Chapitre XVI : Nombres Complexes II

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre XVI : Nombres Complexes II"

Transcription

1 Chapitre XVI : Nombres Complexes II Dans tout ce chapitre on se place dans le plan complexe dont on donne un repère (O, u, v). I : Forme trigonométrique I-1 : Module et argument Définition 1 : Pour tout nombre complexe z non nul, on considère M le point du plan complexe le représentant. Le module de z est la distance OM. Il se note. Un argument de z est une mesure de l angle ( u; OM). Il peut se noter ar g (z) (il s entend alors à kπ près). On a alors si la forme algébrique de z est z = a + i b (a et b deux réels) : = a + b Tout réel θ qui vérifie à la fois cos(θ) = a b et sin(θ) = est un argument de z Pour tout argument de z : z = (cos(ar g (z)ar g (z))) Remarques : Les formules cos(θ) = a b et sin(θ) = s utilisent ensemble quand il s agit de déterminer un argument d un nombre complexe! Le cosinus ou le sinus seuls ne suffisent pas car deux points très différents du cercle trigonométrique peuvent avoir même sinus ou même cosinus. Pour tout nombre réel x sa forme algébrique est x = x + i 0 et son module est donc x = x + 0 = x, c est à dire sa valeur absolue, d où la cohérence de la notation. Exemple 1 : Déterminer le module et un argument du nombre complexe z = + i. On a = + = 8 = =. Tout θ vérifiant les deux relations suivantes est un argument de z : cos(θ) = = et sin(θ) = = 1. Ceci fonctionne avec θ = 3π, qui est donc un argument de z. Théorème 1 (forme trigonométrique) : Pour tout nombre complexe z non nul une forme trigonométrique est une écriture de la forme z = r (cos(θθ)), avec r un réel strictement positif et θ un réel. Pour toute forme trigonométrique z = r (cos(θ)+i sin(θ)), r est alors le module de z et θ est un argument de z. http :jolimz.free.fr Page 1/ 6 J.L

2 Remarques : Ce théorème implique en particulier que pour que deux formes trigonométriques soient égales il faut l égalité du réel r et l égalité à kπ près du réel θ. Il faut faire attention à ce que les conditions soient bien vérifiées! z = (cos( π )+i sin( π )), z = (cos( π ) i sin( π )) ou z = (cos( π π 3 )) ne sont pas des formes trigonométriques! Exemple : Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes z 1 = 3 i, z = ln(5)(cos( 3π 7 )+i sin( 3π 7 )), z 3 = 3(cos( 5π 3 5π 3 )) et z = 7(cos( π 6 ) i sin( π 6 )). Rédaction 1 : 3 On a z 1 = + ( 1) = = Tout θ vérifiant les deux relations suivantes est un argument de z : cos(θ) = 3 1 et sin(θ) =. Ceci fonctionne avec θ = π 6, qui est donc un argument de z 1. z 1 a donc pour forme trigonométrique z 1 = (cos( π π 6 6 )) Rédaction : (probablement après un travail au brouillon) z 1 = 3 i = ( 3 + i 1 π π ) = (cos( 6 6 )). z = ln(5)(cos( 3π 7 3π 7 )) est déjà une forme trigonométrique car 5 > 1 donc ln(5) > 0. z 3 = 3(cos( 5π 3 5π 3 )) = 3( cos( 5π 3 ) + i ( sin( 5π 3 ))) (A) On cherche ici la formule qui inverse à la fois le sinus et le cosinus : cos( 5π 3 ) = cos(π + 5π 3 ) = cos( 8π 3 ) et sin( 5π 3 ) = sin(π + 5π 3 ) = sin( 8π 3 ) On applique ceci à (A) pour obtenir une forme trigonométrique : z 3 = 3(cos( 8π 3 8π 3 )) z = 7(cos( π 6 ) i sin( π 6 )) De la même manière on utilise une formule qui n inverse que le sinus : cos( π 6 ) = cos( π 6 ) et sin( π 6 ) = sin( π 6 ) On a ainsi z = 7(cos( π 6 ) i sin( π 6 )) = 7(cos( π π 6 6 )). http :jolimz.free.fr Page / 6 J.L

