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- Marie-Agnès Crépeau
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10 º¾¾ Ä Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ ¹ ÓÙ Ø ÐÙ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f Ò ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;]º Ò ÜÔÐÓ Ø ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ù Ø Ö ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÐÐ Ø ÚÖ ÓÙ Ù ÔÙ Ö Ø Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù º x f 5 ½º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] ÕÙ ÙÒ Ñ Ô Ö f Ð 4º ¾º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] ÕÙ ÙÒ Ñ Ò Ø Ú Ô Ö fº º ÌÓÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] ÓÒØ ÙÒ Ñ Ò Ø Ú Ô Ö fº º ÌÓÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] ÓÒØ ÙÒ Ñ Ô Ö f ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò¹ Ö ÙÖ º º ÌÓÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ 5;] ÓÒØ ÙÒ Ñ Ô Ö fº º ÌÓÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] ÓÒØ Ð ÙÖ ÒØ ÒØ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ; ]º º¾ ÎÓ Ð Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ x f 5 5 ÎÓ ÓÒ Ø Ð Ù Ò x f(x) ¹ 0 0 ¹ ÌÖ Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ ÔÓ Ð ØØ ÓÒØ ÓÒº º¾ ÌÖ Ö ÙÒ ÓÙÖ Ù ÔØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f ÒØ ÕÙ f Ø Ò ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;4] f Ñ Ø ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ø ÙÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ò ¾ Ð Ñ Ø ÓÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¾ Ø ½ ¼ ÙÜ ÒØ ÒØ Ø ½º
11 º¾ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f Ò ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ 5;5] Ø ÓÒØ Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÒÓÒÒÙ Ñ Ø Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ f Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ 5; ] f Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] f Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [;5]º Ò ÓÙØÖ Ð ÓÙÖ f Ô Ô Ö Ð ÔÓ ÒØ Ù Ú ÒØ ( 5; ) ( 4;0) ( ;) (0;0) (; ) (5;0)º Ê ÔÓÒ Ö ÙÜ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ò ÙØ Ð ÒØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ö Ö ØÖ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ fº ½º ÈÖ Ö Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ð Ñ Ü ÑÙÑ f ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ 5;5]º ¾º ÇÖ ÓÒÒ Ö Ð ÓÙÔÐ ÒÓÑ Ö Ù Ú ÒØ º º f( 4) Ø f( ) º f( ) Ø f( 0.5) º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ x Ø ÐÐ ÕÙ f(x) = 0º º Ê ÓÙ Ö Ð³ Ò ÕÙ Ø ÓÒ f(x) 0º º ÌÖÓÙÚ Ö ÙÜ ÒÓÑ Ö Ø Ð ÕÙ f(x) < º º f() Ø f() º f( ) Ø f()º º ÈÖÓÔÓ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ ÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ò ÕÙ Ø ÓÒ f(x) < º º¾ ËÓ Ø f Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ Ê Ô Ö f : x 8 x. ½º ÐÙÐ Ö Ð Ñ ÒÓÑ Ö Ù Ú ÒØ Ø ÓÒÒ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ò ÙÒ Ø Ð Ùº,5,5 0,5 0 0,5,5,5º ¾º Ò Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f г ÐÐ ¾Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÙÖ Ð³ Ü Ø ½Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÙÖ Ð³ Ü ÓÖ ÓÒÒ º º Ö Ö Ð Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ f ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [,5;,5]º º ¹ ÓÙ ÓÒØ ÔÖÓÔÓ Ð Ø Ð ÙÜ Ú Ö Ø ÓÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ u Ø vº Ò Ð Ñ Ñ Ö Ô Ö ÕÙ ÐÐ f Ò Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ ÕÙ ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ø Ò Ù Ö Ð ÒÓÑ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ f(x) = u(x) ÔÙ f(x) = v(x)º x,5 0,5 5 5 u x, 5, 5 5 v 7 5
12 ÔÔÐ Ø ÓÒ º¾ ÍÒ ÐÐ Ø Ð Ò ³ÙÒ ÙØ ÙÖ ¾ Ñ ØÖ ³ Ø Ö Ù ÓÙØ Ù Ö ³ÙÒ ÓÙ Ù µ Ú ÙÒ Ò Ð ³ ÒÚ ÖÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ù Óк ÐÐ Ù Ø ÐÓÖ ÙÒ ØÖ ØÓ Ö ÓÒÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ h(x) = 0,04x +0,x+. È ÖØ ½º Ö Ö ÙÒ Ø Ð Ù Ú Ð ÙÖ ÔÓÙÖ h Ú ØÓÙØ Ð Ú Ð ÙÖ x ÒØ Ö ÒØÖ 0 Ø 0º ÉÙ ÐÐ Ñ Ð ØÖ Ð Ú Ð ÙÖ Ñ Ü Ñ Ð h(x)º ¾º Ö Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ h Ô Ö ÙÒ Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0;0]º º Ê ÔÖ ÒØ Ö Ö Ô ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ h ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0;0]º º ÍØ Ð Ö Ð Ð Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ö ÔÓÒ Ö ÙÜ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ º ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ù ÔÓ ÒØ Ð Ò Ö Ð ÐÐ ØÓÙ ¹Ø¹ ÐÐ Ð ÓÐ º ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ð ÐÐ ØØ Òع ÐÐ ÓÒ ÐØ ØÙ Ñ Ü Ñ Ð º ÈÓÙÖ ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ð ÐРع ÐÐ Ù¹ Ù ÓÒ ÐØ ØÙ Ò Ø Ð ÈÓÙÖ ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ø¹ ÐÐ Ò¹ ÓÙ º ÈÓÙÖ ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ð ÐРع ÐÐ ÙÒ ÐØ ØÙ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÑÔÖ ÒØÖ ½ Ø ¾ Ñ ØÖ È ÖØ ÔÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÒ Ð ÐÐ Ù Ø ÙÒ ØÖ ØÓ Ö ÓÒÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ h(x) = 0,x +,5x 5. ½º ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ù ÔÓ ÒØ Ð Ò Ö Ð ÐÐ ØÓÙ ¹Ø¹ ÐÐ Ð ÓÐ ÔÓÙÖ Ð ¾ Ñ Ó ¾º ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ð ÐÐ ØØ Òع ÐÐ ÓÒ ÐØ ØÙ Ñ Ü Ñ Ð ÒØÖ Ð ÙÜ Ö ÓÒ ÓÑÔ Ö Ö ØØ ÐØ ØÙ Ñ Ü Ñ Ð Ú Ð Ú Ð ÙÖ Ñ Ü Ñ Ð Ú ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÒ º º¾ ËÓ Ø ABCD ÙÒ ÖÖ Ø º ÍÒ ÔÓ ÒØ M Ö Ø Ð ÓÒØÓÙÖ ÓÒ Ø ØÙ Ñ ÒØ [AB] [BC] [CD] Ø [DA] Ò Ð Ò A B C D Aº ÇÒ ÔÔ ÐÐ x Ð Ø Ò Ô ÖÓÙÖÙ Ô Ö M ÔÙ Ð ÔÓ ÒØ Aµº ½º ÉÙ Ú ÙØ x ÕÙ Ò M Ø Ò A Ò B Ò C Ò D Ò A Ð Ò Ù ØÖ Øµ ¾º ËÓ Ø O Ð ÒØÖ Ù ÖÖ ABCD Ø f Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ ÒØ OM Ò ÓÒØ ÓÒ xº º ÉÙ Ð Ø Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ³ ØÙ f º ÐÙÐ Ö f(x) ÕÙ Ò x Ú ÙØ 0;;4;6;8;0;;4º º Ë Ò ÐÙÐ Ö f(x) Ò Ð Ò Ö Ð ÓÖÑ Ö Ð Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ f Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ð ÙÖ º º ÉÙ Ð Ø Ð Ñ Ò ÑÙÑ f ÈÓÙÖ ÕÙ ÐÐ Ú Ð ÙÖ x ع Ð ØØ ÒØ º ÉÙ Ð Ø Ð Ñ Ü ÑÙÑ f ÈÓÙÖ ÕÙ ÐÐ Ú Ð ÙÖ x ع Ð ØØ ÒØ º ÓÒÒ Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ ÒØ º ½¼
13 º ÓÒÒ Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ ÒØ 4º º¾ ÊÓ Ö ³ ÐÐ Ö ÑÔ Ö ÙÐ Ò ÙÒ Ò ÖÓ Ø Ò Ð Ô Ö ÙÒ Ñ º ÖÖ Ú ÙÖ Ð Ð ÙÜ Ð ØÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò ÊÓ Ö Ô ÙØ ÔÐ ÒØ Ö Ø ÒØ Ù ÓÖ ³ÙÒ ÖÓÙØ ØÖÓ Ø Ø Ô Ù Ö ÕÙ ÒØ ØÓÙØ ÖÓ Ø ÕÙ ÓÙØ Ø ÙÒ Ô Ø Ø ÔÐ Ù ÓÖ ³ÙÒ Ö Ú Ö Rº Å Ð Ó Ø Ó Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÚÓ ØÙÖ Ò ÙÒ ÖÖ Ö Ø C ØÙ ¼¼ Ñ ØÖ Ð Ö Ú Ö º À ÙÖ Ù Ñ ÒØ ÙÖ ØØ ÖÓÙØ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ ÖÑ F ¼¼ Ñ ØÖ Ð Ö Ú Ö Ó ÅÓÒ ÙÖ Å ÖØ Ò ÔÓÙÖÖ Ø Ö Ù Ð Ø Ö º Ä ÖÑ Ö ÔÖ ÕÙ Ð ÓÙÖ S ØÙ ¼ Ñ ØÖ Ð Ö Ú Ö ÓÒÒ ÙÒ Ü ÐÐ ÒØ Ù ÔÓØ Ð º C F S R ½¼¼ Ñ ¾ ¼ Ñ ¼ Ñ ÊÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ð Ò ÖÓ Ø T Ð Ó Ø ÔÐ ÒØ Ö Ø ÒØ º ÁÐ ÔÖ ÚÓ Ø ÕÙ ÕÙ ÓÙÖ Ð Ö ØÖÓ Ó Ð ÚÓ ØÙÖ ÙÒ Ó Ð ÖÑ ÙÜ Ó Ð ÓÙÖ Ø ÙÒ Ó Ð Ö Ú Ö º ÇÒ ÓÒ Ö ÕÙ³ ÕÙ ÐÐ Ö¹Ö ØÓÙÖ Ð Ô ÖØ Ø ÒØ º ½º ÜÔÖ Ñ Ö Ð Ø Ò Ô ÖÓÙÖÙ ÕÙ ÓÙÖ Ô Ö ÊÓ Ö Ò ÓÒØ ÓÒ Ø Ò CT FT ST Ø RT º ¾º ÇÒ ÔÓ x = CT Ø f(x) Ð Ø Ò Ô ÖÓÙÖÙ Ô Ö ÊÓ Ö Ò ÙÒ ÓÙÖÒ º ÇÒ Ø Ò Ù ØÖÓ º 0 x 00 ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f(x) = 400 x º 00 x 50 ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f(x) = x+000 º 50 x 400 ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f(x) = 0x 800º º ÈÓÙÖ ÙÒ ØÖÓ ÒØ ÖÚ ÐÐ ØÖ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ fº º Ò Ù Ö Ð³ Ò ÖÓ Ø Ó ÊÓ Ö ÒØ Ö Ø ÔÐ ÒØ Ö Ø ÒØ ÔÓÙÖ Ñ Ö Ö Ð ÑÓ Ò ÔÓ Ð º ¼ ÍÒ ÓÒ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ó Ò Ô Ú Ä ÙØ ÙÖ ØØ ÔÝÖ Ñ Ø [OS] Ð Ø ÙÒ ØÖ Ò Ð Ó Ð Ö Ø Ò Ð OABº ÇÒ ÔÓ h = OS Ø x = OA ÜÔÖ Ñ Ò Ñº ÓÒ ÙÒ ÚÓÐÙÑ 00Ñ º Ä ØÖÓ OAB SOA Ø SOB ÓÒØ Ö ÓÙÚ ÖØ ³ÙÒ Ô ÒØÙÖ Ñ Ø ÐÐ ÕÙ Ð SAB Ö Ø ØÖ Ò Ô Ö¹ ÒØ º ØØ Ô ÒØÙÖ Ø ÒØ ØÖ Ö ÓÒ Ö Ö Ð Ñ Ò¹ ÓÒ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ÙØ Ð Ö Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ô ÒØÙÖ º A O x S h x B ½º Ê Ð Ö ÙÒ Ô ØÖÓÒ ÓÒº ¾º ÜÔÖ Ñ Ö Ð ÚÓÐÙÑ Ù ÓÒ Ò ÓÒØ ÓÒ h Ø x ÔÙ Ò Ù Ö h Ò ÓÒØ ÓÒ xº º º Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ö ÙÒ Ô ÒØ Ò ÓÒØ ÓÒ x Ø hº º Ò Ù Ö Ð³ Ö ØÓØ Ð Ô ÒØ Ø ÜÔÖ Ñ Ö ØØ Ö Ò ÓÒØ ÓÒ x ÙÐ ¹ Ñ Òغ ÇÒ Ð ÒÓØ Ö f(x)º ½½
14 º º Ì ÙÐ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f ÙÖ [;0] Ù Ô ÓÒ ÓÒÒ Ö Ú Ð ÙÖ ÔÔÖÓ 0, ÔÖ µº º ÌÖ Ö Ð ÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú f Ò ÙÒ Ö Ô Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ³ÙÒ Ø Ñ Ò Ø 0,0Ñ Ò ÓÖ ÓÒÒ º º È Ö Ð ØÙÖ Ö Ô ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ Ò ÑÙÑ fº º ÐÙÐ Ö Ð ÙØ ÙÖ Ù ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù Ñ Ò ÑÙÑ fº º ÉÙ ÐÐ Ø Ð ÓÖÑ ÓÒÒ Ö Ù ÓÒ Ò ³ÙØ Ð Ö Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ô ÒØÙÖ º ½ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ØÖ Ò Ð ABC Ö Ø Ò Ð Ø Ó Ð Ò A Ø Ð ÕÙ BC = 8Ѻ Ò ØÖ Ò Ð ÓÒ Ò Ö Ø ÙÒ Ö Ø Ò Ð MNPQ Ø ÓÒ ÔÓ Å x Ú x [0;4]º ÇÒ Ó Ø ÒØ Ð ÙÖ ¹ÓÒØÖ Æ È x Å É ½º ÜÔÖ Ñ Ö Ò ÓÒØ ÓÒ x Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ø Ù Ö Ø Ò Ð ÔÙ ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ ÓÒ Ö Ø 8x x º ¾º Ê ÔÖ ÒØ Ö Ö Ô ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ò ÙÖ [0;4] Ô Ö f(x) = 8x x Ò ÔÖ Ò ÒØ ÓÑÑ ÙÒ Ø Ö Ô ÕÙ ¾ Ñ Ò Ø ½ Ñ Ò ÓÖ ÓÒÒ º º Ä Ö ÙÖ Ö Ô ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ x ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐРг Ö Ù Ö Ø Ò Ð Ø Ñ Ü Ñ Ð º ÉÙ Ú ÙØ ØØ Ö Ñ Ü Ñ Ð º ØÓÖ Ö f(x) 8 Ø Ù Ø Ö Ð Ö ÔÓÒ ÓÒÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ½¾
