1.8 Exercices. Analyse d'erreurs 43

Transcription

1 1.8 Exercices Analyse d'erreurs Tous les chires des nombres suivants sont signicatifs. Donner une borne supérieure de l'erreur absolue et estimer l'erreur relative. a) 0,1234 b) 8,760 c) 3,14156 d) 0, e) 8,000 f) 0, Exprimer les nombres décimaux suivants en représentation binaire classique. a) 32 b) 125 c) 1231 d) 876 e) 999 f) Exprimer les entiers signés 125, 125, 0, 175 et 100 dans une forme binaire sur 8 bits en utilisant : a) le complément à 2. b) la représentation par excès (d = 2 7 ). 4. Traduire les nombres binaires , et dans la forme décimale selon que la représentation utilisée est : a) la représentation binaire classique b) le complément à 2 c) la représentation par excès (d = 2 7 ) 5. Convertir en forme binaire les fractions décimales suivantes. a) 0,5 b) 0,2 c) 0,9 d) 1 3 e) 0,25 f) Convertir les nombres suivants en simple précision IEEE-754. a) 52, b) 7112,0 c) 16,2 Vérier les réponses en les retransformant en nombres décimaux. Évaluer l'erreur de représentation commise en c). 7. On vous propose la convention ctive IEEE-FICT pour les nombres réels normalisés qui utilise exactement les mêmes principes que la convention IEEE-754 mais sur 8 bits. Le premier bit est le bit de signe, les 3 bits suivants représentent l'exposant par excès de 3 et les 4 derniers bits sont pour la mantisse normalisée (le premier bit de la mantisse normalisée n'est pas mis en mémoire). Notons enn que les exposants 000 et 111 sont réservés aux exceptions (nombres non normalisés) et ne peuvent donc pas être utilisés. a) Donner les valeurs binaires et décimales de tous les exposants possibles dans cette représentation (en excluant les exceptions). b) Donner le plus petit nombre positif possible dans cette représentation (indiquer la représentation binaire IEEE-FICT sur 8 bits et la valeur correspondante en décimal). c) Donner la précision machine pour cette représentation.

2 44 Chapitre 1 d) Exprimer le nombre 3,25 dans la représentation IEEE-FICT. 8. Donner la représentation en notation ottante en base 10 des nombres suivants (arrondir en conservant 4 chires dans la mantisse). a) e b) 1 6 c) 2 3 d) 12, e) f) 2000,1 9. Montrer que la loi d'associativité de l'addition n'est pas toujours respectée en arithmétique ottante. Utiliser l'arithmétique ottante à 3 chires et les nombres suivants : x = 0, , y = 0, et z = 0, Eectuer les opérations suivantes en arithmétique ottante à 3 chires. a) ( ) 1 b) 2136(9993+0,004567) c) (1,235) 4 d) e) ( ) 9800 f) (125 25)+(10 2,5) 11. On considère l'expression : x = (((((((0, , )+0, )+0, )+0, ) +0, )+0, ) a) Calculer la valeur de x en arithmétique exacte, puis en arithmétique ottante à 3 chires avec arrondi, en respectant l'ordre prescrit par les parenthèses. Expliquer la diérence entre les résultats. Déterminer l'erreur relative. b) Proposer une modication de l'ordre de sommation qui permette d'obtenir une réponse plus précise en arithmétique ottante à 3 chires. Valider votre réponse en calculant de nouveau l'erreur relative. 12. On souhaite évaluer la somme : 10 i=1 (1/i 2 ) en arithmétique ottante à 3 chires avec troncature de deux façons diérentes. a) Évaluer 1/1+1/4+ +1/100 ; b) Évaluer 1/100+1/81+ +1/1. Déterminer le résultat le plus précis en justiant votre réponse. 13. Est-ce que (x y) est équivalent à (x (1 y)) en arithmétique ottante? 14. Combien de nombres diérents peut-on représenter en arithmétique ottante à 3 chires (base 10) si l'exposant l est compris entre 9 et 9? On supposera comme il se doit que la mantisse est normalisée et l'on traitera le nombre 0 comme une exception.

