Nombres complexes. Théorème (Admis) Il existe un ensemble, l ensemble des nombres complexes, noté, tel que :
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- Emma Beauchamp
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1 Nombres complexes Les mathématiciens ont introduit un nombre i (pour impossible ou imaginaire) tel que i = 1. Par convention, i n est jamais écrit sous la racine carrée. Théorème (Admis) Il existe un ensemble, l ensemble des nombres complexes, noté, tel que : contient l ensemble R des nombres réels ; est muni d une addition, d une multiplication (et donc d une soustraction et d une division) qui possèdent les mêmes règles de calcul que dans l ensemble des nombres réels ; éfinition : Le nombre complexe i est tel que i = 1. Un nombre complexe s écrit de façon unique sous la forme a + b i ; a, b. a + b i est dite forme algébrique du nombre complexe. a est la partie réelle de, on note Re() = a b est la partie imaginaire de, on note Im() = b. Un nombre réel x est aussi le nombre complexe x + 0 i donc de partie réelle x et de partie imaginaire 0. Un nombre complexe de la forme i y est aussi le nombre complexe 0 + y i donc de partie réelle 0 et de partie imaginaire y. Les complexes de la forme b i avec b, sont appelés imaginaires purs. eux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. a + i b = a + i b a = a et b = b REPRESENTATION GEOMETRIQUE UN NOMBRE OMPLEXE ans le plan rapport à un repère orthonormal (O ; u, v ), au nombre complexe = a + b i on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur V de coordonnées (a ; b). = a + b i est l affixe de M et de V. Exemples : Le point A d affixe i est aussi le point de coordonnées (1 ; 3) Le point B d affixe 5 i est aussi le point de coordonnées (0 ; 5) Le point d affixe 4 est aussi le point de coordonnées (4 ; 0) M(a ; b) est le point image du complexe a + b i, V (a, b) est le vecteur image du complexe = a + b i. 1
2 Si M a pour affixe = a + b i et si M' a pour affixe ' = a' + b' i, alors le vecteur MM' a pour affixe ' soit (a' a) + (b' b) i Exemple : AB a pour affixe ( 5 i) (1 + 3 i) = 5 i 1 3 i = 1 8 i ' Le milieu I de [MM'] a pour affixe I = ( 5 i) + (1 + 3 i) Exemple : Le milieu I de [AB]a pour affixe = 1 i = 1 i onjugué d un nombre complexe éfinition : Soit un nombre complexe dont la forme algébrique est = a + b i ; a, b. Le nombre complexe conjugué de est le complexe noté tel que = a b i Les points d affixes et sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Exemples : Le conjugué de = 5 + i est = 5 i. Le conjugué de = 3 i est = 3 + i Remarques : le nombre conjugué d un réel est lui-même. le nombre conjugué d un imaginaire pur est l opposé de cet imaginaire pur. Propriétés : est réel =, est imaginaire pur = Opérations avec les nombres complexes conjugués Le conjugué du conjugué d un nombre complexe est égal à ce nombre soit = Le conjugué d une somme de deux nombres complexes est la somme de leurs conjugués soit + ' ' Le conjugué du produit de deux nombres complexes est le produit de leurs conjugués soit ' ' Le conjugué de l inverse d un nombre complexe non nul est l inverse de son conjugué soit si ' 0, 1 1 Le conjugué du quotient de deux nombres complexes est le quotient de leurs conjugués soit si ' 0, ' ' Le conjugué d une puissance entière d un nombre complexe est égal à la puissance du conjugué de ce nombre. pour tout n IN *, n n
3 Re() = 1 ( + ) Im() = 1 i ( ) Interprétation géométrique Soit M le point d affixe et M le point d affixe, les abscisses de ces points sont égales et leurs ordonnées opposées donc ces points sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Exemple : Soit le point A d affixe ( + 3 i) et B le point d affixe 3 i + 3 i et 3 i sont des complexes conjugués, A et B sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Utilisation des nombres complexes conjugués 1 i Exemple 1 : Mettre sous forme algébrique : i Il faut multiplier et diviser par le conjugué du dénominateur, 1 i (1 i) (3 4 i) 3 4 i + 3 i 4 i 1 i i + 3 i donc i (3 + 4 i) (3 4 i) 3 (4 i) i i 7 i i 5 Exemple : Soit = x + i y avec x et y réels, étant différent de i. 1 Soit =. Quelles sont les parties réelles et imaginaires de? i 1 = i = x 1 i y x i ( y 1) = [ x 1 i y ] [ x i ( y 1)] = [ x i ( y 1)][ x i ( y 1)] = Re( ) = x x y 1 ( x 1) ( y 1) y x i x ( y 1) x ( y 1) x x y 1 1 et Im( ') x y x ( y 1) x ( y 1) MOULE UN NOMBRE OMPLEXE x x x y y x y x ( y 1) ( 1) i ( 1) ( 1) i i ( 1) = x x y 1 1 i x y x ( y 1) x ( y 1) Soit un nombre complexe dont la forme algébrique est = a + b i ; a, b. On appelle module du nombre complexe le réel positif noté tel que = = a + b Propriétés Le module d un complexe est nul si et seulement si ce complexe est nul soit = 0 = 0 3
