1. Les nombres complexes

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1 . Les nombres complexes.. Introduction L objectif aujourd hui est d introduire un nouvel ensemble de nombres qui convient pour donner une solution à l équation i... Un peu d histoire! Son utilisation provient des équations du 3 et 4 ème degré pour permettre leur résolution. Au XVIème siècle, Bombelli les appelle impossible. En 637, Descartes les appelle imaginaire. C est avec Euler, en777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul..3. L ensemble des nombres complexes Nous admettons ici l existence d un nouvel ensemble noté C, de nombres appelés nombres complexes. Définition : Les nombres complexes sont de la forme a + bi où a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que i Egalité : a + bi a + b i ssi a a et b b + 3i 3i 4 sont des complexes.4. Opérations sur les nombres complexes Théorème : (admis) On peut définir dans C une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans R, avec i Addition : Multiplication : a + ib et a +ib a + ib et a +ib + (a + a ) + i(b+b ) (aa bb ) + i(ab +a b) L ensemble R des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble C des nombres complexes. BTS MAI EPoulin 8/03/09 page

2 Définitions Soit a + bi un nombre complexe. a est la partie réelle de. Notation: a Re(). b est la partie imaginaire de. Notation: b lm(). a + bi est la forme algébrique du nombre complexe. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s'écrit bi; il est dit imaginaire pur. Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes: Notons ce nouveau résultat dans C : a + b (a + i b)(a - i b)..5. Représentation géométrique d un nombre complexe. Image et affixe r r On considère le plan P muni du repère orthonormal ( O, u, v) Définitions L image d un nombre complexe a + bi est le point M de coordonnées (a,b). L affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe a + bi. On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur. Définitions r r Le vecteur image du nombre complexe a + bi est le vecteur OM au + bv r r L'affixe du vecteur OM au + bv est le nombre complexe a + bi.. Opérations Addition Si a + b i et a + b i sont les affixes respectives de M et de M donc de OM V et de OM V, alors + est l'affixe de V + V Exemple Multiplication par un nombre réel Si a + b i est l affixe de M donc de OM V, et si α est un nombre réel, alors α est l'affixe de α V Exemple Conséquence: - est l affixe de V V M M BTS MAI EPoulin 8/03/09 page

3 .6. Conjugué d un nombre complexe Définition Le nombre complexe conjugué de a+ bi est le nombre complexe noté a- bi noté. Exemple Le conjugué de 3 + i est. Remarque Soit a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : + a et a + b La somme et le produit d'un nombre complexe et de son conjugué sont des nombres réels. L inverse d'un nombre complexe non nul noté de. peut être mis sous la forme bi a + en utilisant le conjugué Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe + 3i, puis 4i + 3i Pour tous nombres complexes, ', on a : Forme trigonométrique. Représentation géométrique. Module d un nombre complexe.. Définition. Interprétation géométrique Dans le plan complexe, soit M l'image de a + bi. En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient: OM a + b, donc OM a + b. b Définition Le module d'un nombre complexe a + bi est le nombre réel a + b Notations Le module d'un nombre complexe est noté ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et ρ ( ρ est la lettre grecque rhô). a BTS MAI EPoulin 8/03/09 page 3

4 Remarques Pour tout nombre complexe, on a 0. O est le seul nombre complexe dont le module est 0. Pour tout nombre complexe, on a a + b Donc pour tout nombre complexe, Pour tout nombre complexe, on a Interprétation géométrique.. Le module de est la distance de O à M ;c'est aussi la norme du vecteur OM : OM OM Propriété :.. Module d'une différence, distance de deux points Soit et des nombres complexes d'images respectives M et M. Alors M M Propriété :.3. Module d'une somme: inégalité triangulaire Pour tout nombre complexe et, + +. Argument d un nombre complexe non nul.. Définition. Interprétation graphique Dans le plan complexe, soit M l'image d'un nombre complexe non nul a + bi, le repère ( O, u, v) dans le sens direct. Nous savons que M est caractérisé par la distance OM l'angle orienté r u, ON et une mesure de l'angle orienté, N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique. Or, par définition des fonctions sinus et cosinus : Comme OM x N cos et y N sin OM ON puisque ON est unitaire, on a : a a + b cos et b a + b sin On en déduit cos et sin en fonction de a et de b. r r étant orienté r u, OM ou de Définition Un argument d'un nombre complexe non nul a + bi est un nombre réel tel que a cos a + b et b sin a + b O N A M() BTS MAI EPoulin 8/03/09 page 4

