Notes sur les nombres complexes et la trigonométrie

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1 L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB D. Blottière Mathématiques Notes sur les nombres complexes et la trigonométrie Table des matières 1 Trois aspects des nombres complexes Passage d un aspect à l autre 3 Formules de trigonométrie et propriétés de θ e iθ 4 Conjugaison complexe 3 5 Nombres complexes et vecteurs du plan 4 6 Propriétés du module 4 7 Propriétés de l argument 4 8 Remarque sur la forme trigonométrique d un produit ou d un quotient 4 9 Formules de Moivre et formules d Euler 5 10 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels 5 11 Somme et produit des racines d un trinôme du second degré 6 1 Équations trigonométriques 6 1

2 1 Trois aspects des nombres complexes On fixe un repère (O; u, v ) du plan et on oriente le plan dans le sens direct. Un nombre complexe z a trois aspects distincts (forme algébrique, forme trigonométrique, interprétation géométrique) et pourtant très liés. Forme algébrique : Tout nombre complexe z s écrit de façon unique sous la forme z = a+ib, avec a,b R. a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de z. Forme trigonométrique : Tout nombre complexe z non nul s écrit de façon unique sous la forme z = re iθ, où r R + et θ ] π;π]. e iθ est défini par l égalité e iθ = cos(θ)+isin(θ). r est appelé module de z et est noté z, θ est appelé argument de z et est noté arg(z). Interprétation géométrique : À chaque point M du plan, on fait correspondre un unique nombre complexe z, appelé affixe de M. De plus, tout nombre complexe est l affixe d un unique point du plan. Passage d un aspect à l autre Interprétation géométrique Point M d affixe z Forme algébrique : z = x+iy, avec x et y réels y M x est l abscisse de M y est l ordonnée de M r = a +b v O u r θ x x = rcos(θ) y = rsin(θ) θ est solution dans ] π;π] de cos(θ) = a a +b = a r a sin(θ) = a +b = b r r = OM θ = ( u; OM) [π] Forme polaire : z = re iθ, avec r un réel positif et θ dans ] π;π] Remarque : Pour déterminer la forme trigonométrique d un nombre complexe donné sous forme algébrique, il est utile de bien connaître les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables (e.g. : π, π 3, π 4, π ) ou de 6 savoir les retrouver à l aide du cercle trigonométrique. 3 Formules de trigonométrie et propriétés de θ e iθ Conséquences de la définition de cosinus et sinus 1. θ R 1 cos(θ) 1 et 1 sin(θ) 1. θ R, k Z cos(θ +kπ) = cos(θ) et sin(θ +kπ) = sin(θ) 3. θ R cos( θ) = cos(θ) et sin( θ) = sin(θ) 4. θ R cos (θ)+sin (θ) = 1. Formules d addition 1. θ 1,θ R cos(θ 1 +θ ) = cos(θ 1 )cos(θ ) sin(θ 1 )sin(θ )

3 . θ 1,θ R cos(θ 1 θ ) = cos(θ 1 )cos(θ )+sin(θ 1 )sin(θ ) 3. θ 1,θ R sin(θ 1 +θ ) = sin(θ 1 )cos(θ )+cos(θ 1 )sin(θ ) 4. θ 1,θ R sin(θ 1 θ ) = sin(θ 1 )cos(θ ) cos(θ 1 )sin(θ ) Formules de duplication 1. θ R cos(θ) = cos (θ) sin (θ). θ R sin(θ) = sin(θ)cos(θ) Les formules de duplication se déduisent des formules d addition (en posant θ = θ 1 = θ dans la formule ad hoc). Transformation d un cosinus en sinus et réciproquement ) 1. θ R cos θ = sin(θ) ). θ R sin θ = cos(θ) Ces formules de transformation peuvent se déduire des formules d addition (en posant θ 1 = π et θ = θ dans la formule ad hoc). On peut les retrouver en utilisant le cercle trigonométrique. Propriétés de θ e iθ 1. θ 1,θ R e iθ1.e iθ = e i(θ1+θ).. θ R, n Z (e iθ ) n = e inθ. Remarque : La formule 1 ci-dessus se déduit directement des formules d addition. e iθ1.e iθ = (cos(θ 1 )+isin(θ 1 ))(cos(θ )+isin(θ )) (définition de e iθ1 et e iθ ) 4 Conjugaison complexe = [cos(θ 1 )cos(θ ) sin(θ 1 )sin(θ )]+i[cos(θ )sin(θ 1 )+cos(θ 1 )sin(θ )] = cos(θ 1 +θ )+isin(θ 1 +θ ) (formules 1 et 3 de duplication) = e i(θ1+θ) (définition de e i(θ1+θ) ) Définition : Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a,b R. Le conjugué de z, noté z, est le nombre complexe défini par z = a ib. Propriétés algébriques de la conjugaison 1. z C z = z si z R, en particulier 0 = 0 et 1 = 1.. z C z = z. 3. z 1,z C z 1 = z z 1 = z 4. z 1,z C z 1 +z = z 1 +z. 5. z 1,z C z 1.z = z 1.z. ( ) 6. z 1 C, z C z1 = z 1. z z 7. z C, n Z z n = (z) n. 8. θ R e iθ = e iθ. Caractérisation des réels et des imaginaires purs 1. z C z R z = z.. z C z imaginaire pur (i.e. z = ib où b R) z = z. Conjugaison et symétrie par rapport à l axe des abscisses Soit M un nombre complexe d affixe z. Alors le point du plan d affixe z est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses. 3

