; + [. 11 page 129 du LIVRE : a) D = ]2 ; + [ et S = {3} ; b) D = ]- ; - 2[ et S = {- 4}. 13 page 129 du LIVRE : Corrigé dans le livre page 470.

Transcription

1 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 FICHE N EXERCICE N : pag 9 du LIVRE : a = 6 ; b = ; c =. 5 pag 9 du LIVRE : D = ] ; [. ln( ) ln() = ln( ) ln() = 4 pag 9 du LIVRE : a) Y * ; b) ]- ; [ ; c) ]3 ; [ ; d) ]- ; 0[ ]0 ; [ ; ) ]0 ; [ ] ; [. 5 pag 9 du LIVRE : a) ]- ; - 4[ ]0 ; [ ; b) Y \ { ; } ; c) Y \ {- ; } d) ] ; 3[. 6 pag 9 du LIVRE : a) ]0 ; [ ; b) Y * ; c) ]- ; [ ; d) ]- ; - [ ] ; [. EXERCICE N : Etrait d l épruv du concours EFREI (mai 00) I) a. ]0 ; [ : FAUX ; b. Y : FAUX ; c. Y \ {- ; } : VRAI. Pnsr à la condition : car ln = 0! II) a. ln(6) : FAUX ; b. n ist pas : VRAI car 3-0 < 0 ; c. 0 : FAUX. EXERCICE N 3 : Etrait d l épruv du concours ESIEE (mai 00) (A) ln( ) = : FAUX ( > 0, = ln( ) t n général ) ; (B) ln( ) = : FAUX ( > 0, ln( )= ) ; (C) ln( ) = : VRAI ; (D) ln() = : FAUX car > 0, ln() = t sauf si = (E) ln() = ln() : FAUX car ln( ) EXERCICE N 4 : = t ln() = = t > 0, on a : >. - ; 8 pag 9 du LIVRE : a) S = {ln(3) } ; b) D = Y \ {- } t S = { ln ln } ; c) S ={ln4} ; d) S = {ln( )}. 9 pag 9 du LIVRE : a) S = ]0 ; [ ; b) S = [ ; [ ; c) S = [ ; ] ; d) D = ] ; [ t S = ] ; [. pag 9 du LIVRE : a) D = ] ; [ t S = {3} ; b) D = ]- ; - [ t S = {- 4}. 3 pag 9 du LIVRE : Corrigé dans l livr pag 470. EXERCICE N 5 : Résoudr chacun ds inéquations suivants : ) a. ]- 3 ; [ ; b. D = ]0 ; [ t S = ] - 3 ; [ ; c. D = Y t S = ]- ; ln[. ) a. D = ] ; [ t S = ] ; 3] ; b. D = ]- ; - 3[ ] ; [ t S = [- 4 ; - 3[ ] ; 3]. EXERCICE N 6 : 63 pag 35 du LIVRE : ) D = ]0 ; [ t S = { ; 3 } ; ) D = ]0 ; [ t S = ]0 ; ] [3 ; [. 65 pag 35 du LIVRE : a) D = Y *. Si < 0, on a = - t on trouv S = ]- ; - 3 [ ]- ; 0[. Si > 0, on a = t on trouv S = ]0 ; [ ]3 ; [. D'où : S = ]- ; - 3 [ ]- ; 0[ ]0 ; [ ]3 ; [.