3 Analyse d'erreurs On doit eectuer l'opération 1 cosx pour des valeurs de x voisines de 0. Expliquer ce qui risque de se produire du point de vue de l'arithmétique ottante et proposer une solution de rechange. 16. Donner une façon d'évaluer les expressions suivantes qui permette d'éviter le plus possible les erreurs dues à l'arithmétique ottante. a) cos 2 θ sin 2 θ pour des valeurs de θ autour de 4 b) p(2), où p(x) = 1 2x+3x 2 4x 3 c) 100 i=1 1 i La série divergente n=1 1 n devient convergente en arithmétique ottante. Expliquer brièvement pourquoi. 18. Démontrer que l'erreur relative liée à la multiplication et à la division de deux nombres est la somme des erreurs relatives liées à chacun des nombres (voir les relations 1.30). 19. Soit x = 0, une approximation de x à trois chires signicatifs. Trouver une borne inférieure et une borne supérieure, aussi précises que possible, pour la valeur de x. Suggestion : cet exercice a pour but de vous faire rééchir sur l'inégalité 1.3 du texte. Il est important de la relire avec soin. 20. Eectuer les développements de Taylor suivants à l'ordre demandé. Utiliser la forme de l'équation Donner l'expression analytique du terme d'erreur. Donner également une borne supérieure de l'erreur lorsque c'est possible. a) f(x) = cos(x) autour de x 0 = 0 (ordre 8) b) f(x) = sin(x) autour de x 0 = 0 (ordre 9) c) f(x) = 1 x autour de x 0 = 1 (ordre 4) d) f(x) = cos(x) autour de x 0 = 2 (ordre 7) 21. Estimer les erreurs commises dans l'évaluation des fonctions suivantes. Tous les chires fournis sont signicatifs. Indiquer le nombre de chires signicatifs du résultat. a) f(x) = ln(x) en x = 2,01 b) f(x) = arctan(x) en x = 1,0100 c) f(x) = x 8 en x = 1,123 d) f(x) = (sin(x)) 2 en x = 0, Estimer les erreurs commises dans l'évaluation des fonctions de plusieurs variables suivantes. Tous les chires fournis sont signicatifs. Indiquer le nombre de chires signicatifs du résultat. a) f(x,y) = x 2 y 3 en x = 12,1, y = 3,721 b) f(x,y,z) = xyz en x = 1,260, y = 0,5 10 3, z = 12,93

4 46 Chapitre La déexion y du sommet du mât d'un voilier sous le poids de la voilure est donnée par la formule : y = FL4 8EI où : F = 750 N/m est la charge (supposée uniforme) ; L = 11,0 m est la hauteur du mât ; E = 0, Pa est le module d'élasticité ; I = 0, m 4 est le moment d'inertie. On supposera que tous les chires fournis sont signicatifs. Évaluer le nombre de chires signicatifs de la déexion y du sommet du mât. 24. Dans la revue Science & Vie [17] de septembre 1996, on fournit les données suivantes pour le satellite Titania d'uranus : Rayon : R = ±5000 m Densité : ρ = 1590±90 kg/m 3 a) Donner le nombre de chires signicatifs du rayon R et de la densité ρ. b) En supposant que Titania soit parfaitement sphérique (de volume V = 4R3 3 ), trouver une approximation de la masse de Titania et donner le nombre de chires signicatifs de votre résultat. 25. À l'aide d'une méthode numérique, on a évalué la dérivée d'une fonction pour deux valeurs de h. h f (x 0 ) Erreur absolue 0,1 25,3121 0,0004 0,05 25, , a) Donner le nombre de chires signicatifs de chaque approximation et arrondir au dernier chire signicatif. b) Quel est l'ordre de la méthode de diérentiation numérique utilisée? Écrire un programme qui évalue la formule suivante : (sinx) = cosx 1 h (sin(x+h) sinx) au pointx = 0,5 en utilisant les valeurs deh = 10 p avecp = 1,2,,20. Expliquer les résultats obtenus en comparant avec la valeur exacte de cos(0,5). 2. Les exercices précédés du symbole nécessitent l'utilisation d'un ordinateur. Pour faciliter la tâche de programmation, nous recommandons le logiciel Matlab R qui possède toutes les fonctionnalités de base nécessaires à l'apprentissage des méthodes numériques.