5 Interprétation géométrique Un argument de (non nul) est une mesure de l'angle orienté r u, OM. Il est donc défini à un nombre entier de tours près (sur le cercle trigonométrique), c'est-à-dire à kπ près, où k est un nombre entier relatif ( k Z), car un tour dans le sens positif mesure π radians. Un argument de est noté arg, ou plus simplement. Le module et l argument d un nombre complexe permettent de définir les coordonnées polaires du point d affixe. On notera ces coordonnées [ A ; ] Module Remarques Rappelons les valeurs remarquables de sin et cos 0 π 6 π 4 π 3 π M M sin x 0 cos x ; arg( ) arg 3 de,, est une mesure de l angle orienté est une mesure de l angle orienté M M M M 3 Ces résultats sont utilisés en sciences physiques. 0 r u, M M Argument principal, où M, M, M 3 sont les images respectives.. Forme trigonométrique Un nombre complexe a + bi peut donc être défini par son module et s il n est pas nul, par son argument Nous avons vu d autre part que a On peut donc écrire sous la forme r cos et b r sin où r a + b ( cos sin ) r + i Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de. Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, on calcule r a + b et on détermine tel que cos a r et sin b r Exemples Déterminer le module et un argument de Puis écrire leur forme trigonométrique + i i 3 π π 3 cos i sin 4 4 Soit un nombre complexe de module 3 et d argument 6 π. Ecrire sa forme algébrique BTS MAI EPoulin 8/03/09 page 5

6 Théorème Quels que soient les nombres complexes et ' non nuls ' ' où k est un entier relatif arg ' arg + arg ' + kπ ( ) ( ) ( ) arg arg + kπ où k est un entier relatif ' ' arg arg arg ' +kπ où k est un entier relatif '.8. Lignes de niveau Théorème Soit 0 un nombre complexe donné d'image M 0 dans le plan complexe. La ligne de niveau de la fonction a Re ( ) correspondant au niveau k est la droite parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation x k La ligne de niveau de la fonction a Im ( ) correspondant au niveau k est la droite parallèle à l'axe des abscisses, d'équation y k). La ligne de niveau de la fonction a 0 correspondant au niveau positif k est le cercle de centre M 0, image de 0, et de rayon k. La ligne de niveau de la fonction a arg( 0 ) correspondant au niveau Exemple : (au nombre de tours près) est la demi-droite d'extrémité M 0 (non comprise) r r r et de vecteur directeur u, u soit. u tel qu'une mesure de l'angle orienté ( ).9. Equations du second degré : TP BTS MAI EPoulin 8/03/09 page 6

7 .0. Forme exponentielle. Formule de Moivre et d Euler. Notation exponentielle Nous avons vu au paragraphe précédent qu un argument d'un produit est la somme des arguments. Ce résultat sur les arguments liant un produit à une somme ressemble à x x x produit est la somme des exposants. Aussi on adopte une nouvelle notation «de type puissance» pour la partie cos trigonométrique ne faisant intervenir que l'argument. Définition n m n+ m où l'exposant d'un + i sin de la forme Pour tout nombre réel, on pose cos + i sin Remarque : e i se lit «e puissance i thêta». Avec cette notation, le nombre complexe de module r et d'argument s'écrit : e i re i Exemples + r v i e i π e iπ r u i e e 0 iπ Reprendre les exemples précédents en les écrivant sous forme exponentielle i e i π Dans le cas particulier où r, on a e i ; son image est sur le cercle trigonométrique. Propriétés Pour tous nombres réels et ', r et r, on a : ( ) e i e i e i + ' re r' e rr' e i re r e i re r ( ) i et r e r e i ' i ' ' ' Soit e i produit de nombres complexes. ' ' i i i ( + '). Formule de Moivre un nombre complexe non nul., donc r e i 3 De même, donc 3 r 3 e 3i Nous avons également établi que et ainsi de suite pour 4 est égal à r e i r e On en déduit que est égal à r e i On peut ainsi démontrer que i et ainsi de suite d'après les résultats obtenus sur le BTS MAI EPoulin 8/03/09 page 7

8 Théorème : Pour tout nombre complexe non nul et tout nombre entier relatif n n n n et arg( ) n arg( ) + kπ où k est un entier relatif Avec la notation exponentielle : Conséquence : i ( re ) n n r e in Si ρe i est un nombre complexe, alors e ρ i Formule de MOIVRE Pour tout entier relatif n : ( ) n cos + i sin cosn + i sinn 3. Formule d Euler Pour tout nombre réel on a : e e i i cos + i sin cos i sin Par addition et soustraction membre à membre on obtient: Formule d EULER i Pour tout entier relatif n : cos ( + i ) e e i e i et sin ( e i ) Exemples d utilisation (On dit qu on linéarise.) sin 3x cos x Démonter que cos x ( + cos( x) ) Linéariser ( ) ( ) BTS MAI EPoulin 8/03/09 page 8