Ch02 : Nombres complexes

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1 Ch0 : Nombres complexes I) Valeurs remarquables de cos x et sin x Rappel : avant de commencer les exercices, remplir ce petit tableau : x 0 5 cos x ou - 0 ou sin x Exercice : Compléter a. cos = b. sin 5 = c. cos 0 = d. sin = e. cos(- ) = f. sin(- ) = g. cos 5 i. cos = j. sin = k. cos = h. sin - = = l. sin - = m. cos - = n. sin = o. cos = p. sin 0 = Exercice : Compléter a. cos x = donc x = ou b. sin x = donc x = ou c. cos x = donc x = ou d. sin x = donc x = ou e. cos x = - donc x = ou f. sin x = - donc x = ou g. cos x = - donc x = ou h. sin x = - donc x = ou i. cos x = 0 donc x = ou j. sin x = - donc x = ou Exercice : Compléter a. cos x = et sin x = - donc x = b. cos x = - et sin x = - donc x = c. cos x = et sin x = 0 donc x = d. cos x = 0 et sin x = - donc x = e. cos x = - et sin x = - donc x = f. cos x = - et sin x = - donc x = Exercice : Ecrire sous la forme d un nombre a b avec b le plus petit possible : Exemple : 8 = 7 = 7 = 7 a. 75 = b. 8 = c. = d. 50 = e. 0 = f. = g. 7 = h. 7 = i. 8 =

2 II) Forme algébrique Rappel : on appelle forme algébrique d un nombre complexe z la forme a + bi où a et b sont deux nombres réels, et i est le nombre tel que i² = -. Le nombre a est appelé partie réelle de z, et noté Re(z) Le nombre b est appelé partie imaginaire de z, et noté Im(z) Exemple : + i est un nombre complexe. et. Formules Soit a + bi et z = a + b i deux nombres complexes. z a = a b = b z + z = (a + a ) + (b + b )i z z = (aa bb ) + (ab' + a'b)i Exemples : Soit + i et z = - + 5i z + z = ( + i) + (- + 5i) = ( ) + ( + 5)i = + 8i z z = ( + i)(- + 5i) = (-) + 5i + i (-) + i 5i = i i 5 = - + i Exercice 5 : Dans chaque cas, donner la partie réelle et la partie imaginaire de z : + i 5i + 5 i -7 -i i Exercice : Donner la forme algébrique des nombres suivants : z = ( i) + (- + i) (-7 i) + ( + i) 9i 5 ( i) Exercice 7 : Donner la forme algébrique des nombres suivants : z = ( i) (- + i) (-7 i) ( + i) (9i 5) ( i) z = ( + i)² z5 = (-7 i)² z = (i) Exercice 8 : On considère les nombres i et z = - + i. Donner la forme algébrique des nombres suivants : z z = -z + iz = z² =

3 z = zz = z(i z ) = Conjugué : Soit a + bi un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre a bi noté z. Exemple : Le conjugué de + i est i. Propriétés du conjugué : z + z = z + z z z = z z z a² + b² Inverse : Soit a + bi un nombre complexe. L inverse de z est le nombre : Exercice 9 : Dans chaque cas, donner le conjugué de z : + i 5i + 5 i -7 -i a a² + b² b a² + b² i i Exercice 0 : Calculer z z dans chaque cas : a. i b. 5 + i z z c i z Exercice : Donner la forme algébrique des nombres suivants : z = + i i i Exercice : Donner la forme algébrique des nombres suivants : z = + i + i + i i i

