Surface sphérique : Miroir, dioptre et lentille. Pr Hamid TOUMA Département de Physique Faculté des Sciences de Rabat Université Mohamed V

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1 Surface sphérique : Miroir, dioptre et lentille Pr Hamid TOUMA Département de Physique Faculté des Sciences de Rabat Université Mohamed V

2 Définition : Les miroirs sphériques Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante, de centre C et de sommet S. Le rayon du miroir sphérique est défini par la mesure algébrique : R SC CS est l axe principal optique (D) de ce miroir sphérique. La surface réfléchissante s obtient par un dépôt métallique. C Il est à noter que l origine de l axe optique D peut être fixée arbitrairement en C ou en S. S D

3 Miroirs convexes Miroir plan Exemples : Miroirs de surveillance Miroir de sortie d usine Miroir concave rétroviseurs de camion Un miroir sphérique peut être concave ou convexe.

4 Un miroir sphérique est concave si sa surface réfléchissante est du même côté que le centre C de la sphère. Sens de propagation de la Lumière Surface réfléchissante C R Axe optique D S Miroir concave R =SC < 0

5 Un miroir sphérique est convexe si sa surface réfléchissante n est pas du même côté que le centre C de la sphère. Surface réfléchissante Axe optique Sens de propagation de la Lumière R C D S Miroir convexe R =SC 0

6 Par convention, dans l approximation de Gauss, un miroir sphérique de sommet S et de centre C est représenté par le plan tangent en S à sa surface. l approximation de Gauss C S S C D

7

8 Tout rayon lumineux passant par le centre C d un miroir sphérique, subit une réflexion sur ce miroir en repassant par le point C. Le point C est son propre conjugué. C w i i I S D Tout rayon lumineux passant par le sommet S d un miroir sphérique, subit d une façon symétrique une réflexion sur ce miroir en repassant par le sommet S. Le point S est son propre conjugué.

9 Loi de Snell-Descartes pour la réflexion C i w i F Foyer principal image I S est le conjugué dufoyer image F Un point objet à l infini sur l axe principal envoie un rayon lumineux incident parallèle à cet axe optique principal D. Ce rayon lumineux rencontre le miroir en I. la normale de ce miroir au point I est son rayon CI. On constate que i (angles alternes internes). D

10 Dans l approximation de Gauss, w est petit et cos w ~. Par suite nous aurons : CF'=- SC Le foyer image F est à la moitié du rayon du miroir sphérique Le principe du retour inverse de la lumière montre qu un rayon lumineux issu de F se réfléchi sur le miroir sphérique en sortant parallèlement à son axe principal. Le foyer image F est et le foyer objet F sont confondus avec le milieu du segment CS du miroir sphérique. C CF' = CF =- S

11 Foyer image F : objet A à l infini image A au foyer f' SF' SC f : distance focale image F : foyer principal image Foyer objet F : objet A au foyer image A à l infini f SF SC f : distance focale objet F : foyer principal objet

12 Vergence d un miroir sphérique : La vergence d un miroir sphérique de sommet S et de centre C est définie comme l inverse de sa distance focale. C est une expression algébrique. L unité de la vergence est donc le mètre -, m -, appelé dioptrie et notée d. V = = = = = f' SF' SC f SF Indice de réfraction de l air

13 Miroir concave est convergent avec une vergence négative, ses foyers sont réels. V = SF' < 0 Foyers réels Miroir convexe est divergent avec une vergence positive, ses foyers sont virtuels. V SF' 0 Foyers imaginaires

14 Il est à noter que ces formules sont des relations entre les positions et les dimensions de l objet AB et de son image A B. Elles sont établies et valables dans les conditions de l approximation de Gauss. Pour obtenir la relation de conjugaison, il suffit de considérer les points situés sur l axe principal optique D du miroir.

15 Il est à souligner qu il y a 3 expressions de la relation de conjugaison, reliant les abscisses du point objet A et de son point image A, en utilisant trois origines différentes à savoir :. le sommet S,. le centre C, 3. le foyer objet F du miroir sphérique M.