2 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 Rmarqu : on put aussi raisonnr n un sul étap t posr X = ln si vous êts à l'ais avc ls valurs absolus b) D = Y t S = ]- ln3 ; ln [. 66 pag 35 du LIVRE : On doit avoir > 0 t y > 0. On trouv n résolvant l systèm d'inconnus X = ln t Y = lny : X = 3 t Y =. S = { ( ; y) = ( 3 ; )}. EXERCICE N 7 : ) A = 3ln3 ; B = ln(3) 4ln ; C = 5 ln3 ; D = 0 ; E = 6. ) a) ln(6) = a b ; ln(9) = b ; ln b) A = ln ; B = 8ln. 3 = a b ; ln = - a - b ; ln( ) = a b t ln(7) = 3a b. EXERCICE N 8 : Etrait d l épruv du concours EFREI (mai 00) a. ln( ) : VRAI (mttr - n factur) ; b. 4ln( ) : FAUX (ContrEX : f(0) = ln t 4 0 ln( ) = 0) ; c. : FAUX (f(0) = ln ). EXERCICE N 9 : 5 pag 9 du LIVRE : a = ln5 ln ; b = 4ln ln5 ; c = 3ln5 ln. 8 pag 30 du LIVRE : a = - ln3 ; b = ln5. 0 pag 30 du LIVRE : a) ] ; [ ; b) ] ; [. pag 30 du LIVRE : a) nln ln00 n ln00 car ln > 0 t on trouv qu n st un ntir naturl tl qu 0 n 6. ln b) n ln(0,0) t on trouv qu n st un ntir naturl tl qu n 5. - ln3 c) ln(0,) nln(0,4) ln(0,) n car ln(0,4) < 0 t on trouv qu n st un ntir naturl tl qu n. ln(0,4) ln d) n t on trouv qu n st un ntir naturl tl qu n 4. ln(,03) pag 30 du LIVRE : a) D = ]0 ; [ t S = ; b) D = ]0 ; [ t S =. 5 pag 30 du LIVRE : a) D = ] ; 5[ t S = [ ; 4] ; b) D = ] 3 ; [ t S = ] 3 ; ]. FICHE N EXERCICE N : Etrait d l épruv du concours ESIEE (mai 00) Répondr par VRAI ou FAUX n justifiant : Soit (u n ) un suit géométriqu d prmir trm u 0 = t d raison q ]0 ; [. On not S n = u 0 u u n. Alors : (A) S il ist n V tl qu u n > 000, alors q > : VRAI (Par l'absurd : si 0 < q, alors : n V, u n = q n, c qui contrdit l'hypothès).

3 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 3 (B) Si q <, alors il ist n V tl qu 0 < u n < : VRAI (car lim q n = 0 vu qu 0 < q < ). n (C) Si q >, alors lim S n = : VRAI car S n = qn car q. n - q (D) Si lim S n =, alors q = : VRAI car n si q, on prouv qu lim S n = t si 0 < q <, on prouv qu lim S n = n n q =. (E) Si q =, alors S 4 = 5 : FAUX car si q =, alors S 4 = 5 - = 3. EXERCICE N : Etrait d l épruv du concours FESIC (mai 00) Répondr par VRAI ou FAUX n justifiant : On considèr la suit u défini par u 0 = t, pour n V, u n = u n. On admttra qu qul qu soit n V, on a u n > 0. On considèr alors la suit v défini par v n = ln( u n ). a. La suit v st géométriqu : VRAI (on prouv qu : n V, v n = v n ) ; b. v 0 = - 5 ln() : VRAI (v 0 = 0 v 0 = 0 - ln()) ; t on n déduit qu - q n n c. Qul qu soit n V, v k = (ln)( n ) : FAUX car v k = (- ln( ) n - = ln() - n ; k = 0 k = 0 d. Pour tout n V, on a u 0 u u n = n : FAUX car u 0 u = EXERCICE N 3 : Annabac 0 : Ercic pags 64/65 sauf qustion 3). Corrction pags 7/7/73. EXERCICE N 4 : 87 pag 38 du LIVRE. Rmarqu : on put démontrr (par récurrnc sur n) qu : n V, u n > 0. 8 = 4 t = = 4. ) n V, on a : v n = v n, c qui prouv qu (v n ) st un suit géométriqu d raison r =. Son trm initial st : v 0 =. ) n V, on a : v n = n t n V, on a : ln(u n ) = 3) a) lim v n = 0 vu qu < n <. 3) b) On a : lim ln(u n ) = t on utilis nsuit la continuité d la fonction p au point. n Rappl : Si un suit (v n ) convrg vrs un limit L t si f st continu sur un intrvall contnant L, alors la suit (f(v n )) convrg vrs f(l). n.