5 27. On considère la suite {x n } n=1 dénie par : ( ) ( ) 3β α 12α 3β 1 x n = 4 n n où α et β sont des constantes. Analyse d'erreurs 47 a) En posant α = 1 et β = 1 3, écrire un programme pour calculer x 1,x 2,,x 50. b) On perturbe maintenant légèrement la suite en posant : ( ) ( ) 3β α 12α 3β 1 y n = +ǫ 4 n + +ǫ n En choisissant toujours α = 1 et β = 1 3, calculer y 1,y 2,,y 50 pour ǫ = et ǫ = respectivement. c) Expliquer les résultats. ( x ) 2nsinxdx. 28. Soit S n = Cette suite est positive car l'intégrand 0 est une fonction positive dans l'intervalle considéré. a) Montrer que l'on obtient la relation de récurrence : S n = 1 2n(2n 1) 2 S n 1, n = 1,2, b) Il est facile de s'assurer que S 0 = 2. Montrer expérimentalement que cette récurrence est instable en calculant S 1,S 2...,S 16. L'instabilité se traduira par l'apparition de valeurs négatives. c) On pourrait facilement montrer S n tend vers 0. Utiliser cette fois la récurrence inverse, en partant de S 15 = 0, pour calculer : Que constatez-vous? 29. On utilise souvent l'approximation : S 14,S 13,,S 0 sinx x comme nous l'avons fait pour le problème du pendule. D'où vient cette approximation et quel est son ordre de précision? 30. On peut obtenir une approximation de la fonction exponentielle f(x) = e x à l'aide de la fonction rationnelle : r(x) = x2 +6x+12 x 2 6x+12 En comparant r(x) avec les valeurs exactes de l'exponentielle en x = 0,2 et en x = 0,1, déterminer l'ordre de cette approximation.

6 48 Chapitre a) Calculer le développement de Taylor d'ordre 5, c'est-à-dire dont le terme d'erreur est de type O(h 5 ), de la fonction f(x) = ln(x) autour de x 0 = 1. Donner l'expression analytique du terme d'erreur. b) À l'aide de ce développement, donner une approximation de ln(1,1). Par comparaison avec la valeur exacte (ln1,1 = 0, ), donner le nombre de chires signicatifs de l'approximation. c) Par quel facteur approximatif l'erreur obtenue en b) serait-elle réduite si l'on évaluait ln(1,025) au moyen du développement de Taylor obtenu en a)? (Ne pas faire les calculs.) 32. En se servant d'un développement de Taylor de la fonction arctanx autour de x 0 = 0, on a obtenu les résultats suivants : arctan(0,4) = 0, (erreur absolue = 0, ) arctan(0,1) = 0, (erreur absolue = 0, ) Quel était l'ordre du développement de Taylor utilisé? 33. a) Obtenir le développement de Taylor autour dex 0 = 0 de la fonction : f(x) = 1 1 x en utilisant la forme b) Poser x = t 2 dans le développement obtenu en a) et obtenir le développement de Taylor de : g(t) = 1 1+t 2 c) Intégrer l'expression obtenue en b) et obtenir le développement de Taylor de la fonction arctan t. d) Utiliser l'expression obtenue en a) et obtenir le développement de Taylor de ln(1+x). (Remplacer x par x en premier lieu.) 34. La fonction d'erreur f(x) est dénie par : f(x) = 2 x e t2 dt Pour en obtenir le développement de Taylor, on peut suivre les étapes suivantes : a) Obtenir le développement de Taylor de e x en utilisant la forme 1.18 (limiter le développement aux 6 premiers termes). b) Déduire de a) le développement de Taylor de e t2. c) Déduire de b) le développement de Taylor de f(x). d) Donner une approximation de f(1) en utilisant les 4 premiers termes de son développement de Taylor. e) Quel est l'ordre de l'approximation obtenue en d)? 0

7 Analyse d'erreurs 49 f) Donner le nombre de chires signicatifs de l'approximation obtenue en d) en la comparant avec la valeur exacte f(1) = 0, a) Obtenir le développement de Taylor d'ordre 3 de la fonction : f(x) = 1+x autour de x 0 = 0. b) Donner l'expression analytique du terme d'erreur pour le développement obtenu en a). c) À l'aide du polynôme trouvé en a), donner des approximations de 1,1 et 1,025 et calculer les erreurs absolues e1 et e 2 commises en comparant avec les valeurs exactes correspondantes. Donner le nombre de chires signicatifs de chaque approximation. d) Eectuer le rapport e 1 e 2 et expliquer le résultat. 36. Si f(x) = 4+x. a) Trouver le développement de Taylor de degré 2 de la fonction f(x) au voisinage de x 0 = 0. b) En utilisant le polynôme obtenu en a), donner une approximation de 3,9. En utilisant la valeur exacte de 3,9 (donnée par votre calculatrice par exemple), estimer l'erreur absolue et l'erreur relative commises. c) Quels sont les chires signicatifs de l'approximation obtenue en a)?

8 50 Réponses aux exercices

9 Réponses aux exercices Réponses aux exercices du chapitre 1 1. a) x 0,5 10 4,E r 0, b) x 0,5 10 3,E r 0, c) x 0,5 10 5,E r 0, d) x 0,5 10 8,E r 0, e) x 0,5 10 3,E r 0, f) x 0, ,E r 0, Le passage en binaire donne : a) (32) 10 = (100000) 2 d) (876) 10 = ( ) 2 b) (125) 10 = ( ) 2 e) (999) 10 = ( ) 2 c) (1231) 10 = ( ) 2 f) (12345) 10 = ( ) 2 3. a) Complément à 2 :(+125) 10 = ( ) 2,( 125) 10 = ( ) 2, (0) 10 = ( ) 2, (±175) 10 ne peuvent pas être représentés sur 8 bits, ( 100) 10 = ( ) 2 b) Représentation par excès (d = 2 7 ) : (+125) 10 = ( ) 2, ( 125) 10 = ( ) 2,(0) 10 = ( ) 2,(±175) 10 ne peuvent pas être représentés sur 8 bits, ( 100) 10 = ( ) 2 4. a) Binaire classique : ( ) 2 = (3) 10, ( ) 2 = (129) 10, ( ) 2 = (255) 10 b) Complément à 2 : ( ) 2 = (+3) 10, ( ) 2 = ( 127) 10, ( ) 2 = ( 1) 10 c) Représentation par excès (d = 2 7 ) : ( ) 2 = ( 125) 10, ( ) 2 = (+1) 10, ( ) 2 = (+127) Le passage en binaire donne : a) (0,5) 10 = (0,1) 2 d) ( 1 3 ) 10 = (0, ) 2 b) (0,2) 10 = (0, ) 2 e) (0,25) 10 = (0,01) 2 c) (0,9) 10 = (0, ) 2 f) ( 3 8 ) 10 = (0,011) 2 6. a) b) c) (valeur arrondie) En retransformant ces réponses en décimal, on trouve : a) 52,234375, b) 7112,0 et c) 16,

