Séries d exercices Nombres complexes

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1 Séries d exercices Nombres complexes ème Maths Maths au lycee *** Ali AKIR Site Web : EXERCICE N a + ib a ib Soit (a,b) R* R* On pose : z = et z = a ib a + ib Montrer que z + z est réel et que z z est imaginaire pur EXERCICE N Soit a, b et c trois nombres complexes de modules sont égaux à et tel que: a + b + c = Calculer EXERCICE N Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct ( O ; u,v) z + Soit Z = avec z = x + iy où x, y R z i ) Déterminer l ensemble des points M, images de z, tels que Z = z + )En déduire l'ensemble des points M, images de z, tels que = z i )Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y )Déterminer l ensemble des points M, images de z, tels que Z soit un réel 5 ) Déterminer l ensemble des points M, images de z, tels que Z soit imaginaire pur π 6 ) Déterminer l ensemble des points M, images de z, tels que arg( Z ) [ π ] EXERCICE N )Résoudre dans C l équation : (E): z = (On note par j la racine de partie imaginaire positive) ) Ecrire les racines de (E) sous formes trigonométriques )Calculer j² et + j + j² )Montrer que : ( a + b + c)( a + bj + cj² )( a + cj + bj² ) = a + b + c abc a + + b c ( avec a, b et c des nombres complexes) 5 )On considère les points A, B, C d affixes respectifs a, b et c a + bj + cj² = 0 Montrer que les relations : b + cj + aj² = 0 sont équivalentes et sont conditions nécessaires et suffisantes pour c + aj + bj² = 0 que le triangle ABC soit équilatérale EXERCICE N 5 MB Soit dans le plan complexe, les points A(), B(-) et M(z) tels que : ( ) : = MA ( z 5)( z 5) = 6 )Montrer que ( ) )En déduire l ensemble des points M EXERCICE N 6 Soit z un nombre complexe Soit P( z) = z + az² + bz + c où a, b et c des nombres complexes z,z et sont les racines de l'équation P ( z ) = 0 z )Montrer que a = ( z + z + z ), b = zz + zz + zz et c = zzz xyz = )Application : Résoudre dans C : xy + yz + zx = x + y + z = )Applications : Déterminer les nombres complexes de modules inférieurs à et vérifiant les égalités : xyz = x + y + z = EXERCICE N 7 Soit : z = + + i( ) )Soit z'= (+i)z Ecrire z' sous la forme cartésienne puis sous la forme trigonométrique )En déduire z sous leurs formes trigonométriques )En déduire alors la valeurs de sin π et cos π

2 EXERCICE N 8 Soit θ ] π, π[ )Ecrire z sous forme trigonométrique puis exponentielle sinθ + icosθ z = sinθ + icosθ, z = + cosθ + isinθ, z = + cosθ + isinθ ) Déterminer l ensemble des points M i ( z i ) i {,,} lorsque θ décrit [,π[ EXERCICE N 9 On donne dans le plan complexe trois points M, N et P d affixes respectives z, z² et z Déterminer l ensemble des points M pour lesquels le triangle MNP est rectangle en M EXERCICE N 0 On donne le nombre complexe z = + + i ) Exprimer z² sous forme algébrique ) Exprimer z² sous forme exponentielle ) En déduire z sous forme exponentielle EXERCICE N α+ β i 0 α+ β i iα iβ α β iα iβ α β Soit α, β R Montrer que : e + e = cos e et e e = i sin e EXERCICE N Soit a et b deux nombres réels, on considère les nombres complexes z et z' de module et d'arguments respectifs a et b )Montrer, en utilisant la forme exponentielle de z et z', que )En déduire que arg( z z' ) arg( z) + arg( z' )[ π] + ( z + z ') zz ' est un réel positif ou nul )On appelle M et M' les images de z et z' dans le plan muni d'un repère orthonormé direct de centre O et N le point tel que OMNM' soit un parallélogramme Interpréter géométriquement l'égalité précédente à l'aide de ces points EXERCICE N Résoudre dans C : 6 ) z ² z cosφ + = 0, φ R ; ) ( z ) = ( z ) + ; ( + i) 8 ) ( i) z² ( 5 + i) z i = 0 ; ) z 5 + iz = ; ) i iz EXERCICE N On considère l équation (E) : z + ( i)z² + (5 i)z 0i = 0 )Montrer que (E) admet un solution imaginaire pure )Résoudre alors (E) dans C EXERCICE N 5 + ia = où ia a R Résoudre dans C l équation : z + ( i) z ( 7 + i) z + 7i = 0, sachant qu elle admet une racine réelle EXERCICE N 6 On considère l équation (E) : z z z² z + = 0 Z = z + )Vérifier que (E) est équivalente au système : z Z² Z = 0 )En déduire la résolution de (E)dans C Exercice n On considère le polynôme P défini sur C par : P(z) = z + z + 6z + 8z + 8 ) Justifier que : P( z ) = P ( z) En déduire que si z0 est une racine de P, alors son conjugué est aussi une racine de P ) a) Résoudre l équation P(z) = 0 sachant qu elle admet deux racines imaginaires pures b) Déterminer la forme trigonométrique de chacune des solutions de l équation précédente ) Soient M, M, M et M les points d affixes respectives i, i, - + i et - i a) Placer les points M, M, M et M dans le plan complexe et démontrer que MMMM est un trapèze isocèle b) Démontrer que les points M, M, M et M appartiennent à un même cercle de centre A d affixe dont on précisera le rayon

