CHAPITRE 3 : BASES DE GEOMETRIE PLANE

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1 hapitre 3 ases de géométrie plane page 1 HPITRE 3 : SES DE GEOMETRIE PLNE 1. Triangles Propriété La somme des angles d un triangle vaut 180. d La droite d est parallèle à () et passe par. 1. Marquer clairement l angle dans le triangle. 2. Marquer aussi les angle et. 3. L angle est présent à un autre endroit. Le marquer. 4. L angle est aussi présent à un autre endroit. Le marquer. (indication : utiliser les angles alternes-internes) Récapitulons les triangles particuliers à l aide du tableau ci-dessous : Définition Propriétés caractéristiques Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur deux angles de même mesure deux côtés de même longueur un axe de symétrie Un triangle rectangle a Un triangle équilatéral a un angle droit trois côtés de même longueur la somme de ses deux angles aigus vaut 90 trois angles tous égaux à 60 trois côtés de même longueur trois axes de symétrie

2 hapitre 3 ases de géométrie plane page 2 2. Quadrilatères particuliers Récapitulons les quadrilatères particuliers à l aide du tableau ci-dessous : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a Un rectangle est un quadrilatère qui a Définition ses côtés opposés parallèles deux à deux quatre angles droits Propriétés caractéristiques des diagonales qui ont même milieu des diagonales qui ont le même milieu et qui sont de même longueur Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur des diagonales qui ont le même milieu et qui sont perpendiculaires Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur des diagonales qui ont le même milieu, la même longueur et qui sont perpendiculaires 3. ercles Définitions O O' O" (i) Un cercle est l ensemble des points qui sont équidistants d un même point O, appelé centre du cercle. (ii) La tangente T en un point du cercle est la droite passant par et perpendiculaire au rayon [O]. (iii) Deux cercles tangents en un point sont deux cercles qui admettent la même tangente en.

3 hapitre 3 ases de géométrie plane page 3!"##$! 1. Les différents centres d un cercle entre O du cercle circonscrit O est le point de concours des trois. d un triangle. Orthocentre H H est le point de concours des trois. d un triangle. O O O (H) () ; (H) () ; (H) () On dit que K est le de la issue de. entre de gravité G G est le point de concours des trois. d un triangle. entre I du cercle inscrit I est le point de concours des trois. d un triangle. G = ; G = ; G = Le centre de gravité est situé aux de chaque médiane en partant du sommet IM IN IP Le cercle inscrit au triangle est aux trois côtés de ce triangle. Remarque : Il suffit de tracer de ces droites pour obtenir le centre correspondant.

4 hapitre 3 ases de géométrie plane page 4 2. ercle circonscrit à un triangle rectangle. est un triangle. Propriété caractéristique 1 est rectangle en si et seulement si [] est un diamètre du cercle circonscrit à. Propriété caractéristique 2 est rectangle en si et seulement si la médiane [I] a pour longueur la moitié de celle de []. I Démonstration de la propriété caractéristique 1 : : Supposons que soit rectangle en. Il faut montrer que dans ce cas, [] est un diamètre du cercle. D après le théorème des milieux (vu en 4 ème ), la médiatrice de [] coupe [] en son milieu, que l on note I. La médiatrice de [] passe par ce milieu I, donc le centre du cercle circonscrit est le milieu de [], ce qui prouve que [] est un diamètre de ce cercle. : Supposons maintenant que [] soit un diamètre du cercle circonscrit, et montrons que est rectangle en. Démonstration de la propriété caractéristique 2 : : Supposons que soit rectangle en. Il faut montrer que I vaut la moitié de. Puisque est rectangle en, I est le centre du cercle circonscrit, d après la propriété 1. Soit alors le symétrique de par rapport à I. lors et l on montre facilement que les angles et sont droits (angles alternes-internes), de même que les angles et. Le quadrilatère possède quatre angles égaux, c est donc un rectangle. Ses diagonales se croisent alors en leur milieu I déjà défini. On en déduit que I = I = I, donc I = 1 2. : Supposons maintenant que I = 1, et montrons que est rectangle en. On 2 considère toujours le symétrique de par rapport à I. lors I = I = I = I. Le quadrilatère possède alors quatre diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu I, donc c est un rectangle, et par suite, l angle vaut 90, c est-à-dire que est rectangle en.

5 hapitre 3 ases de géométrie plane page 5 %&'%$%! %&'%$%! 1. Théorème de Pythagore et sa réciproque Théorème de Pythagore et sa réciproque Théorème de Pythagore : Si est un triangle rectangle en, alors 2 = Réciproque du théorème de Pythagore : Si 2 = 2 + 2, alors est rectangle en. Elle repose sur le fait que l aire du triangle ne varie pas si l on en déplace un point sur la droite parallèle au côté opposé passant par ce point, puisque la hauteur reste dans ce cas toujours égale. 2. Théorème de Thalès et sa réciproque E G F D Théorème de Thalès E Les points,, D sont alignés, de même que les points,, E. Si les droites () et (DE) sont parallèles, alors : D = E = DE. D L H M K Soient H le projeté orthogonal de sur () et K l intersection de (H) et (DE). On en déduit déjà que (H) (DE) puisque (DE) // () et (H) (). Les angles H et EK sont donc égaux, donc sin(h) = H = K H. De même, sin(h) = E = K. D où H E = D K H K = H, et d autre part H D = K E K =. De plus, = H + H D = H tan(h) + H tan(h) = H [ tan(h) + tan(h) ] et DE = DK + KE = K tan(dk) + K tan(ek) = K [ tan(h) + tan(h) ], d où DE = H K = D = DE.