4 Le module du produit de deux nombres complexes est le produit de leurs modules soit ' = ' Le module de l inverse d un nombre complexe non nul est l inverse de son module soit 1 1 si ' 0, Le module du quotient de deux nombres complexes est le quotient de leurs modules soit si ' 0, ' ' Le module du conjugué d un nombre complexe est égal au module de ce nombre. Le module de l opposé d un nombre complexe est égal au module de ce nombre. Le module d une puissance entière d un nombre complexe est égal à la puissance du module de ce nombre, pour tout n IN *, n Attention Il n y a pas de règle équivalente pour la somme de deux nombres complexes : + ' + ' n Argument d un nombre complexe L argument d un nombre complexe n est pas unique, il est défini modulo. Si est un argument de, on notera arg [ ] ou arg = + k (k ) L argument principal de est l argument de appartenant à ] ; ]. Interprétation géométrique : L'argument de, noté arg, est une mesure de l angle orienté = ( u, OM ) en radians. as particuliers : est un réel non nul si et seulement si arg = 0 + k ou arg = + k avec k entier relatif est un réel strictement positif si et seulement si arg = 0 + k avec k entier relatif est un réel strictement négatif si et seulement si arg = + k avec k entier relatif est un imaginaire pur si et seulement si arg = + k ou arg = + k avec k entier relatif 4
5 Propriétés Un argument du produit de deux nombres complexes non nuls est la somme de leurs arguments : pour * et *, arg ( ) = arg + arg + k (k ) Un argument de l inverse d un nombre complexe non nul est l opposé de son argument soit 1 arg = arg + k (k ) Un argument du conjugué d un nombre complexe non nul est l opposé de son argument soit arg = arg + k (k ) Un argument du quotient de deux nombres complexes non nuls est la différence de leurs arguments pour * et *, arg = arg arg + k (k ) ' Un argument de l opposé d un nombre complexe non nul est égal à un argument de ce complexe augment de. pour *, arg( )= arg + + k (k ) Un argument d une puissance entière d un nombre complexe non nul est égal au produit d un argument du complexe par ce nombre, pour *, pour tout n IN *, arg( n )= n arg + k (k ) Interprétation géométrique : Si M a pour affixe et si M' a pour affixe ' alors : OM = et MM' = ' Si V a pour affixe, alors V =. Tout nombre complexe non nul peut-être écrit sous la forme : = r (cos + i sin ), avec et r ] 0 ; + [. r (cos + i sin ) est la forme trigonométrique de. r est le module de, r = = OM est un argument de connu à près, c est une mesure de l angle ( u, OM ). 5
6 étermination de la forme trigonométrique d un complexe : Soit = 1 + i 3 Pour déterminer la forme trigonométrique de, il faut procéder en deux temps. 1. éterminer = 1 + ( 3 ) = 4 donc = donc la forme trigonométrique de est (cos + i sin ). Il reste à déterminer.. éterminer arg On écrit sous sa forme algébrique et sous sa forme trigonométrique. Il s agit du même complexe donc : i 3 = (cos + i sin ) donc cos + i sin = i donc en égalant partie réelle et 1 cos partie imaginaire : donc = + k (k ). 3 3 sin La forme trigonométrique de est donc (cos 3 + i sin 3 ) Relations utiles : Si = r (cos + i sin ) alors = r(cos ( ) + i sin ( )) et = r(cos ( + ) + i sin ( + )) aractérisation d un cercle. Soit le cercle de centre A ( A ) et de rayon R. Le point M ( M ) appartient à si et seulement si AM = R soit M A = R. Le point M ( M ) appartient à si et seulement si M A = R e i avec réel quelconque aractérisation de la médiatrice d un segment. Soit A l affixe du point A et B l affixe du point B. Le point M ( M ) appartient à la médiatrice de [ AB ] si et seulement si AM = BM soit M A = M A Interprétation géométrique de A B : Soit quatre points A, B, et tels que A B et, d affixes respectives A, B, et. A B A B = = AB et arg A B programme) A B = (, AB ) + k ou arg = (, BA ) + k avec k (hors 6
7 Forme exponentielle Notation exponentielle d un nombre complexe. On désigne par le nombre complexe de module 1 et d argument θ éfinition : e i θ = cos θ + i sin θ. On a donc i e = 1 et arg = θ + k π. Propriétés: e i θ = e i θ équivaut à θ = θ + k π (k ) e i (θ + ) = e i θ e i θ e e i ' i 1 i e = i e = e i θ i (θ ) = e (e i ) n = e i n pour tout n de cos θ = 1 ( e i θ + e i θ ) sin θ = 1 i ( e i θ e i θ ) Équations du premier degré avec uniquement Si a et b sont deux complexes quelconques, a 0 alors a + b = 0 = b a. Équations du premier degré avec et Il est nécessaire ici de poser = x + i y et = x i y avec x et y réels. Exemple : Résoudre 3 + i = 5 i 1 Soit = x + i y, = x i y avec x et y réels. donc 3 + i = 5 i 1 3 (x + i y) + i (x i y) = 5 i 1 3 x + y + i (3 y + x) = 5 i 1 eux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. 17 y 3 x y 1 6 x 4 y 3 x y 1 5 soit x 3 y 5 6 x 9 y 15 5 y x 1 5 x,6 donc 3 + i = 5 i 1 x =,6 + 3,4 i y 3,4 7
8 Equations du second degré à coefficients réels L équation a + b + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a 0) admet dans deux solutions (éventuellement confondues). Soit = b 4 a c le discriminant de l équation. est un nombre réel. si 0, les deux solutions (distinctes ou confondues) sont réelles b b 1 = et 1 = a a si < 0, on peut écrire = (i ) avec, les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l un de l autre) : b i b i 1 = et 1 = a a ans chacun des cas, le trinôme a + b + c se factorise sous la forme : a ( 1) ( ) 8
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