4 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 4 EXERCICE N 5 : Annabac 0 : Parti B pag 05. Corrction pags //3. EXERCICE N 6 :. 0 u() - 0. On prouv qu g st dérivabl sur ]0 ; [ t on a : > 0, g'() = ln() = u(). On n déduit, d'après ), l tablau d variations suivant : 0 g'() - 0 g - Rmarqu : pour détrminr lim g(), on pourra mttr n factur dans l'prssion d g(). Conclusion : g st strictmnt décroissant sur ]0 ; ] t g st strictmnt croissant sur [ ; [. ln(). EXERCICE N 7 : f st la fonction défini sur ]0 ; [ par f() = ( ). On prouv qu : lim f() = t lim f() =.. On prouv qu f st dérivabl sur ]0 ; [ t > 0, on a : f'() = ln. 3. > 0, f'() st du sign d ln(). Si 0 <, on a : f'() 0 t si, on a : f'() 0. f st strictmnt décroissant sur ]0 ; ] t f st strictmnt croissant sur [ ; [ f'() - 0 f C 0 L'a ds ordonnés st asymptot à C t la courb C admt au point d'absciss un tangnt horizontal.

5 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 5 EXERCICE N 8 : Etrait d Polynési, sptmbr 009 Annabac 0 : Ercic 4 Parti A t Parti B pags 75/76. Corrction pags 77/78/79/80. EXERCICE N 9 : Etrait d l épruv du concours EFREI (mai 00) On pos : > 0, f() = ln() -. L'équation proposé équivaut à résoudr f() = 0. On prouv qu f st dérivabl sur ]0 ; [ t on a : > 0, f'() =. On a donc : > 0, f'() > 0. On prouv qu : lim f() = - t lim f() =. On prouv qu f établit un bijction d ]0 ; [ sur ]- ; [ t grâc au théorèm d la bijction, on prouv qu l'équation f() = 0 admt un uniqu solution α sur Y. D'où : a. solution : VRAI ; b. aucun solution : FAUX ; c. du solutions : FAUX. EXERCICE N 0 : Annabac 0 : Ercic pags 83/84 sauf qustion 4). Corrction pags 89/90/9/9/93/94. Annabac 0 : Ercic 6 pags 37/38 (Corrction pags 49/50). EXERCICE N : Etrait d l épruv du concours EFREI (mai 00) [ ln(5 ) 5 ] = lim a. - : VRAI ; b. : FAUX ; c. 0 : FAUX. Y : ln(5 ) 5 = ln( (5 - )) 5 = ln( ) ln(5 - ) 5 = - 4 ln(5 - ). (- 4) = - t on prouv (théorèm par composition) : lim ln(5 - ) = ln(5) t. lim EXERCICE N : Soit du fonctions u t v tlls qu u() = ln défini sur ]0 ; [ t v() = ln défini sur ]0 ; [ ] ; [. lim u() = ; lim u() : on a un F.I. On pourra mttr n factur pour lvr l'indétrmination. On trouv qu : lim u() =. lim (ln()) = 0- t par passag à l'invrs, on obtint : lim v() = -. On prouv qu : si 0 < <, ln() < 0 t si >, ln() > 0. On n déduit : lim v() = - t lim v() =. Enfin : lim v() = 0. EXERCICE N 3 : 8 pag 37 du LIVRE. ) a) On prouv qu : lim (f() ) = 0. ) b) h st dérivabl t continu sur I par somm d fonctions dérivabls t continus sur I. I, on a : h'() =. On prouv qu : I, on a : h'() > 0, c qui prmt d'n déduir qu la fonction h st strictmnt croissant sur I. Enfin : lim h() = - t lim h() =. On n déduit qu h établit un bijction d ]0 ; [ sur ]- ; [.

