CH I : DIVISIBILITÉ DANS Z, CONGRUENCES

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1 CH I : DIVISIBILITÉ DANS Z, CONGRUENCES Introduction : On sait que le premier janvier 2012 est un dimanche. A partir de ce renseignement, déterminer : 1. Quel est le jour de la semaine du 1 er mai Quel est le jour de la semaine du 11 novembre Quel est le jour de la semaine du 1 er mai 2015 I. ENSEMBLES DE NOMBRES A. Définitions des ensembles de nombres : L ensemble des nombres entiers naturels : = { 0 ; 1 ; 2 ; ; 4 } : L ensemble des nombres entiers relatifs : = { ; ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; } Proposition 1 : Tout sous-ensemble de N possède un plus petit élément. Cette proposition est fausse dans. : L ensemble des nombres rationnels : Les nombres rationnels sont tous les nombres pouvant s écrire : a où a et b sont deux nombres entiers relatifs, b non nul. b Exemples : 1) 2),5 car :,5 = = 7 2 R : L ensemble des nombres réels : Les nombres réels sont les abscisses des points sur une droite graduée. L ensemble des nombres réels contient tous les rationnels et d autres nombres, appelés irrationnels tels que : 2, π,, 2 B. Comparaison des ensembles de nombres : Vocabulaire : Soient A et B des ensembles : A B signifie «A est inclus dans B», c'est-à-dire que tous les éléments appartenant à A appartiennent aussi à B. Théorème 1 : R Le diagramme ci-dessous représente les différents ensembles de nombres et leurs inclusions : , , π , π

2 II. DIVISIBILITÉ DANS Dans la suite de ce chapitre, tous les nombres sont des nombres entiers relatifs, c'est-à-dire pris dans l ensemble. Définition 1 : Soit a et b deux nombres entiers relatifs. Dire que a est un diviseur de b signifie qu il existe un entier relatif k tel que : b = ka Exemple 1 : 7 est un diviseur de 42 car : 7( 6) = 42 (l entier 6 est le nombre k de la définition) Vocabulaire : Si a est un diviseur de b alors on dit aussi que b est un multiple de a. Si a est un diviseur de b alors on dit aussi que b est divisible par a. Notation : L ensemble des multiples de sera noté k avec k. Propriétés : Soient a, b et c trois entiers relatifs 1.a. 1.b. Si a divise b et si b 0 alors a b Tout entier relatif b non nul a un nombre fini de diviseurs 2. Si a divise b et b divise a alors a = b ou a = b (a 0 et b 0). Si a divise b et si b divise c alors a divise c 4. Si a divise b alors ac divise bc 5. Si a divise b et si a divise c alors a divise tout nombre de la forme bu + cv avec u,v. En particulier, si a divise b et si a divise c alors a divise b + c et b c Exercice 1 : Dresser la liste de tous les diviseurs de 6. Quel est leur nombre? Dresser la liste de tous les diviseurs de 75. Quel est leur nombre? Exercice 2 : Démontrer que l ensemble des multiples de 7 est égal à l ensemble des multiples de 7. Exercice : Ecrire les propriétés ci-dessus en termes de multiples. Exercice 4 : Quel est l ensemble des multiples de 0? Quel est l ensemble des diviseurs de 0? Quel est l ensemble des multiples de 1? Quel est l ensemble des diviseurs de 1? Exercice 5 : Soit p,démontrer que p(p² 1) est un multiple de. En déduire que p(p + 1)(2p + 1) est un multiple de Exercice 6 : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et A = n² Démontrer que n 1, n + 1 et n² + 1 sont des diviseurs de A. 2. En déduire d autres diviseurs de A. Exercice 7 : Trouver tous les couples ( a ; b) d entiers naturels tels que a² b² = 21 Exercice 8 : 1. Déterminer les entiers n tels que 2n 5 divise 6 2. Déterminer tous les entiers relatifs n tels que n divise n + 8. Déterminer tous les entiers relatifs n tels que n + 4 divise n + 6 Exercice 9 : 1. Soit k un entier naturel. On pose a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Montrer que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et k un entier naturel. On pose a = 1k + 1 et b = 26k + 4. Montrer que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 ; 2 ; ou 6 Exercice 10 : Le nombre n est un entier naturel. Démontrer par récurrence : 1. Que 7 n + 2 est un multiple de 2. Que n + 11n est divisible par 6. Que 6n 4 2 est divisible par 7-2 -