4 5 Nombres complexes et vecteurs du plan Définition (affixe d un vecteur) : Soit w un vecteur du plan et soient A et B deux points du plan tels que AB = w. On note z A et z B les affixes respectives de A et B. L affixe de w, notée z w, est le nombre complexe défini par z w = z B z A. Ce nombre complexe est indépendant du choix de A et B. On a en particulier 6 Propriétés du module Module et opérations dans C z AB = z B z A. 1. z 1,z C z 1 +z z 1 + z (inégalité triangulaire). z 1,z C z 1.z = z 1. z 3. z 1 C, z C z 1 z = z 1 z 4. z C, n Z z n = z n Module et longueurs 1. Soit w un vecteur du plan. Alors w = z w.. Soient M 1 et M deux points du plan d affixes respectives z 1 et z, alors M 1 M = M 1 M = z z 1. 7 Propriétés de l argument Exemples d arguments 1. arg(1) = arg(8) = arg( ) = 0 et plus généralement arg(a) = 0 si a R +. arg( 3) = arg( 9) = arg( 13) = π et plus généralement arg(a) = π si a R 3. arg(i) = π et arg( i) = π Argument et opérations dans C 1. z 1,z C arg(z 1.z ) = arg(z 1 )+arg(z ) [π]. z C, n Z arg(z n ) = narg(z) [π] ( ) 3. z 1,z C z1 arg = arg(z 1 ) arg(z ) [π] z Argument et angles 1. Soient w 1 et w deux vecteursnon nuls d affixesrespectives z w1 et z w. Alors ( w 1 ; ) z w w ) = arg(. Soient A, B, C des points du plan, tels que A B et A C, d affixes respectives z A, z B, z C. Alors ( ( ) zc z A AB; AC) = arg [π]. z B z A 8 Remarque sur la forme trigonométrique d un produit ou d un quotient Si z 1 et z sont des nombres complexes non nuls ayant comme formes polaires z 1 = r 1 e iθ1 et z = r e iθ, alors la forme polaire de z 1 z est r 1 r e i(θ1+θ), la forme polaire de 1 z est 1 r e iθ, donc la forme polaire de z 1 z est r 1 r e i(θ1 θ). La forme polaire est bien adaptée aux problèmes qui comportent des multiplications ou des divisions de nombres complexes. z w1 [π]. 4

