Chapitre 3 Partie Algèbre Les nombres complexes

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1 Chapitre 3 Partie Algèbre Les nombres complexes Objectifs L objectif de ce chapitre est de consolider et d approfondir les notions sur les nombres complexes acquises en classe de Terminale. Le programme combine les aspects suivants : L étude algébrique du corps C, équations algébriques (équations du second degré, racines n ièmes d un nombre complexe). L interprétation géométrique des nombres complexes et l utilisation des nombres complexes en géométrie plane. L exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie. Mr. Moussa Faress Pr. Mathématiques Supérieures CPGE de Meknès Année Scolaire :

2 1 - Le corps des nombres complexes Construction de l ensemble des nombres complexes. Définition 1.1. Un nombre complexe est un couple de réels. L ensemble des nombres complexes, noté C, est donc l ensemble R. On peut alors écrire : C = {(x, y)/x, y R} ou encore : z C x, y R tels que : z = (x, y). De plus les réels x et y sont uniques. Le réel x est appelé partie réelle de z noté Re(z) et le réel y est appelé partie imaginaire de z noté Im(z). Opérations sur les complexes : On définit dans C deux lois de compositions internes. Pour z = (x, y) et z = (x, y ) deux complexes : 1. La somme de z et z, notée z + z, est définie par : z + z = (x + x, y + y ). On vérifie que cette loi possède des propriétés analogues à celles de l addition des réelles, à savoir : (a) L associativité : z, z, z C : (z + z ) + z = z + (z + z ) (b) La commutativité : z, z C : (z + z = z + z (c) z C : z + (0, 0) = (0, 0) + z = z (0, 0) est dit l élément neutre de l addition. (d) Tout z = (x, y) possède un opposé (noté z) qui est ( x, y) : z + ( z) = ( z) + z = (0, 0).. Le produit de z et z, noté z z, est définie par : z z = (xx yy, xy + x y). On vérifie que cette loi possède des propriétés analogues à celles de la multiplication des réelles, à savoir : (a) La commutativité,l associativité. (b) Existence de l élément neutre qui est (1, 0). (c) Tout z = (x, y) = (0; 0) possède un inverse,noté z 1 ou 1 ( z, donné par : z 1 = (d) Distributivité da la multiplication par rapport à l addition. Définition 1.. x x + y, ) y x + y. On résume l ensemble des propriétés de ces deux lois en disant que le triplet (C, +, ) est un corps commutatif. Notation algébrique des complexes : 1. Plongement de R dans C : (a) L application f : R C définie par : f (x) = (x, 0) est une injection de R vers C qui vérifie : Pour tous x, y R on a : f (x + y) = f (x) + f (y), f (x y) = f (x) f (y) (b) R et f (R) sont équipotents,on identifie alors tout réel x avec on image f (x) en écrivant x = (x, 0) et on conclut que R C (on dit que l on a plongé R dans C ).. Notation algébrique : On pose : i = (0, 1) on a : (a) i = 1. (b) z C!(x, y) R : z = x + iy dite forme algébrique de z. 3. Propriétés : On pose ir = { iy/ y R } appelé ensemble des imaginaires purs. (a) z = z (Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z )). (b) z R Im(z) = 0. (c) z ir Re(z) = 0. Cours-S- Mr. Faress, Lok MPSI

3 (d) Si z = x + iy et z = x + iy avec x, y, x, y R alors : z + z = (x + x ) + i(y + y ), z.z = (xx yy ) + i(xy + yx ), 1 z = x x + y + y x + y. Exercice Déterminer x et y de R tels que : 18i(x + iy) = 5 + i8.. Donner la forme algébrique des complexes suivants : z 1 = (1 + i)(1 + i)(1 + 3i), z = + 3i 3 + 4i, z 3 = 1 (1 + i)( + 3i). 3. Calculer : i n pour n N. 4. Calculer : (1 i) Résoudre dans C les équations suivantes : z 1 + iz = 6 i + (1 + i)z, z + z + 1 = 0, z 3 = Conjugué et module d un complexe. Définition 1.3. Soit z = x + iy ( avec x, y R ) un complexe. On appelle : Conjugué de z, le complexe noté z, donné par : z = x iy Module de z, le réel positif noté z, donné par : z = x + y. Propriétés : Soient z et z deux complexes. On a les propriétés suivantes : ( z ) 1. z + z = z + z, zz = zz, z = z, z = z z, z z = zz z, (z = 0) Exercice... Re(z) = z + z, Im(z) = z z, z R z = z, z ir z = z. i 3. z.z = z. z, z n = z n ( n Z ), z + z z + z, z = z. Soient z et z deux complexes non nuls. Montrer que : 1. z + z z + z et z z z z z + z.. (a + b) + (c + d) a + b + c + d pour tous a, b, c, d de R. 3. z + z = z + z si et seulement si α 0 tel que : z = αz. Cours-S- Mr. Faress, Lok 3 MPSI

