BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES. Série S. Enseignement obligatoire

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1 Lycée L Essouriau Session 2013 BACCALAUREAT GENERAL Session 2013 MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6. 1

2 Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal 1. Étude d une fonction f EXERCICE 1 5 points O, ı, j On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par : On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ]0; + [. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère représentée en annexe 1 à rendre avec la copie. a Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +. b Calculer la dérivée f de la fonction f. c En déduire les variations de la fonction f. 2. Étude d une fonction g. fx = lnx x. O, ı, j On considère la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; + [ par : gx = lnx2. x On note C g la courbe représentative de la fonction g dans le repère O, ı, j. a Déterminer la limite deg en0, puis en +. Après l avoir justifiée, on utilisera la relation : lnx2 x b Calculer la dérivée g de la fonction g. c Dresser le tableau de variation de la fonction g. 3. Étude des courbes C f et C g 2 ln x = 4. x. La courbe C f est a Démontrer que les courbes C f etc g possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées. b Étudier la position relative des courbes C f et C g. c Tracer la courbe C g sur le graphique de l annexe à rendre avec la copie. d Existe-t-il une tangente à la courbe C f passant par l origine du repère? Commun à tous les candidats EXERCICE 2 5 points Partie A : on considère l algorithme suivant : Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N. Traitement Affecter àu la valeur 0 Pour k allant de 0 àn 1 Affecter àu la valeur 3U 2k +3 Fin pour Sortie Afficher U Quel est l affichage en sortie lorsque N = 3? 2

3 Partie B : on considère la suite u n définie par : u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n,u n+1 = 3u n 2n Calculer u 1 et u a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,u n n. b En déduire la limite de la suite u n. 3. Démontrer que la suite u n est croissante. 4. Soit la suite v n définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n n+1. a Démontrer que la suite v n est une suite géométrique. b En déduire que, pour tout entier naturel n,u n = 3 n +n Soit p un entier naturel non nul. a Pourquoi peut-on affirmer qu il existe au moins un entier n 0 tel que, pour tout n n 0,u n 10 p? On s intéresse maintenant au plus petit entier n 0. b Justifier que n 0 3p. c Déterminer à l aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p = 3. d Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n 0 tel que, pour tout n n 0, on ait u n 10 p. Commun à tous les candidats. EXERCICE 3 5 points Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à un contrôle dont la fiabilité n est pas parfaite. Ce contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : D l évènement : «le lecteur MP3 est défectueux» ; R l évènement : «le contrôle rejette le lecteur MP3». 1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2. a Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. b On dit qu il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu il n est pas défectueux, ou qu il n est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait une erreur de contrôle. 3. Montrer que la probabilité qu un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0, Calculer la probabilité qu un lecteur soit défectueux sachant qu il est rejeté. 5. A la fin de la chaîne de production, quatre contrôleurs font le même contrôle, indépendamment les uns des autres pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : commercialisé avec le logo de l entreprise s il subit avec succès les quatre contrôles successifs, détruit s il est rejeté au moins deux fois, commercialisé sans le logo sinon. a Soit X le nombre de succès obtenus sur ces quatre contrôles successifs. i. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X? ii. Montrer que la probabilité qu un lecteur soit détruit est égale à0,0581 à10 4 près. iii. Calculer la probabilité qu un lecteur soit commercialisé avec le logo de l entreprise. 3

4 b Le coût de fabrication d un lecteur MP3 s élève à 50e. Son prix de vente est de 120e pour un lecteur avec logo et 60e pour un lecteur sans logo. On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros éventuellement négatif réalisé par l entreprise. i. Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité deg. g i pg = g i ii. Calculer à10 2 près l espérance mathématique deg. Donner une interprétation de ce résultat. EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment. Dans le plan complexe rapporte au repère orthonormal direct O, u, v C le cercle de centre A et de rayon 1. La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique. Partie A On considère l équation de E., on appelle A le point d affixe 1 et E : z 2 2z+2 = 0, oùz est un nombre complexe. On appellez 1 etz 2 les solutions 1. Résoudre l équation E dans l ensemble des nombres complexes C. 2. On appelle M 1 et M 2 les points d affixes respectives z 1 et z 2 dans le repère Montrer que M 1 et M 2 appartiennent au cercle C. O, u, v. Partie B On considère l application f du plan complexe qui a tout point M d affixe z distinct de A associe le point M d affixe z définie par z 2z 1 = 2z Placer le point A et tracer le cercle C sur une figure que l on complètera au fur et à mesure. 2. Montrer que pour tout complexe z distinct de 1 on a z 1z 1 = Montrer que pour tout point M distinct deaon a : AM AM = 1 2 M A u u, AM +, AM = 0+2kπ, où k est un entier relatif. 4. On considère le point P d affixe z P = 1+e iπ 4. Construire le point P. 5. En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P, image de P par f, et réaliser cette construction. 6. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soit un point M appartenant à la droite D d équation x = 3 4. Soit M son image par f. a Montrer que le point M appartient au cercle C de centre O de rayon 1. b Tout point dec a-t-il un antécédent par f? 4

5 Annexe 1 exercice 1 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 C f 0,1 0,1 O ,2 0,3 0,4 5