Les Nombres Complexes
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- Pauline Corriveau
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1 Les Nombres Complexes A. Introduction a. Les ensembles de nombres IN est l'ensemble des nombres entiers naturels : IN {0 ; 1 ; 2 ;...} Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs : Z {...-2 ; -1 ; 0 ; 1 ;...} ID est l'ensemble des nombres décimaux. 1,3 D - 35,402 D... 1/3 D et donc l'équation 3x 1 n'a pas de solution dans D. IQ est l'ensemble des nombres rationnels IQ {a/b avec a Z et b IN*} 2 et π ne peuvent être écrits sous forme de fraction. L'équation x² 2 n'a pas de solution dans IQ. IR est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble des abscisses des points d'une droite. On représente donc l ensemble des réels par une droite appelée droite des réels. L'équation x² -1 n'a pas de solution dans IR. b. L'ensemble des nombres complexes Comme l'équation x² -1 n'a pas de solution dans IR donc pas de solution sur la droite des réels, on va se placer O; u; v pour chercher un nouvel ensemble de nombres. dans un plan muni d'un repère orthonormal ( ) On appellera nombre complexe un couple (x ; y) de réels qui sera représenté par le point de coordonnées (x ; y). O : u. Ainsi le nombre complexe (a, 0) sera égal au réel a. L'axe des réels, sera la droite ( ) On prendra (0 ; 1) la solution de l'équation x² -1 et on notera i ce nombre complexe. O; v formé des complexes (0 ; y) notés iy est appelé axe des imaginaires purs. L axe ( ) Notation définitive : (x ; y) (x ; 0) + (0 ; y) x + iy. c. Un petit peu d histoire. Point de départ : équations de degré 3 Formule de Cardano dit Cardan ( ) 3 3 Une solution de x 3 q q² p q q² p px + q : Cette formule fonctionne bien avec : x 3 36x + 91 Pose problème avec x 3 15x + 4. On trouve : Bombelli ( ) en utilisant des racines de négatifs va trouver la solution On a en effet (2 + i) i -6 i 2+11i et (2 - i) i -6 + i 2-11i On obtient 2 +11i i 4 qui est effectivement une racine. Euler ( ) introduit la notation i 1 Gauss ( ) met en place définitivement les nombres complexes. 1/10
2 d. Ecriture cartésienne ou écriture algébrique Définition : On appelle ensemble des nombres complexes l ensemble noté IC des nombres a + i b où a et b sont des réels L écriture a + ib est appelé forme cartésienne ou forme algébrique du nombre complexe z. Si z a + ib a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z). b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). Remarque : Im(z) est un nombre réel Théorème : Soit z a + ib et z' a' + ib' deux nombres complexes. z z' a a' et b b' (Rq on a : z z' a a' ou b b') Interprétation géométrique Le plan est muni d un repère ( O; u; v) orthonormal direct. Définitions : Le complexe z a + ib est appelé affixe du point M(a;b). On note M(z) qui se lit «M d affixe z». On dit aussi que M est l'image du complexe z. Exercice : Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct placer les points A, B et C d'affixes respectives 2 + 3i; -2i et i i i Définition : Le complexe z a + ib est aussi affixe du vecteur v (a,b). On note de même v( z ) Définition : O;u est appelée axe des réels. La droite ( ) La droite ( O; v ) est appelée axe des imaginaires purs. Opérations dans IC Si z a + ib et z a + ib Addition: Soustraction: Multiplication: z + z a + a + i(b + b ) z - z a - a + i(b - b ) z.z aa' + iab' + iba' + i²bb' (aa -bb )+i(ab +ba ) ( i² -1 ) 2/10
3 B. Conjugué d un nombre complexe Définition : Si z a + ib est un nombre complexe (a et b sont réels) le complexe a- ib est appelé conjugué du nombre complexe z et est noté z Interprétation géométrique Soit z a + ib. Posons M(z) c. a. d. M(a;b) b z Posons M ( z ) soit M (a ;-b) a M est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses -b Propriétés z z z z R z z z R i (Ensemble des imaginaires purs) z + z ' z + z ' et zz' z.z ' z + z 2 Re( z ) z z 2i Im( z ) Si z a + ib alors zz a² + b² Application : Inverse d'un nombre complexe non nul Soit z a + ib un nombre complexe non nul (c. a. d. a 0 ou b 0) L'inverse de z est le complexe z' tel que z z' 1 z z' 1 z z z' z (a² + b²) z' a - ib z' a - ib a² + b² Ainsi tout nombre complexe non nul admet un inverse et on définit ainsi la division dans IC par z 1 z z ' z ' Calcul pratique du quotient de deux complexes Exemple mettre sous forme Cartésienne le complexe 3 + i 2 3i. 3 + i ( 3 + i)( 2 + 3i) i 2 3i ( 2 3i)( 2 + 3i) Remarque : Les calculs dans IC se pratiquent comme dans IR en particulier : zz ' 0 z 0 ou z' 0 v u étant non nul uz + v 0 z - u Les produits remarquables s'appliquent aussi C. Module d un nombre complexe Définition Le plan est muni d un repère orthonormal ( O; u; v) Soit z un complexe et M le point du plan d affixe z. On appelle module de z noté z le réel égal à la distance OM Rem: Si v ( z) alors z v 3/10
4 Exemples : i 1+i i i 2 Diagonale d' un carré -1-2i 2² +1² 5 (Pythagore) -1-2i Propriété : Si z est réel le module de z correspond à la valeur absolue de z Propriété (Calcul pratique) Si z x + iy alors z x² + y² zz Propriétés zz' z z' z z' Inégalité du triangle : z + z' z + z' z z' D. Interprétations géométriques des opérations et du module Propriétés. Si v( z) et v' (z ) alors v + v ' (z + z ) Si k est un réel et si v d'affixe z, alors k v a pour affixe kz. Théorème : Si A( z A ) et ( B ) B z alors le vecteur AB a pour affixe : z zb za Exercice : On considère les points A, B, C et D d affixes respectives : 3 + 2i ; -1+i ; 1 i et 5 Que peut-on dire du quadrilatère ABCD? Théorème important: Si A(a) et B(b) alors b a AB Dem : L'affixe de AB c'est b - a et donc b a AB AB Exercice : Dans le repère ( O, u, v ) a 3 + i, b 1+ 5i et c 3 2i Préciser la nature du triangle ABC. AB orthonormé direct on considère les points A, B et C d affixes respectives 4/10
5 E. Equations de degré deux dans C a. Equation z² a avec a réel Théorème : Soit l équation z² a avec a réel Si a > 0 S { a; a} Si a < 0 S { i a; i a} Par exemple z² - 4 a pour solutions 2i et -2i b. Equation az² + bz + c 0 avec a, b et c réels. (a non nul) Théorème : Si Si > 0 deux solutions réelles : - b ± 2a 0 une solution double réelle - b 2a Si < 0 deux solutions complexes conjuguées - b ± i - 2a Exemple : z² +z F. Argument d un nombre complexe ( O; u; v) repère orthonormal direct du plan Définition : z un nombre complexe non nul. Soit M le point d affixe z du plan. Par définition argument de z noté arg(z) est le réel défini modulo 2π par : arg( z) u; OM ( ) 2π Exemples : arg( i ) π / 2 2π arg( 2 ) 0 2 [ ] [ π ] π [ π ] π [ π ] arg( 2i ) / 2 2 arg( 1+ i ) / 4 2 Propriété : z est un réel strictement positif arg(z) 0 + 2kπ z est un réel strictement négatif arg(z) π + 2kπ z est un réel non nul arg(z) 0 + kπ π z est un imaginaire pur non nul arg(z) + kπ 2 5/10
6 Propriété Soit z un complexe non nul. Alors : z z 2π arg( ) arg( )[ ] arg( z) arg(z) + π + 2kπ Détermination pratique de l argument d un nombre complexe. Soit M le point d affixe z a + ib avec M Comme M est un point du cercle trigonométrique on a M ' ( cos θ;sin θ ) O. 1 Notons M ' le point tel que OM ' OM OM M ' est un point du cercle trigonométrique car OM ' OM 1 OM Notons z' l affixe du point M 1 1 Comme OM ' OM on a z' z OM a² + b² a b On a z' + i a² + b² a² + b² On peut remarquer que par construction arg( z ) arg( z') On a donc a cosθ a² + b² b sinθ a² + b² avec arg(z) θ. Exemple : z 1 i On doit avoir cosθ et sinθ 2 2 π π On reconnaît dans la famille des, θ 3 3 6/10
