Nombres complexes. Table des matières. 1 - Le corps des complexes... 2

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1 POIRET Aurélien Chapitre n o 3 MPSI Nombres complexes Table des matières 1 - Le corps des complexes 11 - Construction de C 1 - Propriétés usuelles sur C Lien avec le plan géométrique 4 - Conjugué d un nombre complexe L exponentielle complexe Formules trigonométriques Forme trigonométrique d un complexe Module d un complexe Argument d un complexe non nul Forme trigonométrique d un complexe non nul Inégalités triangulaires Résolutions d équations Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un complexe Équations du second degré Surjectivité de l exponentielle complexe Nombres complexes et géométrie plane Vision géométrique du module et de l argument d un complexe Transformations géométriques dans le plan complexe 17 1

2 1 Le corps des complexes 11 Construction de C Nous supposerons dans ce chapitre que nous connaissons parfaitement l ensemble R des réels muni de ses deux opérations usuelles : + ; son addition et ; sa multiplication Partant de là, nous allons construire le corps C des nombres complexes, c est-à-dire justifier qu un tel ensemble existe avec toutes ses propriétés que avez vues jusqu à présent On définit sur R deux opérations et en posant, pour tous (a, b, (a, b R (a, b (a, b = (a + a, b + b et (a, b (a, b = (aa bb, ab + ba Par définition l ensemble R muni de ces deux opérations est noté C et ses éléments sont appelés les nombres complexes Remarquons que pour tous a, a R, (a, 0 (a, 0 = (a + a, 0 et (a, 0 (a, 0 = (aa, 0 Ces deux égalités montrent que l addition et la multiplication agissent sur les couples de la forme (a, 0, où a R, comme l addition + et la multiplication agissent sur R C est pour cette raison qu il est légitime d identifier un réel a R avec le complexe (a, 0 C Cette identification permet de considérer R comme un sous-ensemble de C Par cette identification, pour tous a, a R, a a = (a, 0 (a, 0 = (a + a, 0 = a + a et a a = (a, 0 (a, 0 = (a a, 0 = a a Ces égalités montrent que les opérations et généralisent à C les opérations usuelles + et que nous connaissons sur R Par conséquent, nous noterons, sans risque d ambiguïté, + l opération et l opération Par l identification précédente, nous avons choisi de noter 1 = (1, 0 C Nous décidons de noter à présent i = (0, 1 C Il vient alors que i = (0, 1 (0, 1 = ( 1, 0 = 1 Soit z = (a, b C Alors z = (a, b = (a, 0 + (0, b = (a, 0 + ((0, 1 (b, 0 = a + ib De plus, cette écriture est unique car si z = a + ib = a + ib alors, par le calcul précédent, z = (a, b = (a, b puis a = a et b = b Ces deux dernières remarques permettent de légitimer la définition qui suit Définition A : Forme algébrique, Parties réelle et imaginaire z C,!a, b R / z = a + ib L écriture z = a + ib est appelée la forme algébrique du complexe z Les réels a et b sont respectivement appelés partie réelle et partie imaginaire de z et on note a = Re(z et b = Im(z Les théorèmes qui suivent sont immédiats de part la construction de C et des définitions des lois + et

3 Théorème 1 Deux complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire Un complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles Un complexe est réel si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle Un complexe est imaginaire pur si, et seulement si, sa partie réelle est nulle Théorème z, z C, Re(z + z = Re(z + Re(z, Im(z + z = Im(z + Im(z, Re(zz = Re(z Re(z Im(z Im(z, Im(zz = Re(z Im(z + Im(z Re(z 1 Propriétés usuelles sur C Notre construction de C est achevée, il reste à démontrer les propriétés usuelles de + et sur C Soient z = a + ib, z = a + ib et z = a + ib C Commutativité de + : En utilisant la commutativité de + sur R, il vient z + z = (a, b + (a, b = (a + a, b + b = (a + a, b + b = (a, b + (a, b = z + z Commutativité de : En utilisant la commutativité de + et de sur R, il vient z z = (a, b (a, b = (aa bb, ab + ba = (a a b b, a b + b a = (a, b (a, b = z z Associativité de + : En utilisant l associativité de + sur R, il vient z + (z + z = (a, b + ((a, b + (a, b = (a, b + (a + a, b + b = (a + (a + a, b + (b + b = ((a + a + a, (b + b + b = (a + a, b + b + (a, b = ((a, b + (a, b + (a, b = (z + z + z Associativité de : En utilisant les propriétés de calculs usuels sur R, il vient z (z z = (a, b ((a, b (a, b = (a, b (a a b b, a b + b a = (a(a a b b b(a b + b a, a(a b + b a + b(a a b b = (aa a ab b ba b bb a, aa b + ab a + ba a bb b = ((aa bb a (ab + ba b, (aa bb b + (ab + ba a = (aa bb, ab + ba (a, b = ((a, b (a, b (a, b = (z z z 3