16 Origine au sommet S : Relation de conjugaison : Image +Objet = S A' S A S C origine de l axe optique D est fixée au sommet S. Instrument optique S F ' + A C i w i A I S Au point I : i = i ( ère loi de Snell-Descartes) D

17 On appelle grandissement linéaire d un miroir sphérique pour une position de l objet AB, le rapport entre une dimension linéaire de l image A B et celle de de l objet AB. t A' B ' SA' AB SA

18 Grandissement longitudinal axial d SA' d SA d(sa) image Axial ou longitudinal d SA' SA' a d SA SA t A Objet A S S D d(sa') transversal ou linéaire t A' B ' SA' AB SA

19 Origine au centre C : Les positions de AB et de son image A B sont liées par la relation définie comme suit : B. A ' ' ' CA' CA CS t C.. A B S A' B ' C A' AB CA Grandissement transversal D

20 Origines aux foyers. Formules de Newton En prenant pour origine le foyer F, les quatre points F, S, A et A sont liés par les relations suivantes : F'A'. F A = F' S. F S = F A '. F A =F S transversal FA' SF SF FA Les formules de Newton Grandissement transversal

21 utilisation au moins de sur 3 rayons particuliers tout rayon passant par le centre du dioptre n est pas dévié tout rayon passant par F ressort // à l axe optique D tout rayon // à l axe optique D passe par F

22 Objet réel objet C A B C A B I S D C image F Image réelle renversée

23 Objet réel objet = C =image B I A D C A S B F Image réelle renversée

24 Objet réel C < Objet <F A C B A F I S D < Image < C B Image réelle renversée

25 Objet réel Objet =F A' C A B F I S D B' Image

26 Objet réel F < Objet <S B I B' A S C F A' D Image virtuelle S <image <

27 objet virtuel S < Objet < + I B C B ' F A' S A D image réelle F <image < S

28 Définition : Un dioptre sphérique est un ensemble de deux milieux homogènes d indices de réfraction différents n et n, séparés par une surface sphérique. Milieu d indice de réfraction n Milieu d indice Milieu n de réfraction n

29 4 configurations possibles : SC 0 n n ou n n L axe optique principal, du dioptre sphérique de sommet S, est l axe CS. C + D Milieu : n Milieu : n n n S S C SC 0 D

30 Relations de conjugaison Établissons ces équations dans les conditions de l approximation de Gauss. Autrement dit on ne considère qu un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c est-à-dire formé de rayons paraxiaux.

31 i Milieu : n Milieu : n. A n < n A i C w I S D

32 Origine au sommet S : Image Objet = Instrument optique n n n - n - = SA' SA SC Relation de conjugaison d un dioptre sphérique (S, C, n, n ). Formule de Descartes

33 Origine au centre C Il peut être commode de prendre le centre C comme origine de l axe D ; dans ce cas la formule de conjugaison d un dioptre sphérique (S, C, n, n ). n n - = CA CA' n -n CS

34 Origine au aux foyers Il peut être commode de prendre les foyers comme origine de l axe D ; dans ce cas la formule de conjugaison d un dioptre sphérique (S, C, n, n ). Formule de Newton

35

36 Foyer image Si le point objet A s éloigne à l infini, son conjugué est le foyer image F du dioptre sphérique. n n - n -n = SA' SA SC n alors -n Si A, A' F', - = n SF' R f' = -R. n SF'= n -n La distance focale image du dioptre sphérique (S, C, n, n ).

37 n < n Milieu : n Milieu : n A S F D C f'=sf' A Le foyer image Le point source A, situé à l infini, est conjugué avec le foyer image F

38 Foyer objet : Quand le point objet A est situé en F, l image A est à l infini. Le point F est le foyer objet. la distance focal objet est alors : n n - n -n = SA' SA SC n Si A F, alors A', SF = n - n R f = SF = n R. n -n La distance focale objet du dioptre sphérique (S, C, n, n ).

39 n < n Milieu : n Milieu : n f =SF D F C S F Le foyer objet A' Le point source A, situé au foyer objet F, est conjugué avec son point image A rejeté à l infini.

40 f = SF = R. n f' = S -R. n F'= n n -n -n SF et SF sont de signes opposés. F et F même nature, les sont réels ou les virtuels. Chaque foyer se situe dans un milieu. F et F sont toujours de part et d autre de S. SF SF ' f' n = =- f n Le rapport des distances focales f et f d un dioptre sphérique (S, C, n, n ) est égal au rapport des indices changé de signe.