3 Théorème : On considère trois points du plan A,B et C d affixes respectives z A, z B, z C. On a alors : z B z A = AB Tout argument de (z B z A ) est une mesure de ( u; AB) Tout argument de z B z A z C z est une mesure de ( AC ; AB) A Exemple 3 (recherche de lieu I) : Déterminer l ensemble des points M dont l affixe z vérifie z + 3 i = z + i. La relation z + 3 i = z + i équivaut à z (3 i ) = z ( i ). Nous posons donc A le point d affixe z A = 3 i et B d affixe z B = i. La relation z +3 i = z +i équivaut donc à z z A = z z B donc à M A = MB. L ensemble des points M vérifiant cette relation est donc la médiatrice de [AB]. Exemple : On considère les points A et B d affixes respectives z A = et z B = (cos( π 3 π 3 )). Démontrer que O AB est un triangle isocèle puis équilatéral. On calcule O A = z A z O = 0 = et OB = z B z O = z B = (l écriture de z B est une forme trigonométrique). Ainsi O A = OB donc O AB est isocèle de base AB. On cherche une mesure de ( O A; OB) qui est un argument de z B z O z A z = (cos( π 3 )+i sin( π 3 )) O = cos( π 3 )+i sin( π 3 ). Une mesure de ( O A; OB) est donc π 3. O AB étant isocèle c est donc un triangle équilatéral. II : Propriétés du module et de l argument Théorème 3 : Pour tout nombre complexe z non nul : zz = z est un réel si est seulement si 0 ou π en est un argument. z est un imaginaire pur si et seulement si π ou π en est un argument. Exemple 5 (recherche de lieu II) : Déterminer l ensemble des points M dont l affixe z vérifie = z. On a = z zz = z zz z = 0 z(z z) = 0 (A) On considère l écriture algébrique de z : z = x + i y avec x et y deux réels. D après (A) on a donc = z z = 0 ou x i y (x + i y) = 0 z = 0 ou y = 0. L ensemble des points M dont l affixe vérifie cette relation est l axe des ordonnées. Théorème : Pour tout nombre complexe z non nul : = θ est un argument de z si et seulement si son opposé θ est un argument de z. θ est un argument de z si et seulement si π + θ est un argument de z. Exemple 6 (recherche de lieu III) : Déterminer l ensemble des points M dont l affixe z vérifie z i =. On a z i = z + 1 i = z + 1 i = z ( 1 + i ) = On pose A le point d affixe z A = 1 + i. On a alors d après la ligne précédente z i = AM = L ensemble des points M vérifiant cette relation est le cercle de centre A et de rayon. Exemple 7 (recherche de lieu IV) : Déterminer l ensemble des points M dont l affixe z vérifie arg(z + i ) = π + kπ, avec k Z. On a pour tout k Z : arg(z + i ) = π + kπ arg(z i ) = π + kπ arg(z i ) = π + kπ arg(z i ) = π kπ On pose A le point d affixe z A = i. On a alors d après la ligne précédente arg(z + i ) = π + kπ arg(z z A ) = π kπ ( u; AM) = π kπ. L ensemble des points M vérifiant cette relation est La demi droite [AO), privée de A. http :jolimz.free.fr Page 3/ 6 J.L