4 Distributivité de par rapport à + : Par distributivité de par rapport à + sur R, il vient (z + z z = ((a, b + (a, b (a, b = (a + a, b + b (a, b = ((a + a a (b + b b, (a + a b + (b + b a = (aa + a a bb b b, ab + a b + ba + b a = (aa bb, ab + ba + (a a b b, a b + b a = (a, b (a, b + (a, b (a, b = z z + z z De même, on montre que z (z + z = z z + z z Neutralité de 0 pour + : Par neutralité de 0 pour + sur R, il vient z + 0 = (a, b + (0, 0 = (a + 0, b + 0 = (a, b = z et 0 + z = z Neutralité de pour : Par neutralité de 1 pour sur R, il vient z 1 = (a, b (1, 0 = (a 1 b 0, 1 b + a 0 = (a, b = z et 1 z = z Inverse pour + : On pose z = ( 1 z l opposé de z Il vient z z = (a, b (1, 0 (a, b = (a, b (1 a 0 b, a 0 + b 1 = (a, b (a, b = (0, 0 = 0 De même, z + z = 0 Inverse pour : Si z est non nul, on pose 1 z = a i a +b z 1 ( a z = (a, b a + b, b a + b De même, 1 z z = 1 ( a = a + b + 13 Lien avec le plan géométrique b a + b, ab a + b + b a +b l inverse de z Il vient ba a + b = (1, 0 = 1 Supposons désormais que R soit identifié géométriquement à un plan muni d un repère orthonormée direct (O, i, j Définition B : Affixe d un nombre complexe On appelle point d affixe z C le point M de coordonnées (a, b avec a = Re(z et b = Im(z On note M(z pour signifier que M est le point d affixe z 4

5 Définition C : Vecteur d affixe un complexe On appelle vecteur d affixe z C, le vecteur u de composante (a, b avec a = Re(z et b = Im(z On note u (z pour signifier le vecteur u d affixe z Conjugué d un nombre complexe Définition D : Conjugué d un complexe On appelle conjugué d un complexe z = a + ib, le complexe, noté z, défini par z = a ib Théorème 3 Pour tout z C, z = z Preuve : Si z = a + ib alors z = a ib puis z = a ib = a + ib Théorème 4 z, z C, z + z = z + z, zz = z z Si, de plus, z est non nul, alors ( 1 z = 1 z Preuve : On écrit z = a + ib et z = a + ib sous forme algébrique z + z = a + a + i(b + b = a + a i(b + b = a ib + a ib = z + z zz = (a + ib(a + ib = aa bb + i(ba + ab = aa bb i(ba + ab = (a ib(a ib = zz ( ( 1 z = a ib = a+ib a+ib = = 1 = 1 a +b a +b (a ib(a+ib a ib z Théorème 5 Pour tout z C, Re(z = 1 z z (z + z et Im(z = i Preuve : On écrit z = a + ib sous forme algébrique de sorte que z = a ib Par conséquent, 1 a+ib+a ib (z + z = = a = Re(z et z z = a+ib a+ib = b = Im(z i i 5

