Les nombres complexes. π π. Théorème 1 : Pour tout x R avec k. et tout b ] π; π π

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1 Les nombres complexes 1. Equation trigonométrique Théorème 1 : Pour tout x R et tout a ] π; π ] sin x = sin aéquivaut à x = a + kπ ou x = π a + k 'π avec k Exemple : 1 π π sin x = équivaut à sin x = sin + kπ ou sin x = sin π + k 'π 6 6 π Solution : + kπ ou 5 π + k 'π 6 6 Théorème : Pour tout x R et tout b ] π; π ] cos x = cosbéquivaut à x = b + kπ ou x = b + k 'π avec k π π Exemple : cos x = 0équivaut à x = + kπ ou x = + kπ π π Solution : + kπ ou + kπ. Ecriture d un nombre complexe Un nombre complexe, est un nombre de la forme a + ib ou a et b sont deux réels et i le nombre tel que i² = - 1 Le complexe a + ib est la forme algébrique du nombre ; a est la partie réel de, et b la partie imaginaire de Notation : a = Re( ) et b = I m( ) Remarque Si b = 0, alors est un réel et on a Si a = 0, alors est un imaginaire pur Définition : Tout nombre complexe, = a + ib, peut s écrire sous forme ρ cos Θ + isin Θ avec ( ) a a b b ρ = a² + b² et θ tel que cos Θ = = et sin Θ = = ρ a² + b² ρ a² + b² Les réels a et b n étant pas nul tout deux ρ cos Θ + isin Θ est la forme trigonométrique de L écriture sous forme ( ) On définie ρ = module de et arg( ) Θ = avec Θ ] π; π ]

2 Interprétation géométrique r r Le plan est muni d un repère orthonormé ( O; u; v) Soit M le point d affixe, on a alors : M (a ; b). L association d un point et d un complexe est unique M est l image du complexe a + ib OM uuuur est l image du complexe a + ib Et on a OM = ρ = a² + b² Θ = u r ; OM uuuur Et ( ) Exemple = 1+ i 3écrire sous forme trigonométrique On a : = 1² + ( 3) = 4 = Donc 1 3 = + i On cherche θ tel que : π + kπ 3 1 cos π Θ = + kπ 3 π + kπ 3 π 3 sin Θ = + kπ 3 π + kπ 3 π π Donc = 1+ i 3 = cos + i sin 3 3 Propriété : Tous nombres complexes non nuls de module ρ et d argument Θpeut s écrire sous la forme i = ρe Θ est l expression exponentielle du complexe = ρ ( cos Θ + i sin Θ ) i Démonstration : On a cos Θ + i sin Θ = e Θ d où le résultat 3. Calcul dans l ensemble des nombres complexes Définition : = a + ibétant un nombre complexe. On appelle conjugué de le complexe = a ib

3 Géométriquement : Si M est l image de dans le plan muni du repère O ; u r ; v r alors M l image de est le symétrique de M par rapport à l axe des ( ) abscisses. Le conjugué d une somme est la somme des conjugués : + ' = + ' Le conjugué d un produit est le produit des conjugués : ' = ' Le conjugué de l inverse du conjugué : 1 De plus on a R = 1 ( + ), 1 ( ) 1 = I = et = Addition Si M est le représentant de, si M est le représentant de M uuur uuuur uuuuur Alors P est le représentant de +, on a OP = OM + OM ' Produit Si = a + i b et si = a + ib Donc = aa + bb + i ( ab + a b ) Alors : ( cos isin ) ( i ) ρρ i ( ) ρρ ( ) i ( ) = ρ Θ + Θ ' = ρ ' cos Θ ' + sin Θ' ' = ' cos Θcos Θ' sin Θsin Θ ' + cos Θcos Θ ' + sin Θsin Θ' ' = ' cos Θ + Θ ' + sin Θ + Θ' Théorème Pour tout et ' on a : ( i ) ( Θ ) = cos( Θ) ( ( ) i ( )) ' = ' arg ' = arg + arg ' + kπ cos Θ isin Θ 1 = = = cos Θ sin Θ ρ cos Θ + sin Θ ρ cos ² Θ + sin ² Θ ρ cos 1 1 = cos Θ sin Θ ρ ( i )