6 hapitre 3 ases de géométrie plane page 6 Réciproque du théorème de Thalès Les points,, D sont alignés, de même que les points,, E, dans le même ordre. Si D =, alors les droites () et (DE) sont parallèles. E Il existe un réel k tel que = k D et = k E. La première égalité est équivalente à = k D. Par addition membre à membre, on obtient + = k D + k E = k ( D + E), c est-à-dire (grâce à la relation de hasles) = k DE. ette égalité traduit le fait que les vecteurs et DE ont même sens et même direction, et on en déduit que () et (DE) sont parallèles. ette démo sera vue plus tard. 3. as particulier : théorème des milieux dans un triangle Théorème de la droite des milieux La droite qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. onsidérons par exemple sur la figure ci-dessus que est le milieu de [D] et celui de [E]. lors D = 2 = 1 et 2 E = 2 = 1. D après la réciproque du théorème de Thalès, les 2 droites () et (DE) sont parallèles, donc la droite qui joint les milieux et de deux côtés est parallèle au troisième, (DE). Théorème réciproque Si, par le milieu du côté d un triangle, on mène la parallèle à un autre côté du triangle, alors cette parallèle coupe le troisième en son milieu. onsidérons que la droite (D), parallèle à (DE) passe par le milieu de [D]. lors d après le théorème de Thalès, on a : 1 2 = D =. Par le produit en croix, 2 = E, et puisque, E et E sont alignés dans cet ordre, on a que est le milieu de [E], c est ce qu il fallait démontrer.

7 hapitre 3 ases de géométrie plane page 7 (##!!#!&!# ##!!#!&!# 1. Les transformations étudiées au collège Transformation Image M de M Représentation Symétrie axiale d axe d Si M d, alors M = M Si M d, alors d est la médiatrice de [MM ] Symétrie centrale de centre I Si M = I, alors M = I Si M I, alors I est le milieu de [MM ] Translation de vecteur MM =, ou MM est un parallélogramme M M Rotation de centre O et d angle α dans le sens de la flèche Si M = O, alors M = O Si M O, alors : OM = OM et MOM = α. α M Vocabulaire : M Une rotation d angle α dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d une montre) est dite rotation d angle orienté +α. +α M M Une rotation d angle α dans le sens indirect (sens des aiguilles d une montre) est dite rotation d angle orienté α. α M onservation des distances Les translations, les symétries et les rotations conservent les distances. ela signifie que si et sont deux points quelconques, et leurs images respectives par l une de ces transformations, alors =.

8 hapitre 3 ases de géométrie plane page 8 Notations : signifie que «admet pour image». insi, si et, alors =. 2. Images par une transformation Image de droites Les translations, symétries et rotations transforment une droite en une droite. De plus, deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles, deux droites perpendiculaires sont transformées en deux droites perpendiculaires. Image d un segment, d un cercle, d une intersection Par une translation, une symétrie, une rotation : un segment [] a pour image un segment [ ] de même longueur, et le milieu I de [] a pour image le milieu I de [ ] ; un cercle a pour image un cercle de de même rayon, et le centre O de a pour image le centre O de ; l image d une intersection est l intersection d une image. es propriétés, vues au collège, sont admises. Elles ne seront donc pas démontrées. Il en sera de même pour toutes les propriétés de conservations de distances, de parallélisme, d orthogonalité, d angles ou d aires. () ) * 1. Les angles ngles inscrits et angle au centre est un cercle de centre O et les points,, M, N appartient à. L arc intercepté par un angle M inscrit dans est l arc auquel n appartient pas le point M. La mesure d un angle inscrit dans le cercle est égale à la moitié de la mesure de l angle au centre qui intercepte le même arc. Deux angles inscrits dans le cercle qui interceptent le même arc ont la même mesure. angle au centre O N M onservation des angles Les translations, les symétries et les rotations conservent les angles géométriques (c est-à-dire non orientés).

9 hapitre 3 ases de géométrie plane page 9 2. Trigonométrie osinus, sinus, tangente d un angle aigu est un triangle rectangle en. cos = tan = sin = hypoténuse côté adjacent à côté opposé à En résumé, côté djacent à cos = Hypothénuse sin = côté Opposé à Hypothénuse côté Opposé à tan = côté djacent à On peut retenir le moyen mnémotechnique suivant : «HSOHTO» (à lire «casse-toi»!!) qui rappelle que os = djacent/hypothénuse, Sin = Opposé/Hypothénuse et Tan = Opposé/djacent. Propriétés Si x est la mesure d un angle aigu, alors cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 et tan(x) = sin(x) cos(x). Dans le triangle ci-dessus, on peut supposer que l hypoténuse admette pour longueur 1, quitte à faire un «agrandissement» du triangle (ce qui ne modifie pas les angles). Dans ce cas, si x 2 2 désigne la mesure de l angle, alors cos 2 (x) = = 2 et sin 2 (x) = = 2. Par le théorème de Pythagore, on en déduit que cos 2 (x) + sin 2 (x) = = 2 = 1 2 = 1. De côté djacent à plus, sin(x) cos(x) = Hypothénuse côté Opposé à Hypothénuse = côté Opposé à côté djacent à = tan(x). Valeurs remarquables x cos(x) sin(x) tan(x) d 45 d = a 2 a a 30 h 60 a 3 h = a 2 a

10 hapitre 3 ases de géométrie plane page Les aires onservation des aires Les translations, les symétries et les rotations conservent les aires.