6 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 6 Comm 0 h(]0 ; [), alors par théorèm d la bijction, on n déduit l'istnc d'un uniqu rél α appartnant à I = ]0 ; [ tl qu h(α) = 0. Enfin : h(0,5) = 0,5 ln(0,5) - 0,93 t h(0,6) = 0,6 ln(0,6) 0,09. Comm h(0,5) < 0 < h(0,6) t qu h st strictmnt croissant sur [0,5 ; 0,6], alors : 0,5 < α < 0,6. ) c) > 0, on a : f() = h(). Comm h st strictmnt croissant sur I = ]0 ; [, alors : si 0 < < α, on a : h() < h(α) soit h() < 0 ; h(α) = 0 ; si α <, on a : h(α) < h() soit 0 < h(). Comm on a : > 0 sur I = ]0 ; [, on n déduit l tablau d signs suivant : 0 α f() - 0 Position d la courb C par rapport à la droit d C st n dssous d la droit d C st au-dssus d la droit d ) a) f st dérivabl sur I = ]0 ; [ par quotint (dont l dénominatur n s'annul pas sur I) t par somm d fonctions dérivabls sur I. On prouv qu I, on a : f'() = 3 ln 3. On pos donc : > 0, g() = ln() 3. ) b) On prouv qu g st dérivabl sur I t : I, on a : g'() = 33 = ( )(3 3 ). On prouv qu : lim g() = t lim g() =. On n déduit l tablau d variations suivant : 0 g'() - 0 g Point commun D'après l tablau d variations ci-dssus, on n déduit : > 0, g(). ) c) > 0, on a : f'() = g() 3. Or, > 0, on a : g() > 0. L sign d f'() sur I dépnd donc d clui d 3 ou d clui d. On prouv qu f st strictmnt croissant sur I = ]0 ; [. On prouv qu : lim f() = - t lim f() =. Rmarqu : pour la limit n 0, on a un F.I. du typ " - ". Pour lvr l'indétrmination, on pourra écrir f() sous la form : > 0, on a : f() = ln C d

7 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 7 EXERCICE N 4 : On pos : > 0, f() = ln(). On prouv qu f st dérivabl sur ]0 ; [ t on a : > 0, f'() =. On prouv qu f st strictmnt décroissant sur ]0 ; ] t qu f st strictmnt croissant sur [ ; [. f admt donc un minimum n = qui vaut f() =. On n déduit alors : > 0, f() > 0 > 0, ln() > 0 > 0, ln() <. EXERCICE N 5 : 3 pag 30 du LIVRE : ) On prouv qu f st dérivabl sur I = ]0 ; [. On prouv qu : I, f() = a ln(). ) a) D'après l'énoncé, la tangnt à la courb C au point d'absciss st parallèl à la droit d'équation y = 3. Cs du droits ont donc l mêm cofficint dirctur. Or, clui d la tangnt n A st f'() t clui d la droit d'équation donné st 3. On n déduit qu : f'() = 3. f'() = 3 a = 3 a =. ) b) f() = a b t A( ; 0) C. On n déduit qu : a b = 0 t par suit : b = -. 3) > 0, on a : f() = ln(). 35 pag 3 du LIVRE : Rmarqu : n V *, donc : n V * n, on a : n > 0 t ln n n st défini. ) n V *, on a : v n = f(n) où f st la fonction défini sur ]0 ; [ par f() =. On prouv qu : lim f() = t par suit lim v n =. n On a : lim v n = t on utilis nsuit la continuité d la fonction ln au point. n Rappl : Si un suit (v n ) convrg vrs un limit L t si f st continu sur un intrvall contnant L, alors la suit (f(v n )) convrg vrs f(l). On n déduit qu : lim ln(v n ) = lim u n = ln() = 0. n n ) a) n V *, S n = u u u n u n. On démontr (par récurrnc sur n V * ) la propriété : n V *, on pos P(n) : "S n = - ln(n )". * Pour n =, on a : S = u = ln = - ln() t ln( ) = - ln(). * On suppos P(n) vrai pour un ntir n V * t on prouv qu P(n ) st vrai. S n = S n u n = - ln(n ) ln n n par hypothès d récurrnc. On prouv qu : S n = - ln(n ). * P() vrai hérédité P(n) vrai pour tout n V *. ) b) On prouv qu : lim ln( ) = (par composition) t par suit : lim On n déduit qu : lim S n = -. n n ln(n ) =.