15 ÀÓÑ ÛÓÖ ÁÒ Ø ÙÖ ÐÓÛ ABC Ò Ó Ð ØÖ Ò Ð Û Ø ÓØ Ð Ò Ø AB Ò AC ÕÙ Ð ØÓ ½¼ Ѻ Ì Ð Ò Ø BC Ú Ö Ð Ð Ø³ ÒÓØ Ø x Ò Ñº Ì ÔÓ ÒØ H Ø ÓÓØ Ó Ø ÐØ ØÙ Ô Ò Ø ÖÓÙ Aº Ì Ñ Ó Ø ÓÑ ÛÓÖ ØÓ Ò Ø Ð Ò Ø Ó BC Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø Ö Ó Ø ØÖ Ò Ð ABCº A 0 0 B H C È ÖØ Í Ò Ó Ö ½º Í Ó Ö ØÓ Ö Û Ø ÙÖ º Ã Ô Ò Ñ Ò Ø Ø Ø ØÖ Ò Ð ÑÙ Ø Ó Ð Û Ø ØÛÓ ÕÙ Ð ØÓ ½¼Ñº Ò ÓÙØ ÓÛ ØÓ ÔÐ Ý Ø Ö Ó Ø ØÖ Ò Ð ÓÒ Ø Ô ØÙÖ º Ï Ò ÝÓÙ³Ö ÓÒ Ò ÝÓÙÖ Ð Ý ÒØ ÖÒ Ø ØÓ ÝÓÙÖ Ø Öº ¾º Ò Ø Ð Ò Ø Ó BCº ÓÒ ØÙÖ Ø Ñ Ü Ñ Ð Ú ÐÙ Ó Ø Ö Ó ABCº È ÖØ Í Ò ÙÒØ ÓÒ ½º ÓÑÔÙØ Ø Ö Ó Ø ØÖ Ò Ð Û Ò x = 5º ¾º Á Ø ÔÓ Ð ØÓ Ú x = 0 Ï Ø Ø Ñ Ü Ñ Ð Ú ÐÙ ÓÖ x º Ï Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð Ú ÐÙ ÓÖ x ÜÔÐ Ò ÕÙ ÐÝ ÝÓÙÖ Ò Û Öº º ÏÖ Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÐØ ØÙ AH ÙÒØ ÓÒ Ó xº º Ä Ø f Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ñ Ô ÒÝ ÕÙ Ø Ú ÐÙ Ó x ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ó ABCº ÈÖÓÚ Ø Ø f(x) = x x º º Ö Û Ø Ö Ô Ó fº º Ä Ø α Ø Ú ÐÙ ÓÖ Û f Ñ Ü Ñ Ðº º Í Ò ÝÓÙÖ ÐÙÐ ØÓÖ Ù Ð Ø Ø Ð Ó Ú ÐÙ ÓÖ f ØÛ Ò ½ Ò ¾¼ Û Ø Ø Ô Ò Ú ØÛÓ ÓÒ ÙØ Ú Ú ÐÙ ÓÙÒ Ò αº º ÓÑÔÙØ Ò Û Ø Ð Ó Ú ÐÙ ÓÖ f ØÛ Ò ÝÓÙÖ ÔÖ Ú ÓÙ Ò Û Ö Û Ø Ø Ô 0.º Ù ØØ Ö ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ αº º ÁÒ Ø Ñ Û Ý Ú Ò ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ñ Ø Ö 0.00 ÒÐÙ Ò αº Ö ÔÓÒ ÕÙ³ Ð Ô ÙØ Ó Ø Ò Ö Ø ÔÐÙ Ö Ò ÑÓ Ò Ö Ò ÓÙ Ò Ó Ø³ ØÖÓÔ ÓÖØ Ø³ Ò º Ä ÖÐ ÓÒØ Ò Ù Ø ÒÚ Ö º Ä Ò ÒØ Ø ÐÙ ÕÙ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÔÐÙ Ö Ô Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö º ½
16 ÚÓ Ö Ð³ ÒÒ ÔÖ ÒØ Ü Ö ½ ½ ÔÓ ÒØ µ È ÖØ Í Ò Ö Ô ÐÓÛ Ø Ö Ô Ó Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒØ ÓÒ fº ½º Ï Ø Ø ÓÑ Ò Ó fº 6 ¾º Ò ÓÙØ Ö Ô ÐÐÝ Ø Ñ Ó ÙÒ Ö ÙÒØ ÓÒ fº Ë Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ Ó º º Ò ÓÙØ Ö Ô ÐÐÝ Ø ÔÖ Ñ Ó ÙÒ Ö ÙÒØ ÓÒ fº Ë Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÔÖ Ñ Ó 5º º Ö Û Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ó ÙÒØ ÓÒ fº º Ï Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ó ÙÒØ ÓÒ f ÓÚ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð [ 5;0] ÓÖ Û Ø Ú ÐÙ Ó x Ø Ö º ËÓÐÚ Ö Ô ÐÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º f(x) = ; f(x) = 0 ; f(x) = 7 º ËÓÐÚ Ö Ô ÐÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ º f(x) > ; f(x) ; f(x) ½
