellites opérationnels (ce qui a permis de tester le système, mais est évidemment insuffisant ) Le principe est analogue au GPS mais avec une modulation plus complexe :

42 Secondes intercalaires 16 s (augmente) 19 s (constant) t(utc) t (GPS) t (TAI) Différents temps L origine du temps GPS remonte au 6 janvier :00 (UTC), à cette date il était calé sur le temps UTC et présentait un retard de 19 s sur le temps TAI. Le temps GPS est compté en semaine depuis cette date origine, on est actuellement en semaine 1766 (au 15/11/2013). Le décalage avec TAI est resté constant (il s agit de deux temps atomiques!) mais l écart avec UTC augmente régulièrement à cause du ralentissement de la Terre ce qui a introduit un décalage cumulé d environ 1 ms sur un jour par rapport à l échelle atomique. D où la nécessité d introduire une seconde intercalaire périodiquement. Le décalage est actuellement (en 2013) de 16 s.

43 Secondes intercalaires depuis 1970 L origine du temps TAI a été fixée au 1 janvier 1958 à 00:00