8 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 8 FICHE N 3 EXERCICE N : On considèr la fonction f : ï ( 4)ln sur ]0 ; [ t la fonction g : ï ( 4) sur Y. On dévlopp l'prssion d f() t on obtint : lim f() = 0. g() = 0. On dévlopp l'prssion d g() t on obtint : lim - EXERCICE N : Etrait d Antills-Guyan, sptmbr 009 Soit f la fonction défini pour tout nombr rél d l intrvall ]0 ; ] par : f() = ln.. a. Par croissancs comparés, on a : lim (ln) = 0- t par somm, on n déduit qu : lim f() =.. b. ]0 ; ], on a : ln 0 t on n déduit alors : pour tout nombr rél ]0 ; ], on a : f().. a. ]0 ; ], on a : f'() = ln.. b. L'équation réduit d la tangnt à la courb C au point d absciss st : y = f'()( ) f() soit y = ( ) soit y = c qui prouv qu la droit T st tangnt à la courb C au point d absciss. 3. On not g la fonction défini pour tout nombr rél ]0 ; ] par : g() = ln. a. ]0 ; ], on a : g'() = ln. ]0 ; [, on a : g'() < 0 t g'() = 0, c qui prouv qu la fonction g st strictmnt décroissant sur ]0 ; ]. On prouv (mêm si c n'st pas dmandé!) qu : lim g() =. D'où l tablau d variations d la fonction g : 0 g'() g b. ]0 ; ], on a : g() = f(). D'après l tablau d variations ci-dssus, on a : ]0 ; ], g() 0 soit f(). Cci prouv qu la courb C st au-dssus d la droit T sur l'intrvall ]0 ; ]. EXERCICE N 3 : 37 pag 3 du LIVRE : a) ; b) ; c). 38 pag 3 du LIVRE : a) 0 - ; b) : on pourra mttr n factur ou bin posr X = alors : lim X = 0 ln( X) t lim = d'après l cours. X 0 X 39 pag 3 du LIVRE : a) lim - b) * lim - f() = ln() t lim f() = - ln(3). f() =. * On commnc par démontrr qu lim 4 pag 3 du LIVRE : a) lim b) lim f() = - ; lim f() = ; lim f() = 0. 3 =. On n déduit qu : lim f() = : on pourra mttr n factur. 0 f() = - ln(). ( > 0) t on a

9 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 9 c) * lim f() = ; > 0, on a : f() = ln t on n déduit : lim f() =. EXERCICE N 4 :. On considèr la fonction f défini sur ]0 ; [ par f() = ( )ln(). lim f() = -.. On considèr la fonction g défini sur ] ; [ par g() = ln( 4). >, on a : g() = ln( 4). On prouv qu : lim lim - EXERCICE N 5 : ) 46 pag 3 du LIVRE : ln( 4) ln( 4) = 0 (Indication : >, = = - t on n déduit qu : lim g() = -. ln( 4) ). ) Y, on a : 3 = (3 - ). ) lim f() = ln(3) donc la droit d'équation y = ln(3) st - f() = 0 donc la droit d'équation y = st asymptot à la courb C au voisinag d (- ). lim asymptot à la courb C au voisinag d ( ). 3 pag 4 du LIVRE : ( ) ) Voir cours ) lim ( - ln) = 0 car : > 0, - ln = ln = ln ) a) On a : lim ( - ln) = 0 t lim ( - ) = 0. ) b) > 0, on a : f'() = - - (ln() ) - 0 = = - g(). ) c) >, on a : < - < 0. >, on a : - ln() < 0. Par somm, on n déduit qu : >, g() < 0. ) d) On démontr (d la mêm façon qu dans la qustion ) c)) qu : 0 < <, on a : g() > 0. Grâc au résultats ds qustions précédnts, on n déduit l tablau d variations d la fonction f sur l'intrvall I : 0 f'() 0 - f L théorèm d la bijction prmt d prouvr qu l'équation f() = admt un solution uniqu, qui vaut. ) 34 pag 56 du LIVRE : corrction pag 470 dans l livr. 35 pag 56 du LIVRE : a) lim f() = ; - 0