6 Corollaire 6 Soit z C z est réel si, et seulement si, z = z z est imaginaire pur si, et seulement si, z = z 3 L exponentielle complexe Définition E : Congruences Soit (a, b, N R 3 On dit que a est congru à b modulo N s il existe k Z tel que a = b + kn On note alors a b [N] Exemple 1 : 5π π [π], 7 1 [3] et 8 3 [5] Exemple : cos(a = cos(a si, et seulement si, a a [π] ou a a [π] Exemple 3 : sin(a = sin(a si, et seulement si, a a [π] ou a π a [π] Définition F : Exponentielle complexe Pour z = a + ib C, on pose e z = e a (cos(b + i sin(b Exemple 4 : Nous avons e 0 = 1, e i π = i, e iπ = 1 et e iπ = 1 Théorème 7 L application z e z est à valeurs dans C Preuve : Raisonnons par l absurde en supposant l existence de z C tel que e z = 0 Écrivons z = a + ib sous forme algébrique Il vient que e z = e a cos(b + ie a sin(b Or un complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles Ainsi, e a cos(b = 0 et e a sin(b = 0 Comme e a > 0 puisque a R alors cos(b = sin(b = 0 Mais cela contredit la relation bien connue 1 = cos (b + sin (b Théorème 8 : Formules d Euler Si θ R alors e iθ = cos(θ + i sin(θ, cos(θ = eiθ +e iθ et sin(θ = eiθ e iθ i Preuve : D après la définition de l exponentielle complexe (avec a = 0 et b = θ, on obtient e iθ = cos(θ + i sin(θ Puis, eiθ +e iθ cos(θ+i sin(θ+cos( θ+i sin( θ = = cos(θ Et enfin, eiθ e iθ cos(θ+i sin(θ cos( θ i sin( θ = = sin(θ i i Théorème 9 z C, 1 e z = e z 6

7 Preuve : On écrit z = a + ib sous forme algébrique Il vient 1 e = 1 z e = 1 a+ib e a (cos(b + i sin(b = e a (cos(b i sin(b = e a ib = e z (cos(b + i sin(b (cos(b i sin(b }{{} =1 Théorème 10 : Formule de Moivre Si n Z et θ R alors ( e iθ n = e inθ Ou encore cos(nθ + i sin(nθ = (cos(θ + i sin(θ n Preuve : On commence par prouver par récurrence simple sur n N que cos(nθ + i sin(nθ = (cos(θ + i sin(θ n Pour n = 0, la formule est évidente Supposons la propriété établie au rang n et montrons-là au rang n + 1 Nous avons (cos(θ + i sin(θ n+1 = (cos(nθ + i sin(nθ (cos(θ + i sin(θ = cos(nθ cos(θ sin(nθ sin(θ +i (sin(nθ cos(θ + cos(nθ sin(θ }{{}}{{} =cos((n+1θ =sin((n+1θ = cos((n + 1θ + i sin((n + 1θ Ce qui achève la récurrence Par l étude précédente, si n Z \ N alors ( e iθ n = e inθ Donc, si n Z \ N alors, par le théorème précédent, on obtient 1 (e iθ n = ( e iθ n = e inθ = 1 e inθ Ce qui implique, par passage à l inverse, que si n Z \ N alors ( e iθ n = e inθ Théorème 11 Si z et z sont deux complexes alors e z+z = e z e z, e z = e z, n Z, (e z n = e nz, e z = e z k Z / z = z + iπk Preuve : On écrit z = a + ib et z = a + ib sous forme algébrique Nous avons e z+z = e a+a +i(b+b = e a+a (cos(b + b + i sin(b + b = e a+a ( cos(b cos(b sin(b sin(b + i ( sin(b cos(b + cos(b sin(b ( = (e a (cos(b + i sin(b e a (cos(b + i sin(b = e z e z Nous avons e z = e a+ib = e a (cos(b + i sin(b = e a (cos(b i sin(b = e a ib = e z 7

8 D après la formule de Moivre, on obtient (e z n = (e a (cos(b + i sin(b n = e an (cos(nb + i sin(nb = e an+inb = e nz Si e z = e z alors e a a = e i(b b = cos(b b + i sin(b b Ainsi, en identifiant partie réelle et partie imaginaire, on obtient que e a a = cos(b b et 0 = sin(b b Ainsi b b [π] et comme cos(b b = e a a > 0, on en déduit que b b [π] et que e a a = 1 Finalement, nous avons a = a et b b [π], c est-à-dire qu il existe k Z tel que z = z + iπk La réciproque est immédiate 4 Formules trigonométriques Les résultats de la partie précédente permettent d établir l ensemble des formules trigonométriques du formulaire Voici quelques exemples : Exemple 5 : D après les formules d Euler et la formule du binôme de Newton, ( e cos ix + e ix (x = = 1 4 ( e ix + e ix + = cos(x + 1 Exemple 6 : D après les formules d Euler et la formule du binôme de Newton, ( e sin 3 ix e ix 3 (x = = 1 ( e 3ix e 3ix 3e ix + 3e ix = 1 i 8i 4 sin(3x sin(x Exemple 7 : D après la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton, sin(x = Im(e ix = Im(cos(x+i sin(x = Im(cos (x sin (x+i sin(x cos(x = sin(x cos(x Exemple 8 : D après la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton, cos(3x = Re(e 3ix = Re(cos(x + i sin(x 3 = Re(cos 3 (x i sin 3 (x + 3i sin(x cos (x 3 sin (x cos(x = cos 3 (x 3 sin (x cos(x = cos 3 (x 3(1 cos (x cos(x = 4 cos 3 (x 3 cos(x Exemple 9 : D après les formules d Euler et la formule du binôme de Newton, cos(a cos(b = 1 4 (eia + e ia (e ib + e ib = 1 (cos(a + b + cos(a b Exemple 10 : D après les formules d Euler et la formule du binôme de Newton, ( p + q cos(p + cos(q = Re(e ip + e iq = Re(e i(p+q/ (e i(p q/ + e i(q p/ = cos cos ( p q Lemme 1 Soient x, y R x + y = 1 si, et seulement si, il existe θ R tel que x = cos(θ et y = sin(θ 8