4 On considère a et b deux réels. cos(a + b) = cos a cosb sin a sinb cos(a b) = cos a cosb + sin a sinb sin(a + b) = sin a cosb + cos a sinb sin(a b) = sin a cosb cos a sinb cosa = cos a sin a sina = cos a sin a cosa = cos a 1 = 1 sin a Théorème 5 (rappels) : Exemple 8 : Déterminer la valeur exacte de sin( π 1 ) On a sin( π π 1 ) = sin( 1 3π 1 ) = sin( π 3 π ) = sin( π 3 )cos( π ) cos( π 3 )sin( π ) = = Théorème 6 (propriétés algébriques) : On considère z 1 et z deux nombres complexes, et n un entier naturel non nul : z 1 z = z 1 z et arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) + kπ avec k Z. z1 n = z 1 n et arg(z1 n) = narg(z 1) + kπ avec k Z. 1 z 1 = 1 z 1 et arg( 1 z 1 ) = arg(z 1 ) + kπ avec k Z. z 1 z = z 1 z et arg( z 1 z ) = arg(z 1 ) arg(z ) + kπ avec k Z. Démonstration : On considère deux formes trigonométriques avec θ 1 un argument de z 1 et θ un argument de z : z 1 = z 1 (cos(θ 1 θ 1 )) et z = z (cos(θ θ )). On a alors z 1 z = z 1 (cos(θ 1 θ 1 )) z (cos(θ θ )) = z 1 z ((cos(θ 1 θ 1 )) (cos(θ θ ))) On développe dans la parenthèse : z 1 z = z 1 z (cos(θ 1 )cos(θ ) + (cos(θ 1 )i sin(θ θ 1 )i sin(θ θ 1 )cos(θ )) On sépare entre partie réelle et partie imaginaire dans la parenthèse : z 1 z = z 1 z (cos(θ 1 )cos(θ ) sin(θ 1 )sin(θ ) + i ((cos(θ 1 )sin(θ ) + sin(θ 1 )cos(θ ))) On reconnait les formules de trigonométrie : z 1 z = z 1 z (cos(θ 1 + θ θ 1 + θ )) C est une forme trigonométrique, le module de z 1 z est donc z 1 z et θ 1 + θ en est un argument. Pour tout entier naturel n non nul on note P(n) la propriété : "Pour tout nombre complexe z 1 on a z n 1 = z 1 n et arg(z n 1 ) = narg(z 1) + kπ avec k Z." Initialisation On a z 1 1 = z 1 donc z 1 1 = z 1 1 et arg(z 1 1 ) = 1 arg(z 1) + kπ avec k Z. Donc P(1) est vérifiée. Hérédité On suppose que pour un entier naturel n non nul on a P(n) vérifiée. On a donc que pour tout nombre complexe z 1 : z n 1 = z 1 n (A) et arg(z n 1 ) = narg(z 1)+kπ avec k Z (B). On a alors z n+1 1 = z n 1 z 1. On applique alors le point précédent du théorème que nous venons de démontrer : z1 n+1 = z1 n z 1 = z 1 n z 1 = z 1 n+1 en utilisant (A). La partie concernant le module dans Pn + 1 est donc vérifiée. Pour l argument on procède de même : arg(z1 n+1 ) = arg(z1 n z 1). On applique alors de nouveau le point précédent du théorème : arg(z1 n+1 ) = arg(z1 n) + arg(z 1) = narg(z 1 ) + kπ + arg(z 1 ) = (n + 1)arg(z 1 ) + kπ avec k Z en utilisant (B). La partie concernant l argument dans Pn + 1 est donc vérifiée. Nous pouvons ainsi conclure par récurrence que pour tout entier naturel n non nul la propriété P(n) est vérifiée. On considère z 1 qui a le même module que z 1 et pour argument son opposé. Il a donc pour forme http :jolimz.free.fr Page / 6 J.L

5 trigonométrique z 1 = z 1 (cos( arg(z 1 ) arg(z 1 ))) (A) Nous avons ensuite 1 z 1 = 1 z 1 z 1 z 1 = z 1 z 1. Ceci donne avec (A) : 1 z 1 = z 1 (cos( arg(z 1 ))+i sin( arg(z 1 ))) = 1 z 1 z 1 (cos( arg(z 1) arg(z 1 ))). C est une forme trigonométrique de 1 z 1, dont le module est donc 1 z 1. Par ailleurs arg(z 1) en est donc un argument. Pour démontrer ce point on combine le point précédent avec le premier. Remarque (fondamentale) : Le premier point du théorème 6 indique que multiplier des complexes de points images M 1 et M, c est multiplier les distances OM 1 et OM et... additionner les angles ( u; OM 1 ) et ( u; OM ). On retiendra l idée principale suivante : pour des complexes, multiplier c est tourner autour de O. Exemple 9 : On donne z 1 = 3 3i et z = 1 i. Déterminer le module et un argument de z 1, z, z 1 z et z 0 1. z 1 = 3 3i = 3( 1 i 3 ) = 3(cos( π π 3 3 )). On a donc z 1 = π 3 et est un argument de z z = 1 i = ( i ) = (cos( 3π 3π )). On a donc z = 3π et est un argument de z. 3. On a z 1 z = z 1 z = 6. Ensuite arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) + kπ = π 3 + 3π 13π + kπ = 1 + kπ avec k Z. 13π est donc un argument de z 1 z. Nous aurions pu citer 11π 1 1 pour donner une mesure principale (en rajoutant π).. On a z 0 = z 0 = 0 = 10 Ensuite arg(z 0 ) = 0arg(z ) + kπ = 15π + kπ avec k Z. π est donc un argument de z. Théorème 7 (inégalité triangulaire) : Pour tous complexes z 1 et z on a z 1 + z z 1 + z. Remarque Comme la racine carrée, le module n est pas directement compatible avec l addition, et écrire l égalité entre z 1 + z et z 1 + z est dans l immense majorité des cas une erreur aussi grossière que d écrire une égalité entre x 1 + x et x 1 + x. III : Forme exponentielle On observe que d après le théorème 6 l argument a les mêmes propriétés algébriques que la fonction exponentielle. Une explication propre du lien entre l exponentielle complexe et la fonction exponentielle déjà rencontrée comme fonction d une variable réelle est largement hors de notre portée en terminale, nous devons y voir une manière sensée et pratique d effectuer des opérations impliquant l argument. Définition : Pour tout réel θ on note e iθ = cos(θθ). Tout nombre complexe z non nul admet ainsi des écritures sous forme exponentielle, du type z = r e iθ avec r un réel positif et θ réel. r est alors le module de z et θ en est un argument (comme pour la forme trigonométrique). Exemple 10 (identité d Euler) : On a ainsi e iπ + 1 = 0. Une formule classique considérée par beaucoup comme un exemple de beauté mathématique. On pourra ainsi observer qu on y trouve cinq nombres très importants, et les trois opérations fondamentales. http :jolimz.free.fr Page 5/ 6 J.L

6 Exemple 11 : Donner trois écritures différentes du nombre complexe solution de l équation i z 3 = z. 1. On résout d abord l équation : i z 3 = z i z z = 3 z(i 1) = 3 z = 3 i 1 On peut déjà mettre ce nombre sous forme algébrique : z = 3(i+1) (i 1)(i+1) = 3i+3 i 1 = 3 + i ( 3 ).. On cherche maintenant le module et l argument de z, en le mettant sous forme trigonométrique (après un travail au brouillon) : z = 3 + i ( 3 ) = 3 ( + i ( )) = 3 (cos( 3π 3π ) 3. On en déduit alors la forme exponentielle : z = 3 (cos( 3π 3π ) = 3 e 3iπ On considère r 1 et r deux réels positifs, θ 1 et θ deux réels, et n un entier naturel non nul : r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i (θ 1+θ ) (r 1 e iθ 1 ) n = r1 nen iθ 1. 1 r 1 e = 1 iθ 1 r 1 e iθ 1. r 1e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i (θ 1 θ ). Théorème 8 (propriétés algébriques) : Remarques : La forme exponentielle fournit une manière beaucoup plus efficace d énoncer les mêmes propriétés que nous avions rencontrées avec la forme trigonométrique. C est à cela que ça sert! Dès qu on a le choix dans des exercices de calcul, la forme exponentielle sera la plus pratique à utiliser pour appliquer ce type de formules. On appelle formule de Moivre une partie de ce théorème : (e iθ 1 ) n = e n iθ 1. Exemple 1 : Démontrer que (1 + i ) 1000 est un réel. On a : 1 + i = ( + i ) = (cos π + i sin π ) = e i π. On a donc (1 + i ) 1000 = ( e i π ) 1000 = 1000 e 1000 i π = 1000 e i 50π = 1000 e i 15 π Un argument de (1+i) 1000 est donc 0+15 π. 0 est donc aussi un argument de (1+i) 1000 qui est donc un réel. Théorème 9 (Formule d Euler) : Pour tout réel θ on a cos(θ) = eiθ +e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ i Remarque : Cette formule est très précieuse pour transformer une écriture comme (sin(x)) 3. Il ne reste alors qu à développer le numérateur obtenu et à repasser par la formule d Euler dans l autre sens pour retrouver des sinus et des cosinus. Une application classique est de trouver une primitive de ce type de fonction. Exercice (un peu difficile) : Démontrer la formule d Euler. http :jolimz.free.fr Page 6/ 6 J.L

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Cours de mathématiques Première année. Exo7

Cours de mathématiques Première année. Exo7 Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Maple: premiers calculs et premières applications

Maple: premiers calculs et premières applications TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent

Plus en détail

Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles) 1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre

Plus en détail

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

21 mars 2012. Simulations et Méthodes de Monte Carlo. DADI Charles-Abner. Objectifs et intérêt de ce T.E.R. Générer l'aléatoire.

21 mars 2012. Simulations et Méthodes de Monte Carlo. DADI Charles-Abner. Objectifs et intérêt de ce T.E.R. Générer l'aléatoire. de 21 mars 2012 () 21 mars 2012 1 / 6 de 1 2 3 4 5 () 21 mars 2012 2 / 6 1 de 2 3 4 5 () 21 mars 2012 3 / 6 1 2 de 3 4 5 () 21 mars 2012 4 / 6 1 2 de 3 4 de 5 () 21 mars 2012 5 / 6 de 1 2 3 4 5 () 21 mars

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE (18 points)

PARTIE NUMERIQUE (18 points) 4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail