ANALYSE DES CORRESPONDANCES SIMPLES

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1 ANALYSE DES DONNÉES TEST DU KHI-DEUX ANALYSE DES CORRESPONDANCES SIMPLES Perre-Lous Gozalez

2 MESURE DE LIAISON ENTRE DEUX VARIABLES QUALITATIVES KHI-DEUX

3 Mesure de la laso etre deux varables qualtatves Equête : Êtes-vous «as du tout d accord» () «as tellemet d accord» () «eut-être d accord» (3) «be d accord» (4) «etèremet d accord» (5) avec cette hrase? : «O e a assez de ceux qu bloquet la ve du ays ar leurs revedcatos» TOTAL Extrême gauche Gauche Cetre Drote Extrême drote Idéret No-réose Kh-deux = 39,48 d.d.l. = 4 Proba =.0E-53 3

4 Exste-t-l u le etre les réoses et la tedace oltque? Tableau des rols lges TOTAL Extrême gauche Gauche Cetre Drote Extrême drote Idéret No-réose

5 DIAGRAMME EN BATONS No réose Idéret Extrême drote Drote Cetre Gauche Extrême gauche 00 0 Accord -- Accord - Accord = Accord + Accord ++ REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES COLONNES 5

6 TEST DU CHI-DEUX Il s agt de tester l déedace de deux varables qualtatves. Y a-t-l déedace etre : la catégore socale et le vote à l électo résdetelle? veaux d études et ouraux lus?. Tableau de cotgece Crosemet de deux varables qualtatves I et J à et q modaltés. q = q = = = = q = = (total lge) (total coloe) (total) 6

7 . Prols lges - rols-coloes - rols margaux Prol lge : O dvse chaque terme de la lge ar l eect de la lge q Prol margal corresodat : J q S les deux varables qualtatves I et J étaet déedates, les rolslges seraet tous detques, et doc detques au rol margal corresodat. = = 7

8 Remarques O ouvat établr la relato récédete e rasoat sur les rolscoloes. Souvet cette relato est exrmée = avec = et = = Elle exrme claremet que das le cas de l déedace le tableau de cotgece est etèremet détermé ar ses marges. 8

9 3. Déto du Kh-deux Pour chaque case, o eut doc calculer le ombre de cas attedus (sous hyothèse d déedace) = O eut comarer les ombres de cas attedus E aux ombres observés. χ χ = = = = q = q = ( E) E 4. Test S les deux varables sot réellemet déedates, cette exresso sut ue dstrbuto du Kh-deux avec u ombre de degrés de lberté égal à :( ) ( q ) Das ue table o lt χ α,k valeur ayat ue robablté α d être déassée our ue dstrbuto du kh-deux avec k= ( ) ( q ) lberté. S χ S χ χ α χ α,k o accete H 0 : déedace >,k o reette H 0. degrés de 9

10 Remarque : test du kh-deux Les logcels statstques rooset la résetato suvate : calcul du χ assocé au tableau de cotgece oté χ obs. robablté our ue v.a. suvat ue lo du kh-deux à ( ) ( q ) d.d.l. de déasser χ obs. Prob χ [ ( )( ) χ ] q > obs χ obs S cette robablté est able (e gééral < 5 %), o reette l hyothèse d déedace etre les deux varables qualtatves. 0

11 5. Autres coecets Du χ d assocato. assocé à u tableau de cotgece, o dédut d autres mesures Coecet de cotgece x + x φ de Pearso φ = x Coecet de Tschurow T = φ q où et q = ombre de modaltés des varables Ce coecet comrs etre 0 et est e at l aalogue d u coecet de corrélato. T = laso octoelle récroque Coecet de Cramer C = I, ( q ) φ

12 L aalyse des corresodaces smles (A.F.C.) Méthode roosée ar J.P. Bezecr das le but d étuder la laso dte ecore corresodace etre deux varables qualtatves. Exemle : réartto des habtats de Pars selo leur leu d habtato : u des 80 quarters et leur C.S.P. Questos : Certas quarters sot-ls roches? au ses même réartto des C.S.P.? Certaes C.S.P. sot-telles roches? Certaes C.S.P. sot-elles lus souvet assocées à certas quarters? L aalyse des corresodaces trate des tableaux de cotgece.

13 3 I. NOTATIONS ET PRÉSENTATION ) Notatos : tableau de cotgece : N Crosemet de deux varables qualtatves à et q modaltés q Var I Var J ( ) = N q, Prols des lges = rol de la lge oté q q q Prols des coloes rol de la coloe oté c

14 ) Rerésetato des rols a) Les rols-lges Les rols lges sot cosdérés comme des dvdus. Les rols-lges ormet u uage de ots das R q A chaque rol-lge est assocé u ods égal à sa réquece margale. O ote NI ( ) le uage de ots ormé des rols-lges odérés : ( ; ) rol lge ods Le cetre de gravté g est dé ar : g = = La ème coordoée de g vaut E eet : = = = = Doc g = rol margal de la varable J (à q modaltés) g = J 4

15 b) Les rols-coloes ( ) = uage de ots ormé des q rols - coloes odérés ( c, ) NJ Le cetre de gravté g c est le rol margal de la varable I à modaltés. g c = I 5