9 Preuve : : Immédiat : 1 x 1 et il existe donc ϕ R tel que x = cos(ϕ Ainsi y = 1 cos (ϕ = sin (ϕ, c est-à-dire y = ± sin(ϕ Si y = sin(ϕ alors θ = ϕ convient Si y = sin(ϕ alors θ = ϕ convient Exemple 11 : Il est fondamental de savoir passer d une expression de la forme a cos(ωx + b sin(ωx à une expression de la forme A cos(ωx ϕ La méthode est la suivante : a On commence par chercher ϕ R tel que cos(ϕ = et sin(ϕ = b a +b a Un tel ϕ existe +b a toujours d après le Lemme 1 puisque x = et y = b vérifient a +b a +b x + y = 1 On écrit ensuite a cos(ωx + b sin(ωx = a + b (cos(ϕ cos(ωx + sin(ϕ sin(ωx On peut, à l aide de cette méthode, montrer que cos(x + sin(x = cos ( x π 4, 3 cos(x + sin(x = cos ( x π 6 = a + b cos(ωx ϕ 5 Forme trigonométrique d un complexe 51 Module d un complexe Définition G : Module d un complexe On appelle module d un complexe z = a + ib (avec a et b réels, le réel positif, noté z, défini par z = a + b On note U l ensemble des complexes de module 1 Exemple 1 : Nous avons e iθ = 1, 1 + i = et, pour tout θ R, e iθ U Théorème 13 Soit z C z = 0 si, et seulement si, z = 0 Preuve : : Si z = 0 alors a = Re(z = 0 et Im(z = b = 0 donc z = 0 : Si z = 0 alors a + b = 0 donc a = b = 0 et donc z = 0 Théorème 14 Pour tous z, z C z = zz = z zz = z z Si, de plus, z est non nul alors 1 = 1 z z 9

10 Preuve : On écrit z = a + ib et z = a + ib sous forme algébrique z = a + b = (a + ib(a ib = zz = zz = z zz = (a + ib(a + ib = aa bb + i(ba + ab = (aa bb + (ba + ab = (aa + (bb + (ba + (ab = (a + b (a + b = z z 1 = z = z zz z z = z = 1 z z 5 Argument d un complexe non nul Théorème 15 Pour tout z C, il existe un réel θ, unique à π près, tel que z = z e iθ Preuve : Existence : Posons Z = z alors Z = 1 Ainsi Z = a + ib avec z a + b = 1 Par le Lemme 1, il existe θ R tel que a = cos(θ et b = sin(θ Ainsi, z = z Z = z (a + ib = z (cos(θ + i sin(θ = z e iθ Unicité : Si z = z e iθ = z e iθ alors e iθ = e iθ puis e i(θ θ = 1 donc θ θ [π] Définition H : Argument et argument principal Soit z un complexe non nul Tout réel θ tel que z = z e iθ est appelé argument du complexe z Un tel élément est unique modulo π et se note arg(z L unique réel θ ] π, π] tel que z = z e iθ est appelé argument principal du complexe z et se note Arg(z Exemple 13 : arg(e iθ θ [π] et Arg(1 + i = π 4 Théorème 16 Soit z C arg(z 0 [π] si, et seulement si, z R + Preuve : : Si z R + alors z = z e i arg(z R + donc e i arg(z R + Ainsi cos(arg(z R + et sin(arg(z = 0 et on en déduit que arg(z 0 [π] : Si arg(z 0 [π] alors z = z donc z R + Théorème 17 Pour tous z, z C, arg(z arg(z [π], arg(zz arg(z + arg(z [π], arg( z arg(z + π [π], n Z, arg(z n n arg(z [π] 10