17 È ÖØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÍÒ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ g Ø Ò ÙÖ Ê Ô Ö g(x) = x 5º ½º ÐÙÐ Ö Ð³ Ñ Ô٠г Ñ + º ¾º Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö Ð ÐÙÐ Ð Ú ÒØÙ Ð ÒØ ÒØ 4 6 Ø 5º º Ö Ö Ð Ø Ð Ù Ú Ð ÙÖ g ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ ;] Ú ÙÒ Ô º º Ê ÔÖ ÒØ Ö Ö Ô ÕÙ Ñ ÒØ ÙÖ Ð Ñ Ñ Ö Ô Ö ÕÙ f Ð ÓÒØ ÓÒ gº º Ê ÓÙ Ö Ö Ô ÕÙ Ñ ÒØ Ð Òµ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ f(x) = g(x) ; f(x) g(x) Ü Ö ¾ ÔÓ ÒØ µ ÍÒ ÒØÖ ÔÖ Ö ÕÙ ÔÔ Ö Ð ÙØ Ø ÒÓÐÓ Ò Ð ÕÙ ÒØ Ø º ÇÒ Ø Ö¹ Ñ Ò ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ x ÔÔ Ö Ð Ð Ó Ø ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ô Ö ÔÔ Ö Ð ÜÔÖ Ñ Ò ÒØ Ò ³ ÙÖÓ Ø Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ C(x) = x 4+ 5 x. ½º ÐÙÐ Ö Ð Ó Ø ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ô Ö ÔÔ Ö Ð ÕÙ Ò 5 ÔÔ Ö Ð ÓÒØ ÔÖÓ Ù Ø º Ò Ù Ö Ò Ð Ó Ø ØÓØ Ð Ð ÔÖÓ ÙØ ÓÒ 5 ÔÔ Ö Ð º ¾º ÜÔÐ ÕÙ Ö ÔÓÙÖÕÙÓ Ð Ó Ø ØÓØ Ð ÔÖÓ ÙØ ÓÒ x ÔÔ Ö Ð Ø Ð C T (x) = x 4x+5. º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ó Ø ØÓØ Ð ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ ÔÔ Ö Ð ÔÙ ÔÓÙÖ 0 ÔÔ Ö Ð º º ÌÖ Ö ÙÖ Ð ÐÙÐ ØÖ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ C T º Ò Ù Ö ÓÒ Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [;0]º º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÙÒ Ø ÕÙ³ Ð Ù Ö Ø ÔÖÓ Ù Ö ÔÓÙÖ ØØ Ò Ö Ð Ó Ø ØÓØ Ð Ñ Ò ÑÙѺ ÉÙ Ð Ø ÐÓÖ Ó Ø ØÓØ Ð º Ò ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓÙØ Ö ÔÓÒ ÓÙ Ø ÒØ Ø Ú Ö ÔÓÒ Ñ Ñ ÒÓÑÔÐ Ø Ö Ú ÐÓÖ º Ä ÔÖ Ü Ú ÒØ Ø ÔÔ Ö Ð Ø Ü ¾¼¼ ÙÖÓ Ó Ø ¾ ÒØ Ò ³ ÙÖÓ º Ø Ö¹ Ñ Ò Ö Ö Ô ÕÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ð³ ÒØÖ ÔÖ Ó Ø Ú Ò Ö ³ ÔÔ Ö Ð ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ö ØØ Ó Ø ÙÔ Ö ÙÖ Ù Ó Ø ØÓØ Ð ÔÖÓ ÙØ ÓÒº ½
18
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Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée
P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
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