41 f = SF = R. n f' = S -R. n F'= n n -n -n f f n n -n - n + f ' =R. =R S F + S F '=SC Contrairement au miroir sphérique, il n y a jamais de foyer entre S et C, pour un dioptre sphérique (S, C, n, n )..

42 n < n Milieu : n Milieu : n F C S F D F et F sont réels Milieu : n F S. C. F D Milieu : n F et F sont virtuels

43 Exercice 3 Σ plan ) ) A A A Σ 0 S,,n,n S,C,n, n 0 0 n n n n n -n - = 0 et - = S A S A S A S A S C 0 0 En considérant que L est une lentille mince, c'està-dire que son épaisseur est négligeable devant le rayon R, ce qui permet d écrire : S = S = S Par conséquent ; la relation de conjugaison globale entre l objet A 0 et son image finalea s exprime comme suit : n - n n -n = SA SA SC 0 0

44 3a) En supposant que n < n : n. SC A0 A F' SF' 0 n -n n0. SC A A0 F SF 0 n -n n=n =,5 ; R = 0 cm et n 0 = n =.0.0 SF'= = -0cm SF = - = +0cm -,5 -,5 3b) Les deux foyers sont alors virtuels, il s agit bien d une lentille divergente. 3c) SF' SF f' = = f n. SC n -n n0. SC n -n n n 0 4) n n n -n - = SA SA SC 0 V 0 n -n -n -n -,5 = = = = = -5 - SC R 0.0 SC

45 Dioptre convergent C S C S V -n -n -n -,5 = = = = = SC = R = = = -50cm f' SC R m V Fin de l exercice S C S C Dioptre divergent V -n -n -n -,5 = = = = -5 SC = R = = = +0cm f' SC R V 5

46 f = SF = R. n n -n -R. n f' = SF'= n -n V n n n -n = =- = SF' S F S C V V n - n = > 0 alors V : convergence SC n -n = < 0 alors SC V :divergence

47 Un dioptre sphérique est convergent si les deux foyers F et F sont réels SF'> 0 et V > 0 Le centre C d un dioptre sphérique convergent est situé dans le milieu le plus réfringent (indice de réfraction le plus grand). Un dioptre sphérique est divergent si les deux foyers F et F sont virtuels et SF'< 0 V < 0 le centre C d un dioptre sphérique divergent est situé dans le milieu moins réfringent (indice de réfraction le plus grand).

48 AB A'B' AB A'B' n.i = n.i, i =,i =, n. = n. SA SA' SA SA' B I i. F C A D i A F S J B Milieu n Milieu n Le grandissement transversal d un dioptre sphérique (S, C, n, n ) t A'B' = = AB n n SA' SA

49 Grandissement axial ou longitudinal, pour un objet présentant une structure allongée sur l axe optique D. axial d SA B B A A Milieu n Milieu n F S C F d A B SA' A B? D A A', A ' A a n SA' n n SA' n =. =.. =. n SA n n SA n t t

50 utilisation les rayons particuliers suivants : tout rayon passant par le centre C du dioptre n est pas dévié tout rayon passant par le foyer objet F ressort // à l axe D tout rayon // à l axe optique D passe par le foyer image F Tout rayon passant par le sommet S se trouve dévié en respectant la loi de Snell-Descartes. Il est à noter que seulement rayons parmi ces 4 sont suffisants pour construire une image

51 Milieu n Milieu n B A i i I S F A D F C J B

52 Milieu n Milieu n B I F A D A F J S C B

53 Définition : Une lentille est un milieu transparent limité par deux calottes sphériques, ou par une calotte sphérique et une plane. n R R =S C R =S C C R S C D

54 La lentille idéale : surfaces sphériques L C C R S S R D lentille mince si : S S -S S = C C SS S C SS S C

55 Une lentille est dite mince quand son épaisseur, mesurée sur l axe principal, est très petite comparée aux rayons de courbure. Par suite, nous représenterons schématiquement les lentilles à bords minces et à bords épais, respectivement Convergente et Divergente. symbole

56 convergente divergente

57 Lentille convergente : Plans focaux : Toute lentille mince convergente, quelle que soit sa forme, possède deux foyers principaux réels, symétriques par rapport au centre optique O. Le premier est le foyer principal objet et le second est le foyer principal image.