4 Pour tout * on a Formule de Moivre 1 1 = 1 arg = arg + kπ cos nθ + i sin nθpour tout entier n on a pour tout complexe ( cos sin ) = ρ Θ + Θ n n n i n Formule d Euler Pour tout Θ on a cos Θ + i sin Θ = iθ iθ e + e e cos Θ = et sin Θ = Démonstration cos Θ + isin Θ = e ( ) ( ) iθ e i iθ i e Θ iθ cos Θ + i sin Θ = e = cos Θ isin Θ cos Θ i sin Θ = e iθ cos Θ = e + e iθ iθ iθ Utilisation des formules d Euler : Linéarisation des expressions trigonométrique, soit la transformation d une écriture avec des sinx et cosx élevé à des puissances en une expression ou ne figure que des cos(nx) et sin(nx) de degré 1 Exemple : ix ix 3 3 e + e i x ix ix ix ix ix ( ) cos x = = e + 3e e + 3e e + e 8 i3x i3x ix ix i x i x ix ix ix ix e + e e + e ( ( )) ( ) x = e + e + e + e = + = x + x cos 3 3 cos 3 3cos 4. Equation du second degré a. Equation à coefficient réel a² + b + c = 0 a, b, c On calcul le discriminant Δ : = b² 4ac

5 b b + Si > 0 on a deux solutions réelles : = et : ' = a a Si < 0 on a deux solutions complexes conjuguées b i et : ' b + i = = a a b Si = 0on a une solution double réelle = a Exemple 3 ² + 1 = 0 = b² 4ac = 8 < 0 ( ) i ( 8) 1 i ( ) + i ( 8) 1+ i = = et : ' = = b. Equation à coefficient complexe Ce type d équation à toujours solutions de type complexe. Le problème qui se posse et de trouver les racines du discriminant qui est lui-même complexe Exemple ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) = b² 4ac = 1+ i i = + i i = 4 + i i = 8i i = i Pour utiliser la méthode il nous faut trouver a et b tel que (a + ib)² = i a² b² + iab = i a² b² = 0 ab = 48 Par ailleurs : a + ib = i i = = 5 a² + b² = 5 a² + b² = 5 a² + b² = 5 a² + b² = 5 a² b² = 0 1 a² = 7 a² = 36 a = 6 a = 6 ab 48 ab 4 ab 4 = = = b = 4 b = 4 Solution : 6 + 4iou 6 4i Solution de l équation ( ) 6 + 4i = i

6 ( i) i 1 = = ( 1+ i) 3 i = 4 3i ( 1+ i) i = = 1 i + 3+ i = + i Solution de ( i) ( i) - 4 3i + + 1i 5. Ligne de niveau ² = 0 Le plan étant muni du repère orthonormé, on appelle ligne de niveau N K d une fonction f de l ensemble des complexes dans les réels, l ensemble des points M d affixe tel que f() = K a. Ligne de niveau de f : f : R ( ) Soit la variable de la fonction = x + i y f = k R = k x = k ( ) ( ) La ligne de niveau k de la fonction f : ( ) b. Ligne de niveau de f : I ( ) Soit la variable de la fonction = x + i y f = k I = k y = k ( ) ( ) La ligne de niveau k de la fonction f : ( ) R est la demie droite d équation x = k I est la droite d équation y = k c. Ligne de niveau de f : et : k > 0 Soit la variable de la fonction = x + i y f ( ) = k x² + y² = k 0 = x² + y² k² M() : l ensemble des points M tel que OM = k est le cercle C ( O ; k ) La ligne de niveau k de la fonction f : et : k > 0 est le cercle de centre O et de rayon k d. Ligne de niveau de f : α et : k > 0 : et : α Soit M et A d affixe respective et α : α = AM L ensemble des points M tel que AM = k est le cercle de centre A et de rayon k α = a + i b