3 EXERCICE N 7 Le plan complexe P est muni d un repère orthonormal direct (O ; u, v ) d unité graphique cm On considère la suite de points Mn du plan d affixes respectives non nulles zn définies par : z0 = 8 et pour tout entier naturel n : z + i = z n+ n + i ) calculer le module et un argument du nombre complexe : ) Calculer z, z, z et vérifier que z est réel Placer dans le plan P les points M0, M, M et M ) Montrer que le triangle OMnMn+ est rectangle et comparer les longueurs OMn+ et MnMn+ EXERCICE N 8 π Soit φ 0, et ( E φ ) l équation : z ² ( cosφ + + icosφ) z + cosφ( cosφ + + icosφ) = 0 z que l on calculera et en déduire l autre solution z )Montrer que l équation ( E φ ) admet une solution réelle )Soit M et M les points d affixes respectifs z et z (a) Déterminer l ensemble des points M lorsque φ décrit l intervalle (b) Montrer que MM = + cosφ (c) Pour quelle valeur de φ la distance entre M et M est maximale (a) Déterminer le réel φ tel que OAB soit isocèle EXERCICE N 9 π 0, Dans le plan complexe P muni d un repère orthonormal direct (O, u, v ), on considère le quadrilatère ABCD tel que : ( AB, AD) = α [ π], ( CD, CB) = β [ π], 0 < α < π, 0 < β < π On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que : ( DC, DP) = π ( DA, DQ) = π [ π], ( BA, BM) = π [ π] et ( BC, BN) = π Soit a, b, c et d les affixes respectives des points A, B, C et D, m, n, p et q les affixes respectives des points M, N, P et Q ) Démontrer les relations suivantes :m = e i π q = e i π (a d) + d ) En utilisant les relations précédentes : a) Démontrer que MNPQ est un parallélogramme [ π] (a b) + b, n = e i π b) Démontrer que l on a :( AC, QP) = π [ π], AC = QP et ( NP, BD) = π (c b) + b, p = e i π [ π], et NP = BD [ π], (c d) + d, ) Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient AC = BD et ( AC, BD) = π + k π où k est un entier relatif 6 EXERCICE N 0 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls Montrer que z + z' = z + z' si, et seulement si, arg z = arg z'+ k π avec k dans Z EXERCICE N Soit un triangle ABC, on note O le centre de son cercle circonscrit Dans un repère orthonormal de centre O, on note a, b et c les affixes des points A, B et C Soit H le point d affixe h = a + b + c ) Démontrer que a = b = c

4 ) a) Soit w = b c bc Calculer w + w En déduire que w est un imaginaire pur b + c b) Démontrer, à l aide du a), que les nombres ( b + c)( b c ) et sont des imaginaires purs b c ) a) Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs AH et CB b) En utilisant les résultats précédents, démontrer que (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC c) Expliquer, sans calculs supplémentaires, pourquoi H est l orthocentre du triangle ABC EXERCICE N Le plan complexe est muni d un repère (O; u, v ) orthonormal direct (unité graphique : cm) A0 est le point d affixe Pour tout entier naturel n, si An est un point d affixe zn, on désigne par A n le point d affixe izn et par An+ le milieu de [AnA n]on note ρn et θn le module et un argument de zn ) Placer les points A0, A, A, A, A, A5 + i ) a) Démontrer que pour tout entier naturel n : zn+ = zn b) En déduire que la suite (ρn) est géométrique et que la suite (θn) est arithmétique Préciser leur premier terme et leur raison c) Exprimer ρn et θn en fonction de n d) Déterminer la limite de la suite (ρn) Interpréter géométriquement ce résultat e) Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés? ) a) Démontrer que pour tout n, AnAn+ = An-An b) Exprimer en fonction de n la longueur Ln de la ligne brisée A0A An puis déterminer sa limite EXERCICE N Soit f l application qui, à tout nombre complexe z différent de i associe z tel que : z' = f( z) = i + z + i On note T l application du plan complexe privé du point A d affixe i, dans le plan complexe, définie par : M = T(M), M et M étant les points d affixes respectives z et z ) a) Calculer f() et f( + i) b) Résoudre l équation f(z) = 0 ) a) Calculer : arg[(z i)( z + i)] b) Que peut-on en déduire pour les points A, M et M? ) a) Exprimer l affixe z" de M" = (ToT)(M) en fonction de l affixe z de M b) Que peut-on dire de ToT? ) On appelle (J) l ensemble des points du plan invariants par T a) Démontrer que M appartient à (J) si et seulement si AM = b) Caractériser géométriquement (J) 5 ) Dans cette question, on suppose que z = + i + e iθ, où θ est un nombre réel ; on notera B le point d affixe + i π π a) Quelle est la courbe (Γ) décrite par le point M, d affixe z, lorsque θ décrit ;?