11 Preuve : Si z = z e iθ alors z = z e iθ donc arg(z arg(z [π] Si z = z e iθ et z = z e iθ alors zz = zz e iθ e iθ = zz e i(θ+θ donc arg(zz arg(z + arg(z [π] Si z = z e iθ alors z = z e iπ e iθ = z e i(π+θ donc arg( z arg(z + π [π] Si z = z e iθ et n Z alors z n = z n ( e iθ n = z n e iθn donc arg(z n n arg(z [π] 53 Forme trigonométrique d un complexe non nul Définition I : Forme trigonométrique Pour z C, l écriture z = z e i arg(z est appelée la forme trigonométrique du complexe z Théorème 18 Soit z C S il existe ρ > 0 et θ R tel que z = ρe iθ alors ρ = z et arg(z θ [π] Preuve : Nous avons bien évidement z = ρ e iθ = ρ = ρ Ainsi z = z e iθ donc par définition, cela signifie que arg(z θ [π] Exemple 14 : 1 + i = e i π 4 est écrit sous forme trigonométrique Exemple 15 : Si θ π [π] alors ( { 1 + e iθ = e iθ (e iθ iθ θ + e = cos e iθ cos ( iθ θ = e si cos ( θ > 0 cos ( iθ θ e +iπ si cos ( θ < 0 est écrit sous forme trigonométrique Exemple 16 : Si θ 0 [π] alors ( { 1 e iθ = e iθ (e iθ iθ θ e = i sin e iθ = est écrit sous forme trigonométrique sin ( iθ θ e + 3iπ iθ e sin ( θ si sin ( θ > 0 + iπ si sin ( θ < 0 Remarque I Les deux exemples précédents consistent en l astuce classique de factoriser par l angle moitié ( De manière générale, pour déterminer la forme trigonométrique de e iθ ± e iθ, on factorise par e i θ+θ 11

12 6 Inégalités triangulaires Théorème 19 : Inégalités triangulaires (z, z C, z z z + z z + z Il y a égalité dans la première inégalité si, et seulement si, les vecteurs d affixes z et z sont colinéaires et de sens opposé, c est-à-dire si z = 0 ou s il existe λ 0 tel que z = λz Il y a égalité dans la seconde inégalité si, et seulement si, les vecteurs d affixes z et z sont colinéaires et de mêmes sens, c est-à-dire si z = 0 ou s il existe λ 0 tel que z = λz Preuve : Remarquons que si Z = a + ib alors Z = a + b a a Ainsi, nous avons le résultat suivant Z C, Re(Z Z avec égalité si, et seulement si, Z est réel positif ( Par ailleurs, Ainsi, par (, nous obtenons z + z = (z + z (z + z = zz + z z + zz + z z = z + Re(z z + z z + z z + zz + z = z + z z + z = ( z + z Puis, en utilisant la croissance de la fonction racine carré, nous obtenons la seconde inégalité S il y a égalité dans l inégalité précédente alors z + z = ( z + z = z + zz + z = z + Re(zz + z Ainsi zz = zz = Re(zz Par (, on en déduit que zz = µ R + En multipliant par z, nous obtenons z z = µz Par conséquent z = 0 ou z = µ z z = λz avec λ R + Réciproquement, on vérifie que si z = 0 ou si z = λz avec λ R + alors z + z = z + z Pour obtenir la première inégalité, on applique la seconde à z + z et z On obtient C est-à-dire z z + z + z z z z + z Comme z et z jouent des rôles symétriques, on a également z z z + z S ensuit que z z z + z S il y a égalité dans l inégalité précédente alors z z = ( z + z = z zz + z = z + Re(zz + z Ainsi zz = zz = Re( zz Par (, on en déduit que zz = µ R + En multipliant par z, nous obtenons z z = µz Par conséquent z = 0 ou z = µ z z = λz avec λ R Réciproquement, on vérifie que si z = 0 ou si z = λz avec λ R alors z + z = z z 7 Résolutions d équations 71 Racines n-ièmes de l unité L objectif de cette partie est de résoudre l équation z n = 1 où n N est un entier fixé 1