4 - Forme trigonométrique d un complexe non nul..1 - Nombres complexes de module 1. Définition.1. L ensemble U On note U = {z C/ z = 1}. On vérifie les propriétés suivantes : Pour tous z et z de U on a : z = 0 z z U 1, z, z U θ R tel que : z = cos(θ) + i sin(θ) z Notation e iθ. Pour tout θ de R, on pose : e iθ = cos(θ) + i sin(θ). On a alors : Pour tous α, β R et n Z : e iα e iβ = e i(α+β (e iα ) n = e inα (e iα ) = (e iα ) e iα = e iβ α β[π] Définition.. Forme trigonométrique Soit z C. il existe un réel θ, unique à π près, tel que : z = z e iθ. Un tel réel θ est appelé un argument de z et noté arg(z). L écriture z = z e i. arg(z) est appelé l écriture trigonométrique (ou exponentielle) de z. Proposition.1. Soient z et z deux nombres complexes non nuls. z = z ( z = z et arg(z) arg(z ) [π]). z R arg(z) 0 [π] et z ir arg(z) π [π]. arg( z) arg(z) + π[π] et arg(z) arg(z) [π]. ( z ) arg(z.z ) arg(z) + arg(z ) [π] et arg z arg(z) arg(z ) [π]. arg(z n ) n. arg(z) [π], n Z. Exercice.3. Soient θ et θ deus réels, donner la forme trigonométrique de : z 1 = sin(θ) + i cos(θ) z = 1 + cos(θ) + i sin(θ) z 3 = 1 + cos(θ) i sin(θ) z 4 = 1 cos(θ) + i sin(θ) z 5 = sin(θ) + i cos(θ) z 6 = e iθ + e iθ.. - Formules de Moivre et Euler. Pour tout θ de R et tout n de Z on a : (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ i Formule de Moivre. Formules d Euler. Cours-S- Mr. Faress, Lok 4 MPSI

5 Exercice Linéariser cos 3 (x) et sin 4 x, puis donner des primitives des fonctions x cos 3 (x) et x sin 4 x. (a) Exprimer cos(5x) en fonction de cos x. (b) Résoudre dans R l équation suivante :16x 5 0x 3 + 5x = 0 (c) Calculer cos π 10 et cos π 5 Exercice.5. Soient a et b deux réels et n N.Simplifier les expressions suivantes : n n ( ) n A = cos(ak + b) B = sin(ak + b) C = cos(ak + b) D = k k=0 k=0 n k=0 n k=0 ( ) n sin(ak + b) k.3 - Racines n ième d un complexe non nul. Définition.3. Soit n un entier naturel tel que n. Un complexe z est dit racine n ième de l unité si z n = 1. On pose : U n = {z C / z n = 1} l ensemble des racines n ième de l unité. Proposition.. U n = {e i kπ n / k {0, 1,..., n 1}} = {w k / k {0, 1,..., n 1}} avec w = e i π n. La somme des racines n ième de l unité est nulle. Le produit des racines n ième de l unité est égal à ( 1) n 1. Exercice Résoudre dans C l équation : (z i) 013 = (z + i) Résoudre dans C l équation : (z + 1) n = e ina avec a R et n N et simplifier n 1 ( sin a + kπ n k=0 ). Définition.4. Soit a C. Un complexe z est dit racine n ième de a si et seulement si z n = a. Proposition.3. Soit a = r.e iθ avec r > 0. on a : z n = a si et seulement si z = n θ+kπ r.e i( n ) avec k {0, 1,..., n 1}. La somme des racines n ièmes de a est nulle. Le produit des racines n ièmes de a est égal à ( 1) n 1 a. Cas particulier : n = : z = a z = r.e i θ ou z = r.e i θ.4 - Exponentielle complexe. Cours-S- Mr. Faress, Lok 5 MPSI

6 Définition.5. Soit z = x + iy avec x, y R. On appelle exponentielle de z, noté e z, le complexe défini par : e z = e x.e iy. Proposition.4. Soient z et z deux complexes et n Z. On a : e z = 0, e z.e z = e z+z, (e z ) n = e nz, e z e z = e z z, e z = e z Exercice Résoudre dans C les équations suivantes : e z = 1, e z =.i, { e z = 1 + i, e z + e z + 1 = 0.. Résoudre dans C e le système suivant : (S) z + e z = 1 e z+z = 1 Cours-S- Mr. Faress, Lok 6 MPSI

7 3 - Applications à la trigonométrie Formules usuelles de trigonométrie. On passe aux parties réelle et imaginaire dans l égalité e ia e ib = e i(a+b) et on obtient les formules suivantes : Formules d addition et de duplication cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos a = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin a = sin a cos a tan(a + b) = 1 tan a tan b tan a + tan b tan a = 1 tan a tan a Remarque : Les formules de soustraction donnant cos(a b), sin(a b) et tan(a b) s obtiennent en changeant b en b et en utilisant la parité et l imparité des fonctions cos et sin Linéarisation. Méthode Linéarisation de cos m θ sin n θ Il s agit d exprimer cos m θ sin n θ comme une combinaison linéaire de cos kθ et sin kθ avec k N. On utilise pour cela les relations d Euler. On écrit ( e cos m θ sin n θ = iθ + e iθ ) m ( e iθ e iθ i puis on développe et on regroupe les termes conjugués. ) n Exercice.8. Linéariser sin 4 θ et cos 6 θ Développement. Méthode Développement de cos nθ et sin nθ Il s agit d exprimer cos nθ ou sin nθ en fonction de puissances de cosθ et sinθ. On utilise pour cela la formule de Moivre. On écrit cos nθ + i sin nθ = (cosθ + i sinθ) n puis on développe et on considère les parties réelle et imaginaire. Exercice.9. Développer cos 5θ et sin 5θ Factorisation. Il s agit d exprimer des sommes de cosinus ou de sinus sous forme d un produit. L idée est d exprimer cosθ ou sinθ comme la partie réelle ou imaginaire de e iθ et de faire appel à la méthode ultra-classique suivante. Cours-S- Mr. Faress, Lok 7 MPSI

8 cos a + cos b = cos a + b Formules de factorisation cos a b sin a + sin b = sin a + b cos a b cos a cos b = sin a + b sin a b sin a sin b = cos a + b sin a + b Exercice.10. Écrire sous forme de produit : sin x + sin x + sin 7x + sin 8x Paramétrage rationnel du cercle trigonométrique. Soit θ R tel que θ π[π]. On pose t = tan θ 1 + it. On a 1 + it = ei θ. Par conséquent, On en tire les relations suivantes : e iθ = ( ) 1 + it = 1 t + it 1 + it 1 + t cosθ = 1 t 1 + t sinθ = t 1 + t tanθ = t 1 t Ainsi pour tout point M du cercle unité distinct de A( 1, 0), il existe t R tel que M ait pour coordonnées ( ) ( ) 1 t 1 + t, t 1 t 1 + t. Réciproquement, tout point de coordonnées 1 + t, t 1 + t où t R est un point du cercle unité distinct de A. Les expressions 1 t 1 + t et t étant des fractions rationnelles (i.e. des quotients de polynômes), on dit qu on a une paramétrage rationnel du cercle 1 + t unité. Exercice.11. Faire un dessin Pour nos amis physiciens. Proposition 3.1. Soient a, b R. On écrit z = a + ib sous forme trigonométrique : z = re iψ. Alors θ R, a cosθ + b sinθ = r cos(θ ψ) Cours-S- Mr. Faress, Lok 8 MPSI

9 4 - Equations du second degré dans C Racine carrée d un complexe. Définition 4.1. Un complexe a est dit racine carrée d un complexe b si et seulement si a = b. Proposition 4.1. Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées. Exemple : Déterminer les racines carrées de z = i et z = i L équation : az + bz + c = 0 dans C. Proposition 4.. Soient a, b, c C avec a = 0. L équation az + bz + c = 0 possède exactement deux solutions complexes qui sont : z 1 = b + δ et z = b δ avec δ une racine carrée de = b 4ac (dit discriminant de a a l équation). Remarques : On a : z 1 + z = b a et z 1 z = c a. Exercice.1. Si a, b et c sont des réels et < 0 alors z = z 1. Résoudre dans C les équations suivantes : (1) z (4 + 3i)z + 13 i = 0 et () (1 i)z (5 i)z + 10 = 0 Théorème 4.1. Théorème de D Alembert -admis- Toute équation polynômiale dans C admet au moins une solution dans C. Cours-S- Mr. Faress, Lok 9 MPSI

