CHAPITRE 7 NOMBRES COMPLEXES 1) INTRODUCTION. 1.1) Définitions. 1.2) Exemples. Le nombre i est défini par l égalité i 2 = 1.
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- Angèline St-Laurent
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1 CHAPITRE 7 NOMBRES COMPLEXES 1) INTRODUCTION 1.1) Définitions Le nombre i est défini par l égalité i 2 = 1. On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a + b i, où a et b sont deux réels. On note C l ensemble des nombres complexes. On a alors : N Z D Q R C. On pose z = a + i b, qui est l écriture (ou forme algébrique) du nombre complexe. Nous avons alors les définitions suivantes : a est la partie réelle de z : a = Re(z) b est la partie imaginaire de z : b = Im(z) Si b = 0, alors z est un réel, et si a = 0, on peut dire que z est un imaginaire pur. Deux nombres complexes sont égaux lorsqu ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. 1.2) Exemples On a les exemples ci-dessous : Re 3 + 4i = 3 Im 3 + 4i = 4 z + z = a + ib + a + ib = a + a + i (b + b ) z z = a + ib a + ib = a a + i a b + a b
2 2 + 7i 1 + 3i = i 2 + i 5 i = i 2i + 1 = i 2 + i 3 = 8 i + 12i 6 = i 1 = 2+3i 4 5i 1+i = 2 3i = 2 3i = 2 3 i 2+3i 2 3i i 4 5i = 4 5i 4i 5 = 1 9 i 1+i 1 i Résoudre : 2 + i z + 4 i = 0 On obtient : z = 2 + i z = 4 + i z = 4 + i 2 + i 4 + i 2 i 2 + i 2 i z = i 2) MODULE 2.1) Conjugué On a la définition suivante : soit z = a + i b. On appelle conjugué de z et on note z le nombre complexe z = a ib. Ainsi, on a : a + ib = a ib 1 = 1 i = i 5 7i = 5 + 7i z = z Nous pouvons énoncer quelques propriétés associées au conjugué :
3 z + z = z + z z z = z z z n = z n avec n entier naturel z = z z z avec z 0 Les démonstrations des propriétés sont faites en écrivant z = a + ib et z = a + ib et en réalisant les calculs progressivement. Nous avons également les propriétés suivantes : Re z = 1 z + z 2 Im z = 1 z z 2i On en déduit que z est un réel si et seulement si z = z. De même, on peut dire que z est un imaginaire pur si et seulement si z = z. 2.2) Module On a la définition suivante : Soit z = a + ib. On appelle module de z et on note z le nombre défini par z = a 2 + b 2. On peut noter que le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Voici quelques exemples de modules : 1 + i = 2 2 3i = 13 i = 1 3i = 3 7 = 7 4 = 4 On a les propriétés suivantes : z = 0 si et seulement si z = 0
4 z = z z 2 = z z z = z z Nous pouvons définir le théorème suivant : Soient z et z deux nombres complexes. On a alors les égalités suivantes : z z = z z z n = z n avec n entier naturel z = z z z avec z 0 Attention ici : z + z z + z car 1 2 = 1 = 1 3 = ) REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES Le plan est rapporté au repère orthonormé O ;u ; v. C est le plan complexe. À tout nombre complexe z avec z = x + iy on associe le point M de coordonnées x ; y. On dit alors que M est le point image de z, et que z est l affixe de M. On note alors M(z). M(z) et M 1 (z) sont symétriques par rapport à l axe des réels. M(z) et M 2 ( z) sont symétriques par rapport à l origine. M(z) et M 3 ( z) sont symétriques par rapport à l axe des imaginaires. M 4 (iz) est l image de M(z) par la rotation de centre O et d angle π 2. On a la distance OM = x 2 + y 2 = z.
5 De plus, pour A(z A ) et B(z B ), on a z A z B qui est l affixe du vecteur AB. De même, la distance AB = z B z A. Pour I milieu de AB, on a les coordonnées de I qui valent x A +x B 2 ; y A +y B 2 et l affixe de I qui vaut z I = 1 2 z A + z B. 3) FORME TRIGONOMETRIQUE 4) 4.1) Définitions Le plan est rapporté au repère orthonormé O ;u ; v. Soit M(z) avec z = x + iy. On a alors : x ; y sont les coordonnées cartésiennes de M ; r ; θ sont les coordonnées polaires de M avec r = OM et θ = u ; OM 2π. On a alors : r = x 2 + y 2 = z cos θ = x et sin θ = y d où x = r cos θ et y = r sin θ r r On peut ainsi écrire z sous sa forme trigonométrique : z = r cos θ + i sin θ On appelle θ argument de z. On note alors : arg z = θ 2π. Il faut noter que 0 n a pas de forme trigonométrique.
6 4.2) Produit de nombres complexes écrits sous forme trigonométrique Soient deux nombres complexes z = r cos θ + i sin θ et z = r cos θ + i sin θ. Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous leur forme trigonométrique, on multiplie les modules et on ajoute les arguments. Ainsi, on a : z z = r r cos θ + θ + i sin θ + θ De plus, on peut écrire : arg z z = arg z + arg z 2π De manière plus générale, on peut écrire la formule de Moivre : z n = r cos θ + i sin θ n = r n cos n θ + i sin n θ 4.3) Quotient de nombres complexes écrits sous forme trigonométrique Soient deux nombres complexes z = r cos θ + i sin θ et z = r cos θ + i sin θ. Pour diviser deux nombres complexes écrits sous leur forme trigonométrique, on divise les modules et on soustrait les arguments. Ainsi, on a : z z = r cos θ θ + i sin θ θ r
7 De plus, on peut écrire : arg z = arg z arg z 2π z 5) FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE Soit f la fonction définie par f θ = cos θ + i sin θ. Cette fonction est définie de R dans C. On a alors : f 0 = 1 et f θ = sin θ + i cos θ = i f(θ) On pose donc : e iθ = cos θ + i sin θ, et on peut établir les 3 écritures suivantes : z = a + i b : forme algébrique z = r cos θ + i sin θ : forme trigonométrique z = r e iθ : forme exponentielle Dans tous les cas, r est toujours positif. Nous pouvons alors écrire quelques propriétés : z = e iθ est un nombre complexe de module égal à 1 arg e iθ = θ 2π e iθ e iθ i θ+θ = e e iθ i θ θ e iθ = e e iθ = e iθ 6) UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE
8 6.1) Interprétation de la multiplication par un nombre complexe de module égal à 1 On peut dire que la multiplication par e iθ correspond à une rotation de centre O et d angle θ. Ainsi, M est l image de M par la rotation de centre O et d angle θ, et on note : M = r O,θ M De manière plus générale, M = r A,θ M équivaut à : z M z A = z M z A e iθ 6.2) Translations Soit t la translation de vecteur w. On a alors M = t (M) qui équivaut à MM = w. On note α + i β l affixe de w. On a donc : z M z M = α + i β. De manière générale, on note la translation M = t (M) : z M = z M + α + i β Par exemple, la translation de vecteur w 1 + 3i en écriture complexe se note : z = z 1 + 3i 6.3) Homothéties Soit h l homothétie de centre A et de rapport k (avec k R ). On a alors M = h (M) qui équivaut à AM = k AM.
9 De manière générale, on note l homothétie M = h (M) : Nous pouvons distinguer deux cas particuliers : z M z A = k z M z A si k = 1 alors h = Id (application identique) ; si k = 1 alors h = s A (symétrie de centre A).
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