3 III. DIVISION EUCLIDIENNE Théorème 2 : Soit a un nombre entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r tels que : a = bq + r et 0 r b Vocabulaire : Cette écriture s appelle la division euclidienne de a par b. Le nombre q s appelle le quotient et r le reste dans la division euclidienne de b par a. Exemple 2 : Effectuer la division euclidienne de : 114 par 8 ; 5 par 48 ; 216 par 6. Effectuer la division euclidienne de : 7 par 11 ; 7 par 11 Proposition 2 : Dire que b divise a équivaut à dire que dans la division euclidienne de a par b le reste est nul. Exercice 1 : Ecrire les divisions euclidiennes de : 118 par 2 ; 118 par 2 ; 118 par 2 ; 118 par 2. Exercice 2 : Trouvez un entier naturel qui, divisé par 2 donne pour reste 1 et divisé par 17 donne le même quotient et pour reste 1. Exercice : Donner tous les entiers qui, divisés par 5, donnent un quotient entier égal à fois le reste. Exercice 4 : Soient a et b deux entiers tels que a² 2b² = 1. Prouvez que a est impair et que b est pair. Exercice 5 : Démontrer que si n est un entier naturel impair alors n² 1 est divisible par 8. Exercice 6 : Quel sont les restes possibles dans la division euclidienne d un entier naturel n par? En déduire que tout entier relatif peut s écrire sous l une des formes : k ; k + 1 ; k + 2 avec k. Le quotient d un entier relatif x par est 7. Quelles sont les valeurs possibles de x? Exercice 7 : Soit x un entier relatif dont la division euclidienne par 7 a pour reste 2. Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 7 de x² et x? Exercice 8 : Soit n un entier naturel. Démontrer que, quel que soit n entier naturel, n 4 + 5n + 1 est impair. En déduire que ce nombre n est pas divisible par n(n + 1). Exercice 9 : La différence de deux entiers naturels est 58. Si l on divise l un par l autre le quotient est 1 et le reste est 4. Quels sont ces nombres? Exercice 10 : Soit a un entier naturel, a 1 et A = [a² + (a 1)²]². Prouver que le reste de la division euclidienne de A par 4a² est (2a 1)². Exercice 11 : Soit a et b deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de b par a le quotient est q et le reste r est supérieur ou égal à q. Prouver que si l on divise b par a + 1 on obtient le même quotient. IV. CONGRUENCES Définition : Soit a et b deux nombres entiers relatifs et p un entier naturel non nul. On dit que a et b sont congrus modulo p si a b est divisible par p. Notation: Lorsque a et b sont congrus modulo p on écrit : a b (mod p) ou bien a b (p). Propriété 1 : On dit que a et b sont congrus modulo p si, et seulement si, ils ont le même reste dans la division euclidienne par p. Remarques : a 0 (mod p) équivaut à : a est divisible par p. Si a r (mod p) et 0 r p alors r est le reste de la division euclidienne de a par p. Exemple : Compléter : 1 (mod 7) ; (mod 5) ; 9 (mod 10) - -

4 Propriétés : Soient a, b, c, a et b des entiers relatifs et p et n deux entiers naturels. 2 Transitivité Si a b (mod p) et b c (mod p) alors a c (mod p) compatibilité avec les opérations 4 Conséquence du Si a b (mod p) et a b (mod p) alors : Addition a + a b + b (mod p) Soustraction a a b b (mod p) Produit aa bb (mod p) Puissance a n b n (mod p) Si a b (mod p) alors : a + c b + c (mod p) ; a c b c (mod p) ; ac bc (mod p) Remarque : La congruence est compatible avec l addition, la soustraction et la multiplication mais pas avec la division ni la racine carrée. Si 2x 2y (mod p) on ne peut pas en déduire que x y (mod p). Si x² y² (mod p) alors on ne peut pas en déduire que x y (mod p). Exercice 1 : Pour chaque valeur de a donnée, trouver un entier relatif x tel que x a (mod 9) et 4 x < 5 : 1) a = 11 2) a = 24 ) a = 62 4) a = 12 5) a = 2 Exercice 2 : Soit k un entier naturel, démontrer que 5² 1 (mod 1) et en déduire que 5 4k 1 (mod 1). 2 5 Exercice : Résoudre dans les systèmes suivants : 1) >0 2) <125 Exercice 4 : Démontrer sans calculatrice les congruences suivantes : (mod 12) et (mod 7) Exercice 5 : Vérifier que (mod 17) et que (mod 17). En déduire le reste de la division par 17 de et de Exercice 6 : Calculer le reste de la division par 7 de Exercice 7 : Vérifier que 9 1 (mod 10). En déduire le chiffre des unités des nombres 9 2n et 9 2n + 1. Exercice 8 : Soit n N impair. Prouver que 8 divise n + 4n + 1. Exercice 9 : Démontrer que pour tout entier naturel n, 5n + n est divisible par 6. Exercice 10 : Démontrer que si n n est pas un multiple de 7 alors n 6 1 est un multiple de 7. Exercice 11: Démontrer que pour tout entier naturel n, n(n 2 + 5) est divisible par 6. Exercice 12: Soient a et b deus entiers. Montrer que (a + b) a + b (mod ). Exercice 1: S oit n un entier naturel, démontrer les congruences suivantes : 1) 5 n 1 (mod 4) 2) 14 n 1 (mod 1) ) 12 2n 1 (mod 1) Exercice 14: Démontrer que pour tout entier naturel n, n(n +1)(n + 5) est divisible par 6. Exercice 15 : (BAC) 1) Démonter par les deux méthodes indiquées que, pour tout entier naturel n, 2 n 1 est divisible par 7. a) Par récurrence b) En utilisant les congruences 2) En déduire que 2 n et 2 n sont des multiples de 7. ) Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de

5 Exercice 16 : (BAC) Le nombre n désigne un entier naturel. 1) Démontrer que n 2 + 5n + 4 et n 2 + n + 2 sont divisibles par n ) Déterminer l ensemble des valeurs de n pour lesquelles n n + 19 est divisible par n + 1. ) En déduire que quel que soit n, n n + 19 n est pas divisible par n 2 + n + 2 Exercice 17 : (BAC) Le nombre x désigne un entier relatif. 1) Déterminer les restes de la division euclidienne de x par 9 selon les valeurs de x. 2) En déduire que pour tout entier relatif x : x 0 (mod 9) x 0 (mod ) x 1 (mod 9) x 1 (mod ) x 8 (mod 9) x 2 (mod ) ) Soient x,y et z sont trois entiers relatifs tels que x + y + z est divisible par 9. Démontrer que l un des nombres x,y ou z est divisible par. Exercice 18 : (BAC) 1) Etudier suivant les valeurs de n le reste de la division de 7 n par 10. 2) Soit n N.On pose A = ² n. Quel est le chiffre des unités de A? V. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ D UN ENTIER A Diviseur Règle Exemple 2 Le chiffre des unités de A est divisible par 2 (A se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) 958 est divisible par 2 car 8 est divisible par 2 : on a 958 = La somme des chiffres de A est divisible par 5787 est divisible par car = 0 est divisible par : on a 5787 = Le nombre formé par les deux derniers chiffres de A est divisible par est divisible par 4 car 88 est divisible par 4 5 Le chiffre des unités de A est 0 ou 5 7 Si A a quatre chiffres au plus et s écrit uv où u et v sont des nombres à deux chiffres (0 compris) alors A est divisible par 7 si 2u + v est divisible par 7. 9 La somme des chiffres de A est divisible par est divisible par 5 (son chiffre des unités est 5) : on a 2825 = et 2212 sont divisibles par 7 : = 49 est divisible par = 56 est divisible par est divisible par 9 car = 27 est divisible par 9 : on a 5874 = Le chiffre des unités de A est est divisible par 10 : = La différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair de A à partir de la droite est un multiple de est un multiple de 11 : ( ) ( ) = =