7 G. Ecriture trigonométrique d un nombre complexe. a. définition. Théorème Soit r un réel strictement positif z r z r(cosθ + i sin θ) arg( z ) θ[ 2π ] r(cos isin ) θ + θ est appelé forme trigonométrique de z. On note aussi z [ r; θ ] Exemple: Ecrire z 3 + i3 3 sous forme trigonométrique 1 3 z 6 + i 2 2 On cherche θ tel que : cos θ 1 / 2 sin θ 3 / 2 Donc θ 2 π / 3. Donc 2π z 6; 3 Théorème : r et r désignant des réels strictement positifs, r r' [ r; θ] [ r'; θ' ] θ θ' + 2kπ b. Argument d un produit et d un quotient Théorème Soient z et z deux nombres complexes non nuls alors : Dem... Conséquence arg(z.z )arg(z)+arg(z ) [2π] z ρ(cosθ + i sinθ) et z' ρ'(cosθ' + isinθ') z.z' ρρ' ((cosθ cosθ' -sinθ sinθ') + i (cosθsinθ' +cosθ' sinθ )) ρρ' (cos(θ + θ') + i sin (θ + θ')) Si n est un entier naturel : arg( z n ) narg( z) [ 2π ] Théorème Soient z et z deux complexes non nuls. On a donc : z arg( z) arg( z') 2π z' arg [ ] [ ρ; θ] [ ρ' ; θ' ] [ ρρ' ; θ + θ' ] n n [ ρ; θ] [ ρ ; nθ] et [ ρ; θ] [ ρ θ ] ρ ; ' ρ' ; θ θ' 7/10
8 Exercice classique :. 1 A, B et C trois points distincts du plan rapporté au repère orthonormal direct ( O; u; v ) On note a, b et c leurs affixes respectives. c a Montrer que ( AB, AC) arg [ 2π ] b a 2 Application numérique. On donne A(1 i) ; B(3 2i) ; C(7 + i). Déterminer une mesure de l angle ( AB, AC) H. Ecriture exponentielle des complexes Définition : Le complexe cosθ + i sinθ de module 1 et d argument θ est noté e e cos θ + i sin θ ' sin θ + i cos θ ie i( cos θ + i sin θ ) sin θ + i cos θ ' ( ) ( ) Remarque : Conséquence : Le nombre complexe [ r;θ] est égal à : re (C'est la notation exponentielle) Applications : (r et r' sont des réels strictement positifs) Exercice : Ecrire sous forme trigonométrique : z 2e 3i π 4 Applications à la trigonométrie. Exercice classique : En calculant de deux façons différentes la forme cartésienne e θ exprimer cos ( 2 ) et sin ( 2 ) i de ( ) 2 θ θ en fonction de cos θ et sin θ. Formules d Euler e cosθ + isinθ donc e cosθ i sinθ et donc e e + 2 cosθ et e e 2i sinθ e + e cosθ 2 D où les formules d Euler e e sinθ 2i Application : Linéarisation de 2 cos θ et sin θ. 2 2 ( ) ( ) 2 2 e + e e e cos 2θ 1+ cos 2θ cos ² θ ( re ) Application à l équation paramétrique d un cercle. On cherche à écrire l affixe d un point quelconque M(z) du cercle C de centre Ω et de rayon R. i M( z) C Ω M R z ω est de mod uler θ [ 0;2 π[,z ω [ R; θ] θ [ 0;2 π [,z ω + Re θ re re re r' e ' r' e n re ' r r e ' re rr' e ( θ θ ') i inθ ( θ + θ ') i 8/10
9 Compléments : 9/10
10 Les quadrilatères remaquables. Parallélogramme. ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB DC En termes de nombres complexes il faut alors prouver l égalité : ZB Z A ZC ZD Rectangle. ABCD est un rectangle si et seulemdent si une des 3 caractérisations ci-dessous est vérifiée : ABCD parallèlogramme et ses diagonales sont de même longueur. (Il faut prouver que AC BD soit en termes de nombres complexes : ZC Z A ZD ZB ) ABCD est un parallélogramme et il a un angle droit Les quatre angles du quadrilatère ABCD sont droits. (Sans passer par le parallélogramme) Losange. ABCD est un losange si et seulemdent si une des 3 caractérisations ci-dessous est vérifiée : ABCD parallèlogramme et ses diagonales sont perpenduiculaires ABCD est un parallélogramme et deux côtés consécutifs sont de même longueur. (Il faut prouver que AB AC soit en termes de nombres complexes : ZB Z A ZC Z A ) Les quatre côtés du quadrilatère ABCD sont de même longueur. (Sans passer par le parallélogramme) Carré. ABCD est un carré si et seulemdent si par exemple une des 2 caractérisations ci-dessous est vérifiée : ABCD rectangle dont deux côtés consécutifs sont de même longueur ABCD est un losange dont les diagonales sont de même longueur 10/10
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