Traitement du Signal. Rect, Delta et le Produit Scalaire

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1 raiemen du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG roisième Bimesre 999/00 Séance : 3 mars 000 Rec, Dela e le Produi Scalaire Quelques Signaux héoriques... ) Le Sau unié ou échelon d'heaviside... ) Signal recangulaire... 3) La foncion Dela...4 4) Suie Périodique d impulsions de dela...6 Produi Scalaire de deux signaux...7 Signaux Orhogonales...8 Quelques Ideniés : j = - π = π f = ω

2 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance Quelques Signaux héoriques Les signal héorique son les ouils d'analyse. ) Le Sau unié ou échelon d'heaviside () 0 Cee foncion peu se définir à parir de la foncion signe : Discrè : Coninu : (n) = 0 n < 0 n 0 () = 0 < 0 > 0 ) Signal recangulaire Cas Discrè : Causal : w N (n) = 0 n < N 0 sinon non-causal : rec N (n) = N n N - 0 sinon -

3 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance Cas Coninu : rec() rec() Ce signal es défini par la foncion recangulaire normalisée (inégrale unié) ou foncion pore de la manière suivane : rec() < < 0 sinon on noe que : rec() = ( + ) ( ) On peu placer la rec à la emps 0 par rec(- 0 ). On peu alonger une rec par le changemen de variable 0 =. la foncion recangulaire généralisée : arec() = A rec(( - 0 ) / ) une impulsion recangulaire de durée, d'ampliude A e cenrée sur = 0. A A o o + Cee foncion es souven uilisée comme faceur muliplicaif d'une foncion quelconque pour représener une porion limiée dans le emps (durée ) de cee foncion. -3

4 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance 3) La signal Dela : Dela Discrè : δ(n) n = 0 0 n 0 Dela Analogique : Le signal dela es formellemen définie par le produi scalaire suivan : <x(),δ()> = x() δ() d = x(0) C'es un opéraeur d'échanillonnage que resiue la valeur x(0) d une foncion x(). Sa dimension es l inverse de celle de la variable d'inégraion. D une manière plus générale, pour oue foncion x() coninue on a: x( 0 ) = x() δ( 0 ) d La disribuion dela peu êre considérée comme la limie d'un impulsion de durée e de haueur lorsque 0. δ() = Lim 0 { rec( )} x() - 0 Inérê du signal dela : Le signal dela es uilisé pour localiser la valeur d'une foncion x() en = 0. -4

5 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance Propriéés du dela : ) δ( - 0 ) = 0 0 ) δ( - 0 ) d = < 0 < Noa : que la valeur de δ( - 0 ) à 0 es indéerminé. 3) x() δ() = x(0) δ() 4) x() δ( - 0 ) = x( 0 ) δ( - 0 ) à condiion que x() soi une foncion coninue en =0 e = 0. Représenaion graphique convenionnelle de δ( - 0 ) : une flèche vericale en = 0 de longueur proporionnelle au poids C C C δ( - ) o o -5

6 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance 4) Suie Périodique d impulsions de dela Une suie d impulsions de dela se répéan sur l'axe du emps avec une période sera noée par concision δ Τ () δ Τ () = δ( k) k= Cee suie es parfois appelée foncion d'échanillonnage ou peigne de Dirac. δ ( )

7 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance Produi Scalaire de deux signaux Signaux Discrès : ) soi x(n) e y(n) deux signaux réel pour n [0, N-] Le produi scalaire de x(n) e y(n) es : N- <x(n), y(n)> = x(n) y(n) n=0 ) soi x(n) e y(n) deux signaux complexes pour n [0, N-] c.-a.-d. x(n) = x r (n) + j x i (n), y(n) = y r (n) + j y i (n) N- N- <x(n), y(n)> = x(n) y*(n) = (xr (n) + j x i (n)) (y r (n) j y i (n)) n=0 n=0 Pour deux signaux coninus : N- = (xr (n)y r (n) + x i (n)y i (n)) + j (x i (n) y r (n) x r (n) y i (n)) n=0 ) Le produi scalaire de deux signaux réel x() e y() defini pour x() <x(), y()> = y() d ) Le produi scalaire de deux signaux complexe x() e y() apparenan à L (, ) es x() (xr <x(), y()> = y *() d = () + j x i ()) (y r () j y i ()) d -7

8 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance [ = xr () y r () + x i () y i () ] + j [x i ()y r () x r ()y i ()] d La norme d un signal es x() = <x(), x()> Le produi scalaire possède la symérie hermiienne <x(), y()> = <y(), x()>* Signaux Orhogonales Cas Discrè : Deux signaux, x(n), y(n) son orhogonales sur l inervalle [n, n ] si leur produi scalaire es nul : n x(n) <x(n), y(n)> = y*(n) = 0 n=n Cas Coninu : Deux signaux, x(), y() son orhogonales sur l inervalle [, ] si leur produi scalaire es nul : x() <x(), y()> = y*() d = 0 Noa : La spécificaion de l inervalle es imporane!! -8

9 Signaux héorique e Produi Scalaires Séance Exemples des Signaux orhogonales : ) Les signaux x n () = δ( - n ) pour n = 0,..., N sur [0, N ]. ) Les signaux suivan son orhogonales sur [0, ]. x() x () x3() x 4 () ) Les exponeniels complexes : e ±jω = Cos(ω ) ± j Sin(ω ) Les exponenielles formen une base orhogonale sur [, ] : < e jω 0, e jω > = e jω 0 e -jω d = ω 0 = ω 0 sinon = cos(ωο )cos(ω )+sin(ω ο ) sin(ω ) + j(sin(ω ο )cos(ω ) cos(ω ο )sin(ω )) d -9

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