10 52 Réponses aux exercices Les deux premières représentations sont exactes, mais la troisième comporte une erreur absolue de 0, et une erreur relative de 0, qui est bien entendu inférieure à la précision machine ǫ m en simple précision. 7. a) Les valeurs binaires des exposants admissibles sont 001, 010, 011, 100, 101, et 110. Compte tenu de l'excès de 3, les valeurs décimales correspondantes sont 2, 1, 0, 1, 2 et 3. b) Le nombre est positif (0) et il faut utiliser le plus petit exposant (001) et la plus petite mantisse Le nombre correspondant est : ( 1) 0 2 (001) ,0000 = 2 2 c) La mantisse comporte 4 bits plus un bit muet qui n'est pas mis en mémoire. La précision machine est donc d) On montre facilement que (3,25) 10 = (11,01) 2 = 1, L'exposant est 1 qui devient (100) 2 tel que vu en a). La mantisse est tout simplement En somme, on représente 3,25 par en notation IEEE-FICT. 8. a) e 0, b) 1 6 0, c) 2 3 0, d) 12, , e) , f) 2000,1 0, (x+y)+z = 0, , alors que x+(y +z) = 0, On obtient : a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, f) 0, N.B. : En a) par exemple, la représentation ottante de 1/ est : ( (1) () ) = ( 0, , ) = (0, ) = 0, a) La valeur exacte est : x = 0,1011 La valeur approximative est : x app = 0,1 b) En sommant de droite à gauche, on obtient : x app = 0,101 et on évite de sommer deux nombres d'ordres de grandeur diérents. 12. a) = 1,53 1 b) = 1,54 81 En double précision on obtient : 10 i=1 1 = 1, i2 Le deuxième calcul est donc plus précis car la somme est eectuée par ordre croissant des termes.

11 Réponses aux exercices Non, voir l'exercice a) du numéro 10 pour un exemple possibilités pour la mantisse, 19 exposants diérents et 2 signes (±) pour un total de nombres. On ajoute 1 à ce nombre pour tenir compte de l'exception Si x est près de 0, cosx est également près de 1 et il y a risque d'élimination par soustraction des chires signicatifs. Une solution de rechange est : (1 cosx) (1+cosx) (1+cosx) = sin2 x (1+cosx) 16. a) cos2θ b) Horner : p(x) = 1+x( 2+x(3 4x)) c) On eectue la somme à rebours. 17. Au fur et à mesure que n augmente et que l'on cumule la somme, 1/n devient de plus en plus petit. On nit par additionner un très petit nombre à un très grand et l'espace limité de la mantisse le fait disparaître. 18. Si f(x,y) = xy, alors f x y x y+ y x x y = x x + y. y 19. Puisque x 0, on a 0, x 0, a) f(x 0 + h) = cos(0 + h) = 1 h2 2! + h4 4! h6 6! + cos(ξ(h))h8 8! pour ξ(h) entre 0 et h. Une borne pour l'erreur est cos(ξ(h))h8 8! h 8 8! = h8 8! puisque la fonction cos(x) est comprise entre -1 et 1. b) f(x 0 + h) = sin(0 + h) = h h3 entre 0 et h. Borne pour l'erreur : que h peut être négatif. 9! pour ξ(h) h 9 9!, en rappelant 3! + h5 5! h7 7! + cos(ξ(h))h9 cos(ξ(h))h9 9! c) f(x 0 +h) = 1 1+h = 1 h+h2 h 3 + h4 pour ξ(h) entre 1 et 1+h. (ξ(h)) 5 La borne de l'erreur dépend du signe de h. Si h > 0, alors ξ(h) [1,1+h] et puisque la fonction 1/x 5 est décroissante, 1/(ξ(h)) 5 1 h et on a 4 (ξ(h)) 5 h4. Par contre, si h < 0, alors ξ(h) [1+h,1] et 1/(ξ(h)) 5 1/(1+h) 5 h de sorte que 4 (ξ(h)) h 4 5 (1+h) h h 5 d) f(x 0 +h) = cos( h3 2 +h) = h+ 3! h5 5! + sin(ξ(h))h7 7! pour ξ(h) entre 2 et 2 +h. Borne pour l'erreur : sin(ξ(h))h 7 7! h 7 7!. 21. a) f 0, ,f(x ) = 0,69813 (2 chires signicatifs) b) f 0, ,f(x ) = 0,79037 (4 chires signicatifs) c) f 0, ,5 10 1,f(x ) = 2, (2 chires signicatifs) d) f 0, ,f(x ) = 0, (1 chire signicatif) 22. a) f 0, ,5 10 3,f(x,y ) = 7543,098 (1 chire signicatif)

