Cours n 6 : DIVISIONS

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1 I- CRITERES DE DIVISIBILITE Observons la multiplication suivante : 7 x = 28 On lit : 7 multiplie pour donner 28, donc 28 est un multiple de 7, on peut aussi dire que 28 est divisible par 7. A l inverse, il faut un certains nombre de fois 7 pour donner 28, donc 7 est un diviseur de 28. Remarque : dans l opération ci-dessus, on peut dire aussi que 28 est un multiple de. Il peut-être intéressant de savoir rapidement si un entier est divisible ou non par un autre. Le tableau ci-dessous montre quels sont les critères pour qu un nombre soit divisible par 2,,, 5, 9 ou. par 2 si ce nombre est pair (c est-àdire si son chiffre des unités est, 2,,, ou 8). par 5 si son chiffre des unités est ou 5. par si son chiffre des unités est. par si la somme de ses chiffres est divisible par. par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. par si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par. Exemples : est-il un multiple de 2? est un nombre pair (le chiffre des unités est ), donc il est divisible par 2. Vérification : 2 x 7 =. 75 est-il un multiple de 5? Le chiffre des unités est 5, donc il est divisible par 5. Vérification : 5 x 5 = est-il un multiple de? On prend les deux derniers chiffres : est dans la table de ( x 7). Donc 28 est divisible par.

2 2 est-il un multiple de? On fait la somme des chiffres : 2 + =. est dans la table de ( x 2 = ). Donc 2 est divisible par. 72 est-il un multiple de 9? On fait la somme des chiffres : = 9. 9 est un multiple de 9! Donc 72 est divisible par 9. II- DIVISION EUCLIDIENNE Dans une division Euclidienne, il n y a que des nombres entiers. Si on divise un paquet de 5 billes en 5 paquets de taille égale, chaque paquet contiendra billes. Cette opération s appelle la division : 5 : 5 = 5 5 = =. Définition : effectuer la division euclidienne d un nombre entier, appelé le dividende, par un nombre entier différent de, appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, vérifiant : Dividende = (diviseur x quotient) + reste avec : reste < diviseur. Exemple : 5 x = 7 Puis-je en déduire que : le quotient de 7 par 8 est égal à 5 reste 7? OUI Puis-je en déduire que : le quotient de 7 par 5 est égal à 8 reste 7? NON car 7 > 5. Exemple 2 : Comment partager entre personnes 8 bonbons? Division euclidienne de 8 par : DIVIDENDE En 8, combien de x? 2 = et = 9 (>8) 8 = 2, j abaisse le. En 2, combien de x? 8 = DIVISEUR QUOTIENT RESTE 2

3 (28 ) + = 8 OK! DIVIDENDE = (DIVISEUR X QUOTIENT) + RESTE Donc : 8 : = 28 Chaque personne recevra 28 bonbons. Exemple : Comment partager 85 bonbons entre personnes? Autre méthode : dans 85 combien de fois? x = 9 (trop grand) ; x29 = 87 (trop grand) ; x28 = 8 OK (reste ) Division euclidienne de 85 par : 2 = et = 9 (>8) 8 = 2 DIVIDENDE DIVISEUR QUOTIENT ( x 28 ) + = 8 + = 85 OK! DIVIDENDE = (DIVISEUR X QUOTIENT) + RESTE RESTE Donc : 8 : = 28 + ( : ) Chaque personne recevra 28 bonbons et il restera bonbon qu on ne peut pas partager... Exemple : effectuer la division euclidienne de 52 par 22. On pose ; dans 5 combien de fois 22 ; 22 x? = 5 ; ordre de grandeur : 2 x 2 =

4 III- DIVISION DECIMALE Exemple : je veux répartir litres d eau dans 8 seaux. Quelle doit-être la contenance de chaque seau? 8 2, , En, combien de fois 8? x 8 = 2 5 x 8 = (>) 2 = On «abaisse» et on met une virgule au quotient. En, combien de fois 8? 5 x 8 =. Le quotient de par 8 est,5. Chaque seau devra contenir,5 litres d eau. Exemple 2 : comment partager 7,8 litres de boisson entre personnes? Division décimale de 7,8 par : 7, , 5 Quand il n y a plus de chiffre à abaisser, on rajoute un zéro pour continuer. Dés qu on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende, on place la virgule dans le quotient. Le RESTE est nul : on s arrête là.,5 = [on calcule] = 7,8 OK! Donc : 7,8 : =,5 Chaque personne recevra,5l de boisson. Exemple : comment partager entre 5 personnes? : 5 =,2 ce qui fera 2 centimes d euros par personne.

5 IV- DIVISION PAR,, Diviser un nombre par ou ou revient à le multiplier par, ou, ou, (on décale la virgule de un, deux ou trois rangs vers la GAUCHE, en rajoutant éventuellement des ). Exemples : 7 9, 5 : = 7 9, 5, = 7, , 5 : = 7 9, 5, =, Exercices division Euclidienne :. 25 élèves mangent à la cantine par table de huit. Combien faut-il de tables? 25 : 8 = 29 + (reste), donc il faudra tables, sinon élèves n auront pas de places. Combien y aura-t-il de places de vides? 8 = 5 places de vides. 2. Lors de rencontres sportives, 9 élèves souhaitent jouer au foot. Combien peuton faire d équipes (sachant qu une équipe de foot comporte joueurs)? 9 : = 9 + (reste), on pourra donc faire 9 équipes et pas, sinon il manquerait un joueur. 5