Série Maths. Exercice n 1 : Exercice n 2 : Exercice n 3: Exercice n 4 : Nombres complexes. On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0

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1 Exercice n 1 : On considère l'équation : Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0 1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z 1 et Z - On désigne par M 1 et M les points du plan complexes d'affixes respectives Z 1 et Z 3 Placer les points M 1 et M dans le plan complexe rapporté à l'origine 0 3- Soit I le milieu du segment [M 1 M ] Calculer d'affixe Z 3 de I 4- Calculer les modules de Z 3, Z 3 - Z 1 et Z 3 - Z - Quelle est la nature du triangle OM 1 M Exercice n : Soit dans C la fonction f définie par : f(z) = Z 3 - (1 + 3 i) Z² - ( - 7i) Z Montrer qu'il existe un réel unique b tel que "bi" soit solution de l'équation f (Z) = 0 - Factoriser la fonction f 3- Résoudre dans C l'équation : f (Z) = 0 Exercice n 3: et sont deux constantes réelles 1- résoudre dans C l'équation : Z² - ( cos + i sin ) Z + ² - 1 = 0 - Préciser suivant le module et un argument de chaque solution Exercice n 4 : Soit a un nombre complexe non nul, soit l'équation : (E) : Z² - a (7 + i 3 ) z + a² (3 + i 3 ) = 0 Cours En Ligne Pour s inscrire : wwwtunischoolcom Page 1 sur

2 Trouver les racines carrées de u i - Calculer les racines Z 1 et Z de (E) 3- Vérifier que Z - a = u (Z 1 - a), (Z 1 est la racine de la forme a) En déduire la nature du triangle AM 1 M, où A(a), M 1 (Z 1 ) et M (Z ) 4- Dessiner le triangle dans le cas où a = 1 + i Exercice n : 1- Déterminer les racines carrées de i - Soit dans C l'équation: Z² - (3+4i) Z + i -1 = 0 (1) résoudre cette équation 3- Soit l'équation () : Z 3 - (3+7i) Z² + ( i) Z+1+3i = 0 Montrer que l'équation () admet une solution imaginaire pour que l'on précisera Achever alors la résolution de () 4- Placer dans le plan complexe rapporté à un ron (o, i, j) les points A (1+i), B (+3i) et C (3i) Déterminer l'affixe du point D pour que ABDC soit un parallélogramme Montrer que ABDC est un losange Exercice n 6 : On considère les nombres complexes 1i 3 et 3i 3 1- Ecrire et sous forme exponentielle - Soit ]0, [ a) Résoudre dans C : Z² - Z e i = 0 Z 1 étant ls solution ayant une partie imaginaire positive et Z l'autre solution b) Ecrire Z 1 et Z sous forme trigonométrique 3- déterminer pour que l'on ait Z 1 = et Z = Exercice n 7 : 1- Résoudre dans C l'équation : (1+i) Z² - Z + 1-i = 0 Cours En Ligne Pour s inscrire : wwwtunischoolcom Page sur

3 - Soit m C et m = Résoudre dans c l'équation : m Z²-Z + m = 0 (E); 3- Dans la suite de l'exercice on prend m = e i ; IR a) Montrer que les racines z' et z'' de (E) s'écrivent sous la forme i( ) 4 i( ) 4 z' e et z'' e b) Dans le plan complexe rapporté à un ron (o, i, j) on désigne par M' et M'' les pointss d'affixes respectives z' et z'' et M le point d'affixe z' + z'' Montrer que z ' = i En déduire que les vecteurs OM' et OM'' sont orthogonaux z'' c) Montrer que le quadrilatère OM'MM'' est un carré Exercice n 8: Soit Z 0 cos isin 1- On pose = Z 0 + Z 0 4 et = Z 0 + Z 0 3 a) Montrer que 1 + Z 0 + Z 0 + Z Z 0 4 = 0 En déduire que et sont solutions de l'équation (1) suivante : X² + X - 1 = 0 b) Déterminer en fonction de cos b) Résoudre (1) En déduire la valeur de Exercice n 9: cos 1 /Résoudre dans C l'équation (1): z =-ion écrira les racines sous forme trigonométrique /Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat 3 / Résoudre dans C l'équation :1+iz- z -i z 3 +z 4 =0 Exercice n 10: On se propose de résoudre dans C l'équation (1): z 6 =117+44i a- Vérifier que 1+i est une solution de l équation (1) Cours En Ligne Pour s inscrire : wwwtunischoolcom Page 3 sur