5 9 Formules de Moivre et formules d Euler Formules de Moivre 1. θ R, n Z (cos(θ)+isin(θ)) n = cos(nθ)+isin(nθ). θ R, n Z (cos(θ) isin(θ)) n = cos(nθ) isin(nθ) Formules d Euler 1. θ R cos(θ) = eiθ +e iθ. θ R sin(θ) = eiθ e iθ i Toutes ces formules se déduisent immédiatement des relations e iθ = cos(θ) + isin(θ) et (e iθ ) n = e inθ, où θ R, n Z. Une application des formules d Euler : la linéarisation de polynômes trigonométriques Les formulesd Eulerpermettent de linéariserdes produits du type cos n (θ), sin m (θ) ou cos n (θ)sin m (θ), oùθ R, n,m N, c est-à-dire de les transformer en somme de termes du type acos(αθ) ou bsin(βθ), où a,b,α,β R. Ces transformations sont particulièrement précieuses dans la recherche de primitives. Exemple de linéarisation : cos 4 (θ) = ( e iθ +e iθ ) 4 (formule d Euler) = 1 4(eiθ +e iθ ) 4 = 1 4(ei4θ +4e iθ +6+4e iθ +e i4θ ) (formule du binôme) = 1 4(ei4θ +e i4θ +4(e iθ +e iθ )+6) = 1 4(cos(4θ)+4 cos(θ)+6) (formule d Euler) = 1 8 cos(4θ)+ 1 cos(θ) Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels Théorème (solution(s) dans C de ax +bx+c = 0) Soit un trinôme du second degré à coefficients réels ax + bx + c (avec a,b,c R et a 0 donc), et soit = b 4ac son discriminant. Si = 0, alors l équation ax +bx+c = 0 a une unique solution : b a. Si > 0, alors l équation ax +bx+c = 0 a deux solutions réelles : b a et b+. a Si < 0, alors l équation ax + bx + c = 0 a deux solutions complexes conjuguées : b+i. a Application : L équation x +x+1 = 0 a deux solutions dans C : j = 1 +i 3 et j. b i a et 5

6 11 Somme et produit des racines d un trinôme du second degré Théorème : Soit ax +bx+c un trinôme du second degré à coefficients réels. On a l équivalence : (x 1 et x sont solutions de ax +bx+c = 0) (x 1 +x = b a et x 1x = c a ). Deux applications 1. Connaissant une racine de ax +bx+c = 0 (par exemple une évidente ), on en déduit l autre, à l aide de c et a. Exemple : On remarque que 1 est solution de x + 43x 45 = 0. Comme le produit des racines vaut 45, on en déduit, sans calcul, que 45 est l autre racine. { x1 +x. Résolution de systèmes du type = S d inconnue (x x 1 x = P 1,y ), où S et P sont des réels donnés. { x1 +x D après le théorème, x 1 et x sont solutions de = S si et seulement si x x 1 x = P 1 et x sont racines de x Sx+P. On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que l on sait faire. Exemple : { x1 +x = 15 x 1 x = 6 x 1 et x solutions de x 15x+6 = 0 1 Équations trigonométriques Cas d égalité de cosinus, cas d égalité de sinus (x 1 = et x = 13) ou (x 1 = 13 et x = ). Soient x et a deux nombres réels. 1. cos(x) = cos(a) ou x = a [π] x = a [π]. sin(x) = sin(a) ou x = a [π] x = π a [π] Ces résultats peuvent se retrouver à l aide du cercle trigonométrique. Étude de l équation acos(x)+bsin(x) = c, avec a,b,c R, avec a et b non nuls, d inconnue x dans R. Méthode On introduit le nombre complexe z = a+ib que l on écrit sous forme trigonométrique : z = re iθ. En pratique, on peut souvent déterminer θ explicitement, mais pas toujours. Si on ne peut pas, on continue la résolution en gardant simplement θ, défini comme étant l argument de z. On a donc a = rcos(θ) et b = rsin(θ). acos(x)+bsin(x) = c a r cos(x)+ b r sin(x) = c r cos(θ)cos(x)+sin(θ)sin(x) = c r cos(x θ) = c r 6

7 En pratique, c est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est donc ramené à un cas d égalité de r deux cosinus, que l on sait traiter. Exemple : Résolution de 6cos(x)+ sin(x) =. On introduit le nombre complexe z = 6+i et on l écrit sous forme trigonométrique. z = et z = ( ) 3 + i = e iπ cos(x)+ sin(x) = z cos(x)+ z sin(x) = cos cos(x)+sin 6) ( cos x π ) = cos 6 3) ou ou x π 6 = π 3 x π 6 = π 3 x = π x = π 6 [π] [π] z 6) sin(x) = 1 [π] [π] L ensemble des solutions de 6cos(x)+ sin(x) = est donc { π } +kπ;k Z { π } 6 +kπ;k Z. 7

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