13 Définition J : Racine n-ième de l unité Tout complexe z vérifiant z n = 1 est appelé racine n-ième de l unité On note U n l ensemble des racines n-ièmes de l unité Théorème 0 Soit n N L équation z n = 1 possède n solutions complexes distinctes données par z k = e iπk n pour k [0, n 1] Autrement dit, U n est constitué de n éléments et nous pouvons écrire U n en extension de la façon suivante : } U n = {e iπk n / k [0, n 1] Preuve : Si z vérifie z n = 1 alors z n = 1 Or l équation x n = 1 possède une unique solution dans R + qui est x = 1 (pour s en convaincre, il suffit d écrire que x n 1 = (x 1 (1 + x + + x n 1 Ainsi, on en déduit que z = 1 Il existe donc }{{} >0 θ [0, π[ tel que z = e iθ Or z n = 1 donc e inθ = e 0 On en déduit qu il existe k Z tel que inθ = iπk, c est-à-dire θ = πk iπk Comme 0 θ < π alors 0 k < n puis 0 k n 1 Par conséquent, z = e n n avec k [[0, n 1]] Réciproquement, d après la formule de Moivre, nous avons (e iπk n n = e iπk = cos(πk + i sin(πk = 1 Ce qui signifie que z = e iπk n est solution de z n = 1 On a donc prouvé que } U n = {e iπk n / k [[0; n 1]] Il reste à prouver que U n possède bien n éléments On sait que e z = e z z = z + iπj Ainsi, s il existe k [[0, n 1]] et k [[0, n 1]] vérifiant e iπk n = e iπk n si, et seulement si, il existe j Z tel que alors il existe j Z tel que iπk n = iπk n puis k n = k n + j ou encore k k = nj Or k k { (n 1,, (n 1} donc j = 0 puis, nécessairement, k = k + iπj Remarque II Pour k [0, n 1], on note alors z k = e iπk n la k-ème racine n-ième de l unité Exemple 17 : 13

14 Théorème 1 Soit n N n n 1 z k = 0 et n 1 k=0 n 1 k=0 z k = ( 1 n 1 Preuve : Nous avons puis n 1 n 1 z k = e iπk n = k=0 n 1 k=0 k=0 n 1 k=0 ( (e iπ k 1 n = e iπ n 1 e iπ n n = 0 z k = e iπ n n 1 k=0 k = e iπn(n 1 n = e iπ(n 1 = ( 1 n 1 Remarque III La première racine 3 e de l unité se note j Il est important de retenir que j 3 = 1, j = j et 1+j+j = 0 7 Racines n-ièmes d un complexe Soit Z C, l objectif de cette partie est de résoudre les équations de types z n = Z où n N Théorème L équation z n = Z possède n solutions distinctes Si Z = ρe iθ est écrit sous forme trigonométrique alors l ensemble des solutions est donné par { } iθ iπk n ρe n e n / k [0, n 1] Preuve : Posons z 0 = n ρe iθ n qui vérifie z n 0 = Z Alors, nous avons ( n z n = Z z n = z0 n z = 1 z U n z z 0U n z 0 z 0 14

15 Exemple 18 : Pour θ R, l ensemble des solutions complexes de z 3 = e iθ est donné par S = {e iθ 3, je iθ 3, j e iθ 3 } Remarque IV Pour résoudre z n = Z, il faut écrire Z sous forme trigonométrique ce qui peut s avérer être délicat Dans le cas où n =, il est relativement aisé de trouver les racines carrées d un complexe Z (autrement dit les complexes z vérifiant z = Z, où Z est écrit sous forme algébrique Pour cela, on écrit z = a+ib, on remplace dans l équation et on identifie partie réelle, partie imaginaire et module Exemple 19 : Résolvons z = 3 + 4i D après le théorème précédent, cette équation admet deux solutions complexes z = a+ib C vérifie z = 3+4i si, et seulement si, a b = 3 (identification des parties réelles, ab = (identification des parties imaginaires et a + b = 5 (identification des modules si, et seulement si, a = 4, b = 1 et ab = Par conséquent S = { + i, i} Remarque V Il est interdit d écrire z, 3 z ou encore n z si z est un complexe 73 Équations du second degré Théorème 3 Soient a, b, c trois complexes avec a non nul Posons = b 4ac Si = 0 alors l équation az +bz +c = 0 admet une unique racine double donnée par z = b a Sinon 0 et l équation az + bz + c = 0 admet deux racines distinctes En notant δ 0 et δ 1 les deux racines carrées complexes de, les solutions de l équation sont données par z 0 = b + δ 0 a et z 1 = b + δ 1 a Preuve : On écrit ( az + bz + c = a z + b b 4ac a 4a ( = a z + b a 4a Si = 0, alors az + bz + c = 0 si, et seulement si, a ( z + b a = 0 si, et seulement si, z = b Sinon 0 Dans ce cas, az + bz + c = 0 si, et seulement si, 4a ( z + b a ou δ 1 si, et seulement si, z = b+δ 0 a ou z = b+δ 1 a = si, et seulement si, a ( z + b a = δ0 a Remarque VI Si a, b et c sont réels alors on retrouve les formules vues en terminal puisque les racines carrées complexes de t, où t R +, sont données par ±i t Exemple 0 : Résolvons z 3z i = 0 Le discriminant de cette équation vaut = 3 + 4i 0 : l équation possède donc deux solutions complexes distinctes 15