4 b- Résoudre dans C l'équation u 6 =1On exprimera les solutions sous forme trigonométrique et sous forme algébrique c- En déduire les solutions de l équation (1) Exercice n 11: 1 /Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé O,u,v Au nombre complexe a, on associe le point A (a) a- Représenter dans le plan P l ensemble (S) des points A tels que : a-1 = a b- Montrer que si A (S), on a : a 1 a En déduire la relation : a) arg(a 1) arg( Exercice n 1: Soit θ un paramètre réel de ]0, [ et (E) l équation dans C définie par : z 3-4 z +(- e i )z - + e i =0 1 /a- Vérifier que z 0 =,est une solution de l équation (E) b- Trouver alors les deux autres solutions z 1 et z de (E) ; avec Im(z 1 )>0 c- Ecrire sous forme trigonométrique z 1 et z /Soit A, M 1,M les points d affixes respectives les complexes, z 1, z dans Le plan P muni d un repère orthonormé O,u,v a- Montrer que M 1 et M sont symétriques par rapport à un point fixe I que l on déterminera b- Trouver l ensemble (γ 1 ) décrit par le point M 1 lorsque θ varie En déduire l ensemble (γ ) décrit par le point M c-en utilisant les résultats précédents, montrer que OM 1 A M est un rectangle Dans quel cas OM 1 A M est un carré? Exercice n 13: Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v, on considère les points A, B, C et D d'affixes 3 i 1 i 3 respectives,, a= et b= 1 / Ecrire, et sous forme trigonométrique En déduire la nature du triangle ABO / Placer les points A, B, C et D dans le plan et montrer que OACB est un carré 3 / En déduire la forme trigonométrique de a et b / Déterminer alors les valeurs de cos, sin, cos et sin Exercice n 14: Soit un réel de l'intervalle ]0, [ 1 /a)déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants: i 3i z 1 =1- e et z =1- e b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z 3 =1+ e i i + e / Résoudre dans C l'équation ( E ): z i 3i -(+ e )z+1- e =0 On donnera les solutions sous forme exponentielle Cours En Ligne Pour s inscrire : wwwtunischoolcom Page 4 sur

5 Exercice n 1: Soit un réel de l'intervalle ]0, [ et l'équation dans C : (E): z 3 + 4z i i + (- e )z - 4isin e = 0 i i 1 /a) Prouver que e est une racine carrée de 1+isin e b) Montrer que z 0 =- est une solution de (E) puis la résoudre / On donne les points A, M 1 et M d'affixes respectives -, z 1 = -1+ e i i et z = -1- e z 1 a) Mettre sous forme exponentielle z 1 et z b) Montrer que les points M 1 et M sont symétriques par rapport à un point fixe I c) Déterminer l'ensemble ( 1 ) des points M 1 lorsque varie et en déduire l'ensemble ( ) des points M et les construire d) Montrer que OM 1 AM est un rectangle puis déterminer la valeur de pour laquelle on obtient un carré Exercice n 16: étant un réel de ]0, [ et z un nombre complexe On pose P(z)=z 3 -(1-sin )z +(1-sin )z-1 1 /a) Calculer P(1) a) Résoudre dans C l'équation P(z)=0 et écrire les solutions sous forme exponentielle / Résoudre dans C l'équation U 3 = e i( ) 3 / Vérifier que pour tout réel, on a: 1+ e i = cos ( )e i 4 / Résoudre dans C l'équation (z-1) 6 + sin (z-1) = 0 Cours En Ligne Pour s inscrire : wwwtunischoolcom Page sur