4 z = - + i z5 = 5 + i i z = i + i III) Lire un affixe, placer un point En notation algébrique : Dans un repère orthonormal, on dit que : - le nombre a + bi est l affixe du point M(a ; b) ou du vecteur OM. - le point M est l image du nombre a + bi. - le vecteur OM est le vecteur image du nombre a + bi. b O y M a x a = Re(z) est l abscisse de M La notation trigonométrique : Soit M le point du plan complexe qui a pour affixe a + bi. On appelle module de z et on note z le nombre z = OM = ρ On appelle argument de z (non nul) et on note arg(z) tout nombre de la forme + k où est une mesure de l angle orienté xom. En première, on notait cette forme trigonométrique : [ρ ; θ] b = Im(z) est l ordonnée de M Exercice : On considère le repère (O, u, v) orthonormal. a. Déterminer les affixes (sous forme algébrique) des points suivants : A( ) B( ) C( ) D( ) E( ) F( ) G( ) H( ) K( ) b. Placer dans le repère les points suivants : L( + 5i) M( i) N(-5) P(5i) Q(-7 + i) R(- + 7i) S(-5 5i) T(-i) X(-8 + i) Exercice : Dans le repère (O, u, v) orthonormal, placer les points suivants : A [ ; ] B [ ; - ] C [ 5 ; ] D [ ; ] E [ 8 ; 0 ] F [ ; ] G [ ; 5 ] H [ ; ] K [ ; - ]

5 Exercice 5 : On considère le repère (O, u, v) orthonormal. a. Déterminer les affixes (sous forme trigonométrique) des points suivants : A [ ; ] B [ ; ] C [ ; ] D [ ; ] E [ ; ] F [ ; ] G [ ; ] H [ ; ] K [ ; ] b. Placer dans le repère les points suivants : L [ ; ] M [ ; - ] N [ 5 ; ] P [ ; ] Q [ 5 ; 0 ] R [ 0 ; ] S (5) T (7i) X (-i) IV) Conversion forme algébrique, forme exponentielle Rappel : Exponentielle Algébrique Algébrique Exponentielle a =.cos b =.sin z = a² + b² = cos = a z Exercice : a. Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants : sin = b z z = e i e i 7e i z = e i0 a = a = a = a = b = b = b = b = donc z = donc donc donc z = z5 = 5e i- z = e i z7 = e i5 z8 = e i a = a = a = a = b = b = b = b = donc z5 = donc z = donc z7 = donc z8 = b. Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants : z = e -i 5 e -i e -i z = 7 e i0 z5 = e -i Exercice 7 : a. Ecrire sous forme exponentielle les nombres suivants : z = i -5 z = - i z = z = z = z = = = = = donc z = donc donc donc z =

6 b. Ecrire sous forme exponentielle les nombres suivants : z = + i i + i z = i z = z = z = z = cos = cos = cos = cos = sin = sin = sin = sin = donc = donc = donc = donc = donc z = donc donc donc z = c. Ecrire sous forme exponentielle les nombres suivants : z = i - i 5 5i z = 5 + i (*) z5 = + 7i (*) (pour les (*), on donnera une approximation en radians de l angle ) V) Notation exponentielle Rappel : ρe iθ ρ e iθ = ρρ ei(θ + θ ) ρe iθ ρ e iθ = ρ ei(θ - θ ) (ρe ρ iθ ) n = ρ n e inθ donc donc donc zz = z z z z = z z z n = z n arg (zz ) = arg z + arg z arg z z arg (z n ) = n arg z Exercice 8 : On considère les nombres complexes suivants : z = e i e i 5e i z = e i z5 = i z = - Déterminer le module et l argument des nombres suivants : a. z z b. z c. (z) z donc z = donc z = donc z = et arg et arg et arg d. z5 z e. z z f. z5 z donc z = donc z = donc z = et arg et arg et arg