12 54 Réponses aux exercices b) f 0, ,f(x,y,z ) = 0, (0 chire signicatif) 23. Pour chacune des variables, on a une borne pour l'erreur absolue : F = 0,5 10 0, L = 0,5 10 1, E = 0, et I = 0, On a alors : ( F y y F + 4 L + E L E + I ) = 0, , I Puisque y = 0, m, il n'y a qu'un seul chire signicatif. 24. a) R = 0, m et R possède 2 chires signicatifs. ρ = 0, , kg/m 3 et ρ n'a qu'un seul chire signicatif. b) m = ρv = 4R3 ρ de sorte que m m 3 R R + m ρ ρ = 4 3 3R2 ρ R+ 4R 3 3 ρ = 2, = 0, kg. Puisque m = 3, kg, l'approximation de la masse n'a qu'un seul chire signicatif. 25. a) Respectivement 5 (25,312) et 6 (25,3125) chires signicatifs. b) e 1 e 2 = 16 = 2 n, ordre Lorsque l'on passe de h = 10 1 à h = 10 9 l'erreur décroît comme on s'y attend. Elle commence ensuite à croître parce que l'on soustrait des nombres voisins. Rappelons qu'en double précision, cos(0,5) = 0, (sin(x)) = cos(x) (sin(x+h) sin(x)) h h Approximation Erreur relative , , , , , , , , , , , , , , , , a) Voici les 16 premiers résultats. Les autres termes décroissent vers 0 très rapidement. ( ) ( ) x n = 3β α 4 n + 12α 3β n n x n n x n 1 0, , , , , , , , , , , , , , , ,

13 Réponses aux exercices 55 b) Si ǫ = 10 12, on obtient, pour n allant de 1 à 14 : ( ) ( ) y n = 3β α + ǫ 4 n + 12α 3β + ǫ n n y n n y n 1 0, , , , , , , , , , , , , , On peut constater que la suite est croissante à partir de n = 11, contrairement à la suite x n. La valeur de y 50 serait 1, , ce qui est totalement faux. Pour ǫ = 10 50, les valeurs obtenues sont similaires à celles de x n. c) Pour expliquer ce comportement, il sut de constater que : ( y n = x n +ǫ 4 n + 1 ) 3 n. Puisque , on voit qu'à partir de n = 20, lorsque ǫ = 10 12, le terme d'erreur est de l'ordre de l'unité, ce qui est grand par rapport à x 20 = , Enn, pour ǫ = 10 50, le terme d'erreur n'est jamais plus grand que et ne se voit pas. 28. a) On intègre deux fois par parties pour obtenir : 0 ( x ) 2nsinxdx = cos ( = 1 2n (2n 1) qui est une suite positive décroissante. b) Les valeurs en double précision sont : 0 ) 2n + 2n ( x 0 ( x ) 2n 2sinxdx S n = f(s n 1 ); S 0 = 2 n S n n S n 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , ) 2n 1cosxdx On constate que la récurrence donne un résultat négatif pour n = 15 et que la valeur absolue des termes commence à croître.