16 Le roblème qu se ose est l étude de la déedace etre les deux varables qualtatves. Das le cas où les deux varables sot déedates, o a detté des rols : = rol - lge ( ) ( ) = rol - coloe = Das le cas de l déedace, le uage des rols-lges se rédut à u ot g De même, le uage des rols-coloes se rédut à u ot g c. L étude de la déedace cosste à étuder la orme des uages. roblème d aalyse e comosates rcales. Quelle métrque? Remarque Remarquos que les rols ayat our somme, les rols-lges sot e réalté stués das le sous-esace de dmeso q dé ar q x = = (avec x 0). De même our les q rols-coloes. 6

17 Métrque du χ a) Pour les rols lges : d χ ( ), q = = Justcatos : Doe u ods mortat aux déreces ortat sur les etts ourcetages. Vére le rce d équvalece dstrbutoelle : s deux coloes ot le même rol, o les réut e ue seule d eect somme sas moder les dstaces etre rolslges. b) Pour les rols-coloes : d χ ( c, c ) = = 7

18 Exemle de calcul de la dstace etre deux rols-lges Dstace du χ : d ( EXPA,LICS ) = ( ) drot SCEC + LETT + SCIE MEDD PHAR PLUR IUT + (.. ) ( ) cotrbuto das le calcul de la dstace du our MEDD our IUT : 0,30 : 0,33 χ avec la dstace eucldee usuelle : our MEDD our IUT : 0,06 : 0,0076 la cotrbuto d IUT aurat été tro able : E eet :,35 % des ls d EXPA vot à l IUT au leu de 5,7 % our l esemble de la oulato (sot le double),6 % des eats de LICS vot à l IUT au leu de 5,7 % oulato etère 8

19 Ierte du uage N(I) I NI ( ) l erte du uage NI ( ) calculée ar raort au cetre de gravté J vaut χ où χ = ch-deux assocé au tableau de cotgece étudé. E eet : I NI χ J = () = d (, ) = q = = q = = = q = = = = = = χ q = Remarque : o obtet le même résultat our l erte du uage NJ. ( ) 9

20 II. L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES DU NUAGE DES PROFILS-LIGNES, DES PROFILS- COLONNES. O réalse l A.C.P. du uage des rols-lges : Les rols-lges ouet le rôle d dvdus ; ls sot aectés des ods La métrque utlsée our le calcul des dstaces etre dvdus est la métrque du kh-deux. Le remer axe rcal du uage des rols-lges est la drote assat le lus rès ossble de l esemble des ots de NI. ( ) Notos a la remère comosate rcale a =... coordoées des rols-lges sur l'axe Notos λ la varable de a (égale à l erte aortée ar l axe qu lu est assocé). a = deuxème comosate rcale de varace λ a 3 = trosème comosate rcale de varace λ 3 0

21 . O eut égalemet réalser l A.C.P. du uage des rols-coloes aectés des ods e utlsat la métrque du χ. Notos b la remère comosate rcale b =... coordoées des q rols-coloes sur l'axe b = deuxème comosate rcale Les comosates rcales de l A.C.P. des rols-coloes sot assocées aux mêmes valeurs rores que les comosates rcales de l A.C.P. des rols-lges. b a our varace λ b a our varace λ.....

22 3. Le etre les deux aalyses : ormules de trasto (deuxème orme) E otat b et a les ème et ème coordoées des comosates rcales b et a assocées à la même valeur rore λ : λ b = = a λ a = q = b avec a = a a a... b = b b b... q À λ rès, la coordoée d ue modalté d ue varable est la moyee des coordoées des catégores de l autre varable odérées ar les réqueces codtoelles du rol de.

23 III. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES A.F.C. Dvers tyes de rerésetatos sot ossbles :. Les modaltés de la varable I sot rerésetées e tat qu dvdus (rols-lges) de l A.C.P. des rols-lges. La modalté de la varable I a our coordoées das u esace de dmeso k : k ( a, a,..., a ) avec a a ème = coordoée du vecteur a ème = coordoée du vecteur a... Pour les modaltés de la varable J, la modalté a our coordoées : k ( λ b, λ b,... λk b ) b b ème = coordoée du vecteur b ème = coordoée du vecteur b Les modaltés du deuxème groue ( J ) sot les barycetres des modaltés du remer groue (varable I). (vor ormules de trasto) 3

24 . Même rce mas e versat les rôles des deux groues de modaltés. 3. Abado du rce barycetrque Les modaltés de chaque esemble sot rerésetées ar les : a b k k =... =... q Cette derère soluto est la lus ratque (be que les deux groues de modaltés se trouvet e réalté das des esaces dérets). Cette rerésetato ermet de détermer les roxmtés etre certas élémets de I et certas élémets de J (comte teu de la qualté de la rerésetato). 4

25 4. Ades à l terrétato : detques à celles de l A.C.P. a) Cotrbutos de la lge à l axe k ( a ) k λ k avec = de la coloe à l axe k ( a ) λ k k avec = b) Cosus carrés Modalté rerésetée sur l axe k d ( a ) k (, G) Modalté rerésetée sur l axe k d ( b ) k (, G) 5

26 c) Asects ratques de l terrétato L terrétato eut se are à artr des rerésetatos grahques (e s assurat de la qualté de rerésetato de chaque modalté à l ade des cos ). Quad le ombre de modaltés est élevé, l est cosellé d édter d abord le grahque des rols-lges, us celu des rolscoloes, e la rerésetato smultaée. Les rols ayat des ods dérets la lecture de leurs cotrbutos à l erte de chaque axe s avère très utle. 6