7 x a + y b k = 0 L équation de cercle est ( ) ( ) La ligne de niveau k de la fonction f : α et : k > 0 : et : α est le cercle de centre A(α) et de rayon k e. Ligne de niveau de la fonction f : arg ( ) r uuuur Soit M le point d affixe et f () = k donc ( u; OM ) Les points M sont sur la demi-droite d origine sauf que M ne peut pas être à l origine La ligne de niveau k de la fonction f : arg ( ) forme un angle avec l axe des abscisses de mesure k. = k f. Ligne de niveau de la fonction ( α ) est la demi droite d origine O sauf O, qui f : arg et : α La ligne de niveau k de la fonction ( α ) A(α) qui forme un angle avec l axe des abscisses de mesure k. f : arg et : α est la demi droite d origine 6. Transformation géométrique associé à des fonctions de C dans C a. Translation : fonction f : + β : et : β uuuuur MM ' = + uuuuur MM ' = β uuuuur uuur MM ' = OB ( β ) La translation géométrique associée à la fonction f : + β : et : β est la translation de uuur vecteur OB d affixe β b. Symétrie axiale : fonction f : Soit M l image de alors M l image de est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses La translation géométrique associée à la fonction f : est la symétrie d axe, celui des abscisses i c. Rotation : fonction f : e Θ i Soit M l image de et M celle de f : e Θ On a arg ' = arg + Θ + kπ et comme ' M est obtenu à partir de M par la rotation de centre O et d angle θ =

8 i La translation géométrique associée à la fonction f : e Θ est la rotation de centre O et d angle θ OM d. Homothétie : fonction f : k : et : k Soit M l image de et M celle de = k ' = k arg ' = arg k + arg + kπ arg k = 0 + arg ' = arg + kπ arg k = π arg ' = π + arg + kπ ( OM ) M ' mais OM ' = k OM suivant la valeur de k ; OM sera plus grand ou plus petit que La translation géométrique associée à la fonction f : k : et : k est l homothétie de centre O et de rapport k Si k = 1 la transformation associée à l identité : M = M M ' OM et OM ' > OM Si k > 1 ( ) Si 0 < k < 1 M ' [ OM ] et OM ' < OM Si k = - 1 M est les symétrique de M par rapport à O * Si k M ( OM ) mais à la demi-droite opposée Propriété d une homothétie Les longueurs sont multipliées par k Les angles associés sont conservés L image d une droite est une droite parallèle L image d un cercle de centre A et de rayon R est un cercle de centre A = f(a) et rayon k R

9 7. Transformation associé à 1 La transformation géométrique associée à la fonction f ( ) Soit M l image de et M l image de 1 = est l inversion complexe On pose : = x + iy ' = x ' + iy ' On a donc : 1 x + iy x y x ' + y ' = x ' + y ' = x ' + y ' = + i x ( iy) ' ' x + iy x + y x + y x y Donc x ' = ; y ' = x + y x + y x ' y ' Inversement : x = ; y = x ' + y ' x ' + y ' Image d une droite On suppose que M appartient a la droite (D) d équation ax + by + c = 0. On remplace x et y dans l équation et on peut affirmer que M appartient à l ensemble des points ax ' by ' d équations : + c = 0 x ' + y ' x ' + y ' Soit ax by cx cy ' ' + ' + ' = 0 Si c = 0 Alors M appartient a la droite d équation ax ' by ' = 0sauf le point O (0; 0) car ( x ; y ) n est pas nul. Comme (D) a pour équation ax + by + c = 0, (D ) est symétrique de (D) a pour équation ax + by = 0. Si c = 0 (D ) est symétrique de (D) par rapport à ( O ; u r ) Si c est différent de 0 (D) ne passe pas par O (0; 0) Dans l équation ax ' by ' + cx ' + cy ' = 0on divise par c cx ' ax ' cy ' by ' ' ' + ' + ' = 0 => + + = 0 ax by cx cy x ax ' c by ' c ' + + ' = 0 y Double produit c c c c

10 a a b b a² + b² x ' + x ' + + y ' y ' + = 0 c c c c 4 c² a b a² + b² x ' + + y ' = c c 4c² a b On reconnaît l équation d un cercle de centre Ω ; c c et de rayon a² + b² 4 c² Ce cercle est privé de O car ( x ; y ) n est pas nul. Cas particulier L image de la droite d équation x= k avec k non nul x ' Si M appartient à la droite (D) d équation x = k alors x ' + y ' = k x ' = + = + = x ' y ' 0 x ' y ' 0 x ' y ' k k 4k k k L image par l inversion complexe x = k et k non nul est 1 le cercle de centre Ω ;0 k et de rayon 1 k Si K = 0 M est sur l axe des ordonnées x = 0 et M est aussi sur l axe des ordonnées sauf O (0 ; 0) x = 0 et M est aussi sur l axe des ordonnées sauf O (0 ; 0)