10 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 0 b) lim f() =. On pourra écrir : > 0 t, on a : f() = ln = En posant X =, on prouv qu lim 3 3) 53 pag 58 du LIVRE : 3 ln 3() =. a) lim f() =. On posra X = - ( > 0) t on prouvra qu : lim ln ln 3 3() b) lim f() = ln. On posra : X = ln ( > 0) t on prouvra qu : > 0, f() = ln 60 pag 59 du LIVRE : ) a) I = ]0 ; [, on a : f'() = ln(). On n déduit qu : f st strictmnt croissant sur ]0 ; ] t qu f st strictmnt décroissant sur [ ; [. ) b) On trouv : lim f() = - t lim f() = 0. ln( ) Rmarqu : pour la limit n ( ), on écrira f() sous la form f() = t on posra X = ( > 0). On n déduit l tablau d variations d f : 0 f'() 0 - f ) T : y =. 3) a) I, on a : g'() = f'() = - ln() = ( ) ln t on trouv la form indiqué. 3) b) g'() = 0. Sur ]0 ; [, l sign d g'() st l mêm qu clui d ln ( ). On prouv qu : sur ]0 ; [, ln < 0 t < 0 t par somm, on n déduit qu : ln ( ) < 0 t par suit g'() < 0. sur ] ; [, ln > 0 t > 0 t par somm, on n déduit qu : ln ( ) > 0 t par suit g'() > 0. 3) c) g() = 0. On obtint alors l tablau d variations d g : =. 3. ln - ln - 0.

11 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 0 g'() - 0 g 0 On n déduit, grâc à c tablau qu : I, g() 0. 3) d) I, on a : g() = ( ) f(). On a donc : I, f(). On n déduit qu la courb C st n dssous d la tangnt T sur l'intrvall I = ]0 ; [. 4) EXERCICE N 6 : D f = Y car : Y, on a - > > 0. * Asymptot au voisinag d ( ) : On prouv qu : lim ( - ) = (composition) puis qu lim ln( - ) = 0 (composition continuité d la fonction ln sur ]0 ; [. On n déduit qu : lim (f() ) = 0, c qui prouv qu la droit d'équation y = st asymptot à la courb C f au voisinag d ( ). * Asymptot au voisinag d (- ) : < 0, on a : f() = ln = ln = ln( ) ln( ) = ln( ) = - ln( ) f() (- ) = ln( ) On prouv qu : lim ( ) = (composition) puis qu lim ln( ) = 0 (composition continuité - - d la fonction ln sur ]0 ; [. On n déduit qu : lim ( f() (- ) ) = 0, c qui prouv qu la droit d'équation y = - st asymptot à - la courb C f au voisinag d (- ). EXERCICE N 7 : On not N l nombr ntir 345. ) log(n) = log( 345 ) = 345log() t E[ 345log() ] = E[log(N)] = 376.

12 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 ) E[log(N)] = 376 donc : 376 log(n) < 377 par définition d la parti ntièr d'un nombr. Comm log(0 n ) = n pour tout n W, alors : log(0 376 ) log(n) < log(0 377 ) t par strict croissanc d la fonction log sur ]0 ; [, on n déduit l'ncadrmnt N < ) st un nombr comportant 377 chiffrs (un chiffr t 376 zéros), donc l'écritur décimal d N comport 377 chiffrs. EXERCICE N 8 :. 0 n st un nombr comportant (n ) chiffrs (un chiffr t n zéros). Comm A st supériur à 0 n t infériur à 0 n, alors la parti ntièr d A contint (n ) chiffrs. On a : log(0 n ) log(a) < log(0 n ) soit n log(a) < n. On n déduit qu : E[log(A)] = n.. log(a) = 4,5 donc : 4 log(a) < A < 0 5 t la parti ntièr d A contint donc 5 chiffrs. log( A) = log(a) =,55 donc : log( A) < 3 0 A < 0 3 t la parti ntièr d A contint donc 3 chiffrs. log(a 000 ) = 000log(A) = 450 donc : A 000 = t A 000 s'écrit donc avc 45 chiffrs. EXERCICE N 9 : 50 pag 3 du LIVRE : a) D f ln() > 0 > ] ; [. ln() st dérivabl sur ]0 ; [ t st strictmnt positiv sur ] ; [, alors par théorèm d composition, on n déduit qu la fonction f st dérivabl sur ] ; [ donc a fortiori sur I. I, on a : f'() = ln() = ln(). b) D f > 0 t > 0 t ln() 0 > - t > 0 t ]0 ; [ ]; [. On prouv qu ln( ) st dérivabl sur ]- ; [ (composition), donc a fortiori sur I. On a ln() dérivabl sur ]0 ; [ donc a fortiori sur I. f st dérivabl sur I comm quotint (d dénominatur non nul) d fonctions dérivabls sur I. ln() ln( ) ln() ( )ln( ) ( ) ln() ( )ln( ) I, on a : f'() = (ln) = (ln) = ( )(ln) 5 pag 3 du LIVRE : a) On a : Y, > 0 t dérivabl sur Y. On n déduit qu f st dérivabl sur Y t Y, on a : f'() = b) On a : - st dérivabl sur Y.. - > 0 X X > 0 X = X Y X = car : X Y, X X > 0 ( = - 3 < 0). Y, on a donc : - > 0. On n déduit qu la fonction f (composition) st dérivabl sur Y. Y, on a : f'() = -. EXERCICE N 0 : Annabac 0 : Ercic 3 pag 36. Corrction pags 46/47. Attntion au corrigé

13 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 3 EXERCICE N : Etrait d l épruv du concours FESIC (mai 00) a. D = ]- ; [ : VRAI. D f > 0 t 0 ( )( ) > 0 t. - b. f st pair : FAUX. Contr-mpl : f(0,5) = ln,5 0,5 = ln3 t f(- 0,5) = ln 0,5,5 = ln 3 = - ln3. Rmarqu : on put prouvr qu f st impair sur ]- ; [. c. f st décroissant sur D : FAUX. ]- ; [, on a : f() = ln( u() ) avc u() = -. u st dérivabl sur Y \ {} comm fonction rationnll défini sur Y \ {} ; u st strictmnt positiv sur ]- ; [. Par composition, on n déduit qu f st dérivabl sur ]- ; [. ]- ; [, on a : f'() = u'() u() = ( ) = ( ) = ( )( ). - On a : ]- ; [, f'() > 0, c qui prouv qu la fonction f st strictmnt croissant sur ]- ; [. d. Qul qu soit l rél b, l équation f() = b possèd l uniqu solution = b b : VRAI. On prouv qu : lim f() = - t lim f() =, f st continu t strictmnt croissant sur ]- ; [, - (- ) donc f établit un bijction d ]- ; [ sur Y. L théorèm d la bijction prmt d'n déduir qu l'équation f() = b possèd un uniqu solution pour tout rél b. ]- ; [ t b Y, on a : f() = b ln - = b - = b = b - b ( b ) = b = b b. EXERCICE N : Etrait d l épruv du concours ESIEE (mai 00) Répondr par VRAI ou FAUX n justifiant : La fonction f admt f pour dérivé sur D : (A) D = Y ; f() = ln( ) t f () = : FAUX. f st dérivabl sur Y t Y, on a : f'() =. (B) D = Y \ {} ; f() = ( ) t f () = - ( ) : FAUX. f st dérivabl sur Y \ {} t Y \ {}, on a : f'() = - ( ) 3.