7 g. z z h. (z5) 8 i. z donc z = donc z = donc z = et arg et arg et arg Exercice 9 : On considère les nombres complexes : z = - + i et i. a. Ecrire z et z sous forme exponentielle. b. En déduire la forme exponentielle de : zz ; z z z z z z VI) Equations Rappel : Equations du nd degré de la forme ax² + bx + c = 0 : On calcule le discriminant : Δ = b ac - Si Δ > 0, l équation admet deux solutions réelles : x = b+ Δ et x a = b Δ a - Si Δ = 0, l équation admet une solution double réelle ( elle compte pour!) : x = b - Si Δ < 0, l équation admet solutions complexes conjuguées : x = b+i Δ a et a x = b i Δ a Exercice 0 : Résoudre dans C les équations suivantes et donner les solutions sous forme algébrique : a. i i b. ( i)z + 5i = 0 c. z i + = (5 i)z + d. 8z + iz = + 7i e. i = z f. (z + i)(z + i) = 0 g. z² z 7 = z(z + ) ( z) h. z+ z = + i ( i)z i. = i 5 z+ Exercice : Résoudre dans C les équations suivantes a. x² x = 5 b. x² - x + 5 = 0 c. -x² + x 5 = 0 d. 5 + x² + 0x = e. x² -8x + = -x² + x f. x² + x = 0 g. -8x + x² + = - h. x² - 5x + = 0 (Pour les suivants on pourra poser X = x²) i. x x + 0 = 0 j. x + 5x² + = 0 k. x x² - = 0 Exercice : Soit P(z) = z z² + z où z est un nombre complexe. ) Calculer P() ) Déduisez en une factorisation de P. ) Résolvez P(z) = 0 Exercice : Résoudre dans l ensemble des complexes l équation : z + z² + z = 0. Exercice : Soit l équation du second degré à coefficients complexes : z² - (+i)z + + i = 0. Pour résoudre cette équation on va faire une factorisation canonique (on factorise en force comme dans la démonstration de la résolution d une équation du nd degré avec le discriminant ) ) Calculer ( + i)² et en déduire que ( + i)² - = + i. ) En remarquant que (+i) = ( + i), factoriser (en deux fois) l équation. ) Résoudre alors l équation proposée. Exercice 5 : On veut connaître les «racines» du nombre complexe + i, on cherche donc un complexe z tel que z² = + i. ) Poser : x + iy, en déduire un système vérifié par les réels x et y. ) Dans ce système exprimer y en fonction de x et en déduire une équation bicarrée vérifiée par x. ) En posant X = x², résoudre l équation bicarrée. ) Donner alors les «racines» de + i.

8 VI) Géométrie et nombres complexes Rappel : Soit A d affixe za et B d affixe zb deux points distincts, alors : AB a pour affixe zb za AB a pour norme z B z A Exercice : On considère les points suivants et leurs affixes : A(5 i) B(- + i) C( + i) D( i) E(-5i) F() a. Placer ces points dans un repère (O ; u, v ). b. Déterminer les affixes des vecteurs suivants : AB, CD, EF, DA et CB. c. Calculer les longueurs : AB, DC, EF, AD et BC. Exercice 7 : a. On considère les points A(), B( + i ) et C( i ). Déterminer la nature du triangle ABC. b. On considère les points D( i), E( i) et F(- + i). Déterminer la nature du triangle DEF. Exercice 8 : On considère les points A(), B(-i), C( i ) et D(- + i ) dans le repère (O ; u, v ). a. Placer les points A, B, C et D dans le repère. b. Calculer OA, OB, OC et OD. c. Que peut-on dire des points A, B, C et D? d. En déduire l ensemble des points M d affixe z tels que z = 5 Exercice 9 : On considère le point A( i). a. Soit M un point d affixe z. Que représente le nombre z ( i)? b. Quel est l ensemble des points M d affixe z tels que z ( i) =? c. Représenter cet ensemble sur une figure. Exercice 0 : On considère les points A( i) et B(- + i). a. Soit M un point d affixe z. Que représente le nombre z ( i)? Et le nombre z (- + i)? b. Quel est l ensemble des points M d affixe z tels que z ( i) = z (- + i)? c. Représenter cet ensemble sur une figure. Exercice : En utilisant les résultats des deux exercices précédents, déterminer et représenter l ensemble des points M d affixe z tels que : a. z ( + i) = b. z ( + i) = c. z ( + i) = z (5 i) d. z = z + i