14 56 Réponses aux exercices c) Si on calcule à l'envers, la récurrence devients n 1 = 2 2n(2n 1) (1 S n) et en posant n = 15 et S 15 = 0, on obtient : S n 1 = f(s n ); S 15 = 0 n S n n S n , , , , , , , , , , , , , , Les valeurs sont bonnes pour les indices n de 1 à 10. On remarque donc que la récurrence directe est instable et que la récurrence inverse est stable. 29. Cette approximation est le développement de Taylor d'ordre 3 de sin x autour de On a e 1 = e 0,2 r(0,2) = 0, et e 2 = e 0,1 r(0,1) = 0, Puisque e 1 e 2 = 2 n, on trouve n 5,18 et l'on a une approximation d'ordre 5 de l'exponentielle. 31. a) ln(1+h) = h h2 2 + h3 3 h4 4 + h5 5ξ 5 b) ln(1,1) 0, avec 4 chires signicatifs. c) On divise h par 4, ce qui revient à diviser l'erreur par C'est un développement d'ordre a) f(x) = 1+x+x 2 +x 3 +x 4 + b) g(t) = 1 t 2 +t 4 t 6 +t 8 c) arctan(t) = t t3 3 + t5 5 t7 7 + d) ln(1+x) = x x2 2 + x3 3 x a) e x = 1 x+ x2 2! x3 3! + x4 4! x5 5! + b) e t2 = 1 t 2 + t4 2! t6 3! + t8 4! t10 5! + c) f(x) = ( 2 )(x x3 3 + x5 10 x x ) d) f(1) ( 2 )( ) = 0, e) C'est une approximation d'ordre 9. f) 2 chires signicatifs. 35. a) Le développement de Taylor de degré 2 et d'ordre 3 au voisinage de x 0 = 0 est : f(x 0 +h) = f(h) = 1+h P 2 (h) = 1+ h 2 h2 8 b) Puisque f (x) = 3 8 (1+x) 5 2, on en déduit de 1.24 que R 2 (h) = 1 16 (1+ξ(h)) 5 2h 3 pour un certain ξ(h) entre 0 et h.

15 Réponses aux exercices 57 c) 1,1 P 2 (0,1) = 1,04875 et e 1 = 0, < 0, et donc 4 chires signicatifs. De même, 1,025 P 2 (0,025) = 1, et e 2 = 0, < 0, et donc 6 chires signicatifs. d) Le rapport e 1 e 2 = 61,17 64 = 4 3, ce qui vient du fait que l'approximation utilisée est d'ordre 3 et que la valeur de h a été divisée par a) f(x 0 +h) = f(h) = 4+h P 2 (h) = 2+ h 4 h2 64. b) Puisque 3,9 = 4 0,1, on prend donc h = 0,1 de sorte que P 2 ( 0,1) = 1, La valeur exacte en double précision est 1, L'erreur absolue est donc 0, tandis que l'erreur relative est 0, c) Puisque x = 0, ,5 10 5, les chires signicatifs sont 1, Réponses aux exercices du chapitre 2 1. L'erreur absolue désirée est 0, et on utilise la formule??. a) x m = 2,9, 2,85, 2,875 (9 itérations) b) x m = 1,75, 1,625, 1,6875 (10 itérations) c) x m = 2,0, 3,0, 3,5 (13 itérations) d) x m = 1,5, 1,25, 1,125 (11 itérations) 2. x m = x 1 f(x 1)(x 2 x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) 3. a) 2,857 95, 2,860 03, 2, b) 1,67, 1,641 95, 1, c) 1,354 38, 1,946 33, 2, d) 1,016 13, 1,030 67, 1, a) f(1) = f (1) = 0, f (1) = 2, racine de multiplicité 2 b) f(0) = 0, f (0) = 1, racine de multiplicité 1 c) f(0) = f (0) = 0, f (0) = 2, racine de multiplicité 2 d) f(0) = 1, 0 n'est pas une racine 5. a) f (x) > 0 x > 0 et donc f est strictement croissante. Puisque f(0) = 4 et f(2) = 0,38, il y a une racine entre 0 et 2. b) On obtient x = 1, en 25 itérations à partir de [0,2]. c) L'intervalle initial est de longueur L = 2. La formule?? impose que n > ln(2/10 8 )/ln2, c.-à-d. n = 1 + 8ln(10)/ln(2) = 27,57 et donc n = a) Si on factorise ce polynôme, on obtient : f 1 (x) = (3x 2) 6 La racine 2/3 est multiple, il n'y a pas de changement de signe et le polynôme croît très vite au voisinage de celle-ci, ce qui la rend dicilement détectable.