14 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 4 (C) D = Y ; f() = t f () = : FAUX. f st dérivabl sur Y t Y, on a : f'() =. (D) D = ]0 ; [ ; f() = ln t f () = - ln( ) - : VRAI. f st dérivabl sur ]- ; [ donc sur ]0; [. ( ) > 0, on a : f'() = ln - = - ln( ) (E) D = Y ; f() = ( ) ² t f () = ( 3 4 ) ² : FAUX. - ( ) ( ) = - ln( ) - f st dérivabl sur Y t Y, on a : f'() = ² ( ) ( ² ) = ( 3 4) ². EXERCICE N 3 : 85 pag 37 du LIVRE :. a) > 0, on a : (ln) = ( ) ( ln ( ) ) = ( ) ( ln ) = ( ln( ) ). On prouv (composition) qu : lim [ ] lim (ln) = 0.. b) > 0, on a : f() f(0) - 0. ln ( ) = 0 (croissancs comparés) t on n déduit qu : = (ln). Comm lim (ln) =, alors on n déduit qu : f() f(0) lim = t la fonction f n'st donc pas dérivabl n f() f(0). c) lim = donc la courb rprésntativ d la fonction f admt un dmi-tangnt - 0 vrtical au point d'absciss 0.. f st dérivabl sur ]0 ; ] comm somm t produit d fonctions dérivabls sur ]0 ; ]. ]0 ; ], on a : f'() = [(ln) ] [ ln ] = (ln) ln = ( ln ). ]0 ; ], on a : f'() = 0 (ln ) = 0 ln() = 0 = ]0 ; ]. ]0 ; ], on a : f'() 0. On n déduit qu la fonction f st strictmnt croissant sur [0 ; ]. 0 f'() 0 f 0 f() = (0 ) = t f = ln = [(- ) ] =. 3. a) T A : y = f'()( ) f() avc f'() = (ln ) = t f() =. On n déduit qu : T A : y = t la tangnt n A à la courb C pass bin par l'origin O du rpèr. 3. b) (OA) : y =. (OA) st la tangnt à la courb C au point A. ]0 ; ], on a : f() = [ln] t ]0 ; ], on a : [ln] 0 soit f() 0. Conclusion : Sur ]0 ; [, la courb C st strictmnt au-dssus d la droit (OA). La courb C t la droit (OA) ont du points n commun sur [0; ] : l point O(0 ; 0) t l point A( ; ).

15 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr C T A : y = pag 4 du LIVRE.. a) FAUX. n V *, on a : u n = 3 n -.. b) VRAI. n V *, on a : v n v n = ln(3 n ) ln(3 n ) = ln3(n n) = - ln3.. c) VRAI. n V *, on a : n (v v n ) = n v v n n car (v n ) st un suit arithmétiqu. n V *, on a : n (v v n ) = v ln ln v n 3 n - = = ln ln(3n ) ln4 (n )ln3 = n V *, on a : n (v ln4 ln3 nln3 ln nln3 v n ) = =.. a) FAUX. D g f() > 0 t D f - < < t ]- ; [ ] ; [.. b) FAUX. g st dérivabl sur ]- ; [ ] ; [ t ]- ; [ ] ; [, on a : g'() = f'() f(). On n déduit qu g st dérivabl n 0 t g'(0) = f'(0) f(0) = 0 = 0.. c) VRAI. ]- ; [ ] ; [, on a : g() = ln(f()) = f() = = 0 t = α avc α tl qu < α <.. d) VRAI. lim X = lim g() = ln(f(0)) = ln = par continuité d la fonction f sur ]- ; [ t par continuité d la fonction ln sur ]0 ; [. g(x) = lim (ln(f(x))) X lim X lim f(x) = f() = X 0 par continuité d la fonction f sur ]- ; [ t lim ln(y) = - (cours), alors par Y 0 composition, on n déduit qu : lim ln(f(x)) = - soit lim g(x) = -. X X Finalmnt : lim X = t lim g(x) = -, alors par composition, on n déduit qu : limg(g()) = -. X

16 Élémnts d corrction ds rcics du chapitr 8 6 EXERCICE N 4 : Soit la fonction f : ï ln.. D f > 0 t 0 ( )( ) > 0 t - ]- ;- [ ] ; [.. st dérivabl sur Y \ {- } comm fonction rationnll défini sur ct intrvall. st strictmnt positiv sur ]- ; - [ ] ; [. Par théorèm d composition, on n déduit qu f st dérivabl sur ]- ; - [ ] ; [. ]- ; - [ ] ; [, on a : f'() = ( ) ( ) ( ) = ( ) - = ( )( ). ]- ; - [ ] ; [, on a : ( )( ) > 0. Par suit : ]- ; - [ ] ; [, on a f'() > 0. f st donc strictmnt croissant sur ]- ; - [ t sur ] ; [. 3. On prouv qu : lim f() = 0 = lim f(). - On n déduit qu l'a (') st asymptot à la courb rprésntativ d f au voisinag d ( ) t au voisinag d (- ). On prouv qu lim f() = t lim f() = -. (- ) On n déduit du asymptots vrticals pour la courb rprésntativ d f : l'un d'équation = - t l'autr d'équation =. On put résumr tous ls résultats dans un tablau d variations : - - f'() f 0-0