10 5 - Nombres complexes et géométrie plane euclidienne. Par définition, le plan complexe est le plan euclidien P muni d un repère orthonormé direct noté R = (O, e 1, e ) Affixe d un point,d un vecteur. Définition 5.1. A tout point M(x, y) du plan P, on associe le complexe z = x + iy appelé l affixe de M, noté z M. (On dit aussi que M est l image de z dans le plan complexe) A tout vecteur w (x, y), on associe le complexe z = x + iy appelé l affixe de w, noté z w. (On dit aussi que w est l image vectorielle de z) Remarques : Soit M un point du plan complexe d affixe z. 1. z R si et seulement si M D(O, e 1 ). L axe D(O, e 1 ) est dit l axe des réels.. z ir si et seulement si M D(O, e ). L axe D(O, e ) est dit l axe des imaginaires. Proposition 5.1. Soient w 1 et w deux vecteurs, α R et A, B deux points du plan P. on a : z w1 + z w = z w1 + w et α.z w1 = z α. w1 z A = z OA et z AB = z B z A. w 1. w = Re(z w1.z w ) et det( w 1, w ) = Im(z w1.z w ) 5. - Distances et angles orientés. Proposition 5.. Soient A,B,C et D quatres points,deux à deux distincts, du plan complexe P. On a : AB = z B z A ( e 1, OA) arg(z A )[π] ( AB, ( ) zc z AC) A arg [π] ( AB, CD) arg z B z A ( zd z C z B z A ) [π] Applications : Soient A, B, C et D quatres points,deux à deux distincts, du plan complexe P. On a : 1. A,B et C sont alignés z C z A R z B ( z A ) zc z A arg 0[π] z B z A ( ) ( ) zd z. A,B,C et D sont cocycliques ou alignés A zd z arg B arg [π] z C z A z C z B z D z A z C z B R. z C z A z D z B Ce dernier produit est appelé le birapport des points A,B,C et D. ( ) zd z 3. (AB)//(CD) C arg 0[π] ( z B z A ) zd z (AB) (CD) C arg π z B z A [π] Quelques transformations affines. Transformations élémentaires. Cours-S- Mr. Faress, Lok 10 MPSI

11 Théorème 5.1. Soit M un point du plan complexe d affixe z. Soit w un vecteur d affixe w. L image de M par la translation de vecteur w a pour affixe le complexe z + w. Soient λ R et Ω un point d affixe w. L image de M par l homothétie de centre Ω et de rapport λ a pour affixe λ(z w) + w. Soient θ R et Ω un point d affixe w. L image de M par la rotation de centre Ω et d angle θ a pour affixe e iθ (z w) + w. Interprétation géométrique de l application : z a.z + b. Soient a et b deux nombres complexes avec a = 0, on considère les applications : f : C C et F : P P z f (z) = az + b M(z) M (z )/z = f (z). Proposition 5.3. Si a = 1 alors F est la translation de vecteur w d affixe( b. ) b Si ( a = 1 et a = 1) alors F est la rotation de centre Ω et d angle arg(z). 1 a ( ) b Si a = 1 alors F est la composée de la rotation de centre Ω et d angle arg(z) et l homothétie 1 a de même centre et de rapport a. F est, alors, la similitude de centre Ω,de rapport a, et d angle arg(z).(voir DL sur les similitudes et isometries). Exercice Identifier géométriquement l application f : z iz + 4 et construire l image du point M(1 + i).. Identifier géométriquement l application f : z ( + i)z (7 + 4i) et construire,géométriquement l image du point M(1 i). Similitudes et Isometries. Définition 5.. Soit λ > 0. on appelle similitude (plane) de rapport λ toute application f du plan dans lui même telle que pour tous points M et N, on a : f (M) f (N) = λ.mn. Si λ = 1, f est dite une isométrie (plane). Théorème 5.. Caractérisations Les similitudes planes sont exactement toutes les applications planes de la forme M(z) M (z ) avec z = az + b ou z = az + b où a, b C et a = 0. Les isometries planes sont exactement toutes les applications planes de la forme M(z) M (z ) avec z = az + b ou z = az + b où a, b C et a = 1. Cours-S- Mr. Faress, Lok 11 MPSI

12 i n Définition 5.3. Toute similitude plane de la forme M(z) M (az + b) avec a, b C et a = 0 préserve les angles orientés de vecteurs. Une telle similitude est dite directe Toute similitude plane de la forme M(z) M (az + b) avec a, b C et a = 0 transforme tout angle orienté de vecteurs en son opposé. Une telle similitude est dite indirecte Théorème 5.3. Classification Toute similitude plane directe f est soit une translation, soit la composée d une homothétie - de rapport λ > 0 et de centre Ω - et d une rotation - de même centre et d angle θ -. On dit que f est la similitude directe de centre Ω, de rapport λ et d angle θ. Toute isométrie plane directe est soit une translation soit une rotation. Exercice.14. Donner les résultats analogues pour les similitudes et les isometries indirectes. F F i n