16 possède + i et i pour racines carrées complexes (cf exemple précédent On en déduit que { i S =, + } 3 i Corollaire 4 Soient a, b, c trois complexes avec a non nul En notant S et P respectivement la somme et le produit des racines (comptées avec multiplicité de l équation az + bz + c = 0, nous avons S = b a et P = c a Preuve : Si = 0 alors S = b b = b b et P = = 4c + = c a a a 4a 4a 4a a Sinon, 0 Comme les deux racines carrées d une complexe sont opposés, les deux racines carrées complexes de, notées δ 0 et δ 1, vérifient δ 0 + δ 1 = 0 et δ 0 δ 1 = Ainsi b + δ0 b + δ1 S = + = b a a a et ( b + δ0 P = a ( b + δ1 a = b 4a 4a = c a Exemple 1 : Résoudre le système somme-produit, d inconnues (x, y C, { x + y = 3 xy = i (x, y est solution du système précédent si, et seulement si, x et y sont les racines de z 3z i = 0 D après l exemple précédent, {( i S =, + ( 3 i + 3 i,, + } 3 + i 74 Surjectivité de l exponentielle complexe L objectif de cette partie est de résoudre l équation e z = a où a est un complexe non nul fixé Théorème 5 Soit a C L équation e z = a possède une infinité de solutions Si a = ρe iθ est écrit sous forme trigonométrique alors l ensemble des solutions est donné par {ln(ρ + i(θ + πk / k Z} Preuve : Soit z C S il existe k Z tel que z = ln(ρ + i(θ + πk alors e z = a Réciproquement, supposons e z = a On écrit z = Re(z + i Im(z sous forme algébrique Par identification des modules, nous obtenons e z = e Re(z = ρ, c est-à-dire Re(z = ln(ρ En remplaçant dans e z = a, nous obtenons e i Im(z = e iθ et par conséquent il existe k Z tel que Im(z = θ + πk Ainsi, il existe bien k Z tel que z = ln(ρ + i(θ + πk 16

17 Exemple : Résoudre l équation e z = + + i d inconnue z C = + et sin ( π 8 Un calcul, laissé en exercice, permet de montrer que cos ( π 8 Par conséquent, + + i = e i π 8 Le théorème précédent permet d affirmer que { S = ln( + i ( π 8 + πk } / k Z = 8 Nombres complexes et géométrie plane 81 Vision géométrique du module et de l argument d un complexe Théorème 6 Soient a, b C Si A et B sont deux points du plan complexe d affixes respectives a et b alors AB = a b Preuve : a b = Re(a b + i Im(a b D après le théorème de Pythagore, AB = Re(a b + Im(a b = a b D où le résultat en passant à la racine carrée Théorème 7 Soient a, b, c, d C Si A, B, C, D, sont quatre points du plan complexe d affixes respectives a, b, c, et d alors ( AB, ( d c CD arg [π] b a Preuve : Nous avons que ( AB, CD = ( i, CD ( i, AB Posons θ ( i, CD [π] Par les formules de trigonométrie dans un triangle, cos(θ = Re(d c Donc e iθ = d c ou encore CD CDeiθ = d c Ainsi, arg(d c θ [π] ( i, CD [π] De même, nous avons arg(b a ( i, AB [π] Ainsi ( AB, ( CD arg(d c arg(b a [π] arg d c b a [π] CD et sin(θ = Im(d c CD Exemple 3 : Soient A, B et M trois points distincts du plan complexe d affixes respectives a, b et m A, B et M sont alignés si, et seulement si, m a m b R (AM et (BM sont orthogonales si, et seulement si, m a m b ir 8 Transformations géométriques dans le plan complexe Définition K : Similitude directe Soit (a, b C C L application est appelée une similitude directe f a,b : C C z az + b 17