58 L infini et le foyer principal image F sont conjugués par la lentille L L D F O F O F ' = f ' =-f =-OF le foyer principal objet F et L infini sont conjugués par la lentille L

59 Lumière parallèle Lentille convergente Foyer principal image On appelle distance focale d une lentille mince, la mesure algébrique : O F ' = f ' =-f =-OF

60 t A'B' A' = = O t = AB OA grandissement linéaire B L p' p - = OA' OA OF' Image Objet = Instrument optique La relation de conjugaison A p F O p F A B D La relation de conjugaison du point source A et son image A, fournie par une lentille convergente L de distance focale f. v vergence v = =- (dioptries) f' f

61 Lentille divergente : Plans focaux : Toute lentille divergente, quelle que soit sa forme, possède deux foyers principaux virtuels, symétriques par rapport au centre optique O. Le premier est le foyer principal objet et le second est le foyer principal image. Ce dernier est l image d un point situé à l infini. L infini et le foyer principal image F sont conjugués par la lentille divergente L le foyer principal objet F et L infini conjugués par la lentille L sont

62 Autrement dit, tout rayon parallèle à l axe principal optique D de la lentille émerge de celle-ci comme s il venait du foyer principal image F. Et tout rayon incident qui passe par le foyer principal objet F de la lentille, émerge de celle-ci parallèle à son axe principal optique D. L F O F D O F ' = f ' =-f =-OF

63 AB : objet réel, A B : image virtuelle, droite affaiblie B L B A F A.. O Image F Objet = D Instrument optique La vergence, exprimée dioptrie, d une lentille mince est l inverse de sa distance focale f. v = ( ) f' (m) - = OA' OA OF' La relation de conjugaison

64 Une lentille épaisse est une succession de deux dioptres sphériques (S, C, n 0, n) et (S, C, n 0, n). A et A sont conjugués DioptreSpherique Vergence V? DioptreSpherique A A' A" C S,,, n S, C, n, Une lentille mince S = S = S - = n -. - SA" SA S C SC vergence V = n -. - R R

65

66 L L e D D F O O F F F F'F intervalle optique V = V + V -e.v.v Doublet Un doublet

67 Vergence d un doublet: Formule de Gullstrand V = V + V -e.v.v Doublet e f' + - = f' f' f' f '. f' f' f' f'. f' e La distance focale d une lentille équivalente L Dans le cas où les lentilles sont accolées, e=0, alors la vergence : V=V +V Distance focale : f'. f' + = f' f' f' f' f' f'

68 Théorème des vergences Un système de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince unique de même centre optique O et de vergence égale à la somme algébrique des vergences des lentilles accolées. - + = L L L p p L f' V +V = V L - Exemples : + = p O D p' f' O F O F. F F F F - = + = p' p f' f' f' v v v f'. f' + = f' f' f' f' f' f' Distance focale de L

69 L B A F F B A D - < A < F alors F' < A'< +

70 L A'B' B F A' A= D F B'

71 B L B A F A O F D F < A < O alors A' F

72 Exercice 6 : Association de deux lentilles minces convergentes ) A.N. L OA.O F' AB AB - = O A = O A O A O F' O A+O F' A AB L O = = +0cm O A.OF' AB - = O A = O A O A O F' O A +O F' A.N. -0. O A = = +30cm avec O A = O O +O A = = -0cm -0 + t 3) ) AB O A +0 O A -40 = = = = -0,5 AB L image finale A B est alors réelle, droite plus petite que l objet AB. t t AB O A 30 = = = = -,5 AB O A 0 A B A B = =. = t. t = 0,38 AB AB AB AB

73 4) La vergence de ces deux lentilles espacées de e=30cm de vergence respectivement V et V (doublet) s écrit comme suit : V = V = V + V - e.v.v La distance focale f de ce doublet est : 5) f' = = = -0,096m = -9,6cm V -0,4 Si les lentilles sont accolées, alors la vergence : V V 0 = V + V V = + = 00. = 0, V 0,83-4 = 0,83 f' = = = 4,8.0 m = 0, 48mm Fin de l exercice 6

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