5 θ b) Montrer que : z i = + i tan avec z = f(z) c) A quelle courbe (L) appartient le point M d affixe z? d) En déduire T(Γ), image de (Γ) par T Construire (Γ) et T (Γ) dans un repère orthonormal EXERCICE N Dans le plan complexe P muni d un repère orthonormé direct ( O,u,v) z = i( z + i) M z F M = M' z' = f z où B est le point d affixe (-i) On considère les applications : f : C { i} C { i} ; z f ( z) et F : { B} { B} ; ( ) ( ) ( ( )) )Montrer que f est involutive (c-a-d f f = Id C { i} ) et en déduire que f est bijective + i )(a) Vérifier que z C \{-i}, z' + i = z + i BM BM' = (b)en déduire que M P\{B}, π ( u,bm ) + ( u,bm' ) [ π ] )Déterminer les images par F de la droite (D) : y=x et du cercle (C ) de centre B et de rayon EXERCICE N 5 Pour tout nombre complexe z on pose : f ( z) = z + ( i ) z + ( i ) z + 8i )Montrer que l équation f ( z) = 0 possède une racine imaginaire pure z 0 que l on déterminera )Résoudre alors l équation f ( z) = 0 On notera z et z les deux autres racines, tel que Im( z ) < 0 z )On pose ω = Donner la dorme trigonométrique de ω z 0 )Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (,u,v) O A tout nombre complexe z non nul on associe les points M, M et M d affixe respectives z, Montrer que OMM M est un losange EXERCICE N 6 ( Devoir de synthèse n : Kébelli 00) Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct, on considère l application : s :, M ( z) M' ( z' ) tel que z' = ( + i) z + i )Vérifier que A(0,-) est l unique point invariant par s )Montrer que s est bijective et expliciter son application réciproque notée s )Prouver que pour tout M { A} )Montrer que pour tous points deux à deux distincts ( z ), d image M ' par s on a : AM ' = 5 AM M, M ( ) et ( ) z M d images respectives M ' ( z '), M ' ( z ') et M ' ( z ') par s on a : ' ' ' ' M,M M ( M M,M M )[ π] 5 )Déterminer l ensemble des points ( z) 6 ) Déterminer l ensemble des points ( z) EXERCICE N 7 z M Arg z' 0 M du plan tels que : ( ) [ ] M du plan tels que : ( ') z = (utiliser ) ωz et ω z Soit β C tel que β 7 β β β = et β Montrer que + + = 6 + β + β + β EXERCICE N 8 On considère un cercle de centre O et trois points A, B et C de ce cercle On désigne par A, B et C les images respectives des points A, B et C par la rotation de centre O et d angle π Soient U, V, W les milieux respectifs des segments [A B], [B C] et [C A] Démontrer que ces points sont les sommets d un triangle équilatéral 5

6 EXERCICE N 9 )(a)pour α R, résoudre dans C l'équation z ² cos(α)z + = 0 (b)en déduire la forme trigonométrique des solutions de l'équation : z cos(α)z + = 0 où n est un entier naturel non nul n n α + )Soit P ( z) = z cos(α)z (a) )Justifier la factorisation suivante de P α : α α + α + (n ) Pα ( z) = z² cos + z² cos + z² cos + n n n (b) Calculer P α () En déduire que α α + α + (n ) sin² sin sin sin = n n n )Pour tout α appartenant à ] 0,π[, et pour tout entier naturel n on pose : n n ( α/) n α α + α + (n ) H n ( α ) = sin sin sin n n n (a) Montrer que, pour tout α non nul, on a : n n sin H ( α ) = sin (b) Quelle est la limite de H n ( α) lorsque α tend vers 0? ( α/) ( α/n) (c) En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à on a: ( n ) n H n( α ) = sin sin sin = n n n n 6