18 Définition L : Translation Si a = 1 alors f a,b est la translation de vecteur u (b Remarque VII Si a 1 alors on peut écrire z C, f a,b (z b ( 1 a = a z b 1 a ( et le point Ω b 1 a est l unique point fixe de f a,b Définition M : Homothétie ( Si a R \ {1} alors f a,b est l homothétie de centre Ω b 1 a et de rapport a Si a = 1 et b = 0 alors f a,b est l homothétie de centre Ω(0 et de rapport 1 Définition N : Rotation ( Si a = e iθ avec θ R \ πz alors f a,b est la rotation de centre Ω b 1 a Si a = 1 et b = 0 alors f a,b est la rotation de centre Ω(0 et d angle 0 et d angle θ Exemple 4 : z z + désigne la translation de vecteur u ( z 1 + e i π 8 (z + 1 désigne la rotation d angle π 8 et de centre Ω( 1 z 1 (z 1 désigne l homothétie de rapport et de centre Ω(1 z 4 1(z 4 désigne à la fois l homothétie de rapport 1 et de centre Ω(4 et la rotation d angle π et de centre Ω(4 Dans ce cas, on parle également de symétrie centrale de centre Ω(4 Théorème 8 Toute similitude directe est soit une translation, soit la composée d une rotation et d une homothétie de rapport strictement positif qui commutent Cela signifie que si f est une similitude directe qui n est pas une translation alors il existe h une homothétie de rapport strictement positif, r une rotation vérifiant h et r possèdent le même centre, z C, h(r(z = r(h(z = f(z De plus, la décomposition précédente est unique 18

19 Preuve : Si a = 1 alors f a,b est une translation Sinon, on peut écrire z C, f a,b (z = b ( 1 a + a z b 1 a Procédons par analyse-synthèse Analyse : Supposons donnée une telle décomposition En notant z Ω le centre commun de h et r, nous avons f(z Ω = h(r(z Ω = h(z Ω = z Ω Ainsi z Ω est point fixe pour f et, nécessairement, z Ω = b 1 a De plus, si l on note ρ le rapport de h et θ l angle de r alors, pour tout z C, ( h(r(z = z b 1 a + ρeiθ b 1 a Comme, pour tout z C, f(z = h(r(z alors, nécessairement, ρe iθ = a Ainsi ρ = a et θ = Arg(a ( Synthèse : Écrivons a = ρe iθ sous forme trigonométrique On pose, pour z C, h(z = b + ρ z b et 1 a 1 a ( ( r(z = b + 1 a eiθ z b b r est la rotation d angle θ et de centre Ω h est l homothétie de rapport ρ > 0 et de 1 a 1 a ( b centre Ω 1 a De plus, pour tout z C, h(r(z = b ( 1 a + ρ g(z b = b ( 1 a 1 a + ρeiθ z b = f(z 1 a Et, pour tout z C, r(h(z = b ( 1 a + eiθ h(z b = b ( 1 a 1 a + ρeiθ z b = f(z 1 a Définition O : Éléménts caractéristiques d une similitude directe Si f est une similitude directe qui n est pas une translation alors on appelle éléments caractéristiques de f le triplet (z Ω, ρ, θ où z Ω désigne l affixe du centre commun de la rotation et de l homothétie, ρ le rapport de l homothétie et θ l angle de la rotation Dans ce cas, nous avons z C, f(z = z Ω + ρe iθ (z z Ω Remarque VIII Si f a,b est une similitude directe qui n est pas une translation alors z Ω est l unique solution de z = f(z, ρ = a et θ = Arg(a Exemple 5 : L application z (1 + iz + + i est une similitude directe dont les éléments caractéristiques sont ( + i,, π 4 Théorème 9 L application z z est la symétrie orthogonale par rapport à l axe des abscisses Plus généralement, pour θ 0 [0, π[, l application z e iθ 0 z correspond à la symétrie orthogonale d axe la droite issue de O et faisant un angle θ 0 avec l axe (O, i Preuve : Admise pour le moment 19

20 Remarque IX Si (a, b C C alors l application f a,b : C C z az + b est appelée une similitude indirecte 0