Chapitre II. Nombres complexes et trigonométrie

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1 L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB 0-0 D. Blottière Mathématiques Chapitre II Nombres complexes et trigonométrie Table des matières Nombres complexes et forme algébrique Représentation graphique d un nombre complexe 3 3 Conjugaison complexe 5 4 Module d un nombre complexe 6 5 Rappels de trigonométrie 7 5. Enroulement de la droite réelle autour du cercle unité Définition du cosinus et du sinus d un nombre réel Valeurs remarquables de cosinus et de sinus Formules de trigonométrie Les nombres complexes de la forme e iθ, avec θ R 9 7 Les formules d Euler 0 8 Les formules de de Moivre 0 9 Nombres complexes de module 0 0 Formes trigonométriques et arguments d un nombre complexe non nul Synthèse sur trois aspects des nombres complexes 3 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels 3 3 Somme et produit des racines d un trinôme du second degré à coefficients réels 4 4 Équations trigonométriques 5 4. Cas d égalité de cosinus, cas d égalité de sinus Étude de l équation acos(x)+bsin(x) = c, avec a,b R et c R

2 Nombres complexes et forme algébrique Théorème (existence et caractérisation de l ensemble des nombres complexes) : Il existe un unique ensemble muni d une addition et d une multiplication, appelé ensemble des nombres complexes, noté C, vérifiant :. C contient R;. l addition et la multiplication dans C prolongent celles de R et suivent les mêmes règles de calcul; 3. il existe un élément i de C vérifiant i = ; 4. tout élément z de C s écrit de manière unique sous la forme : appelée forme algébrique de z. z = a+ib, avec a et b réels Remarques. Soit a R. Alors, d après le. du théorème, on a : a C. Sa forme algébrique est : a+i0 que l on note simplement a.. La forme algébrique du nombre complexe i est : 0+i que l on note simplement i. Exemple : Les nombres +i, i et 3 i sont des nombres complexes. 7 Définition (partie réelle, partie imaginaire, module d un nombre complexe) : Soit z C. Alors d après la propriété 4 du théorème, il existe un unique couple (a,b) R tel que : z = a+ib. On dit que :. a est la partie réelle de z et est notée Re(z);. b est la partie imaginaire de z et est notée Im(z); Remarques. La partie réelle et la partie imaginaire d un nombre complexe sont des nombres réels.. On peut reformuler la propriété 4 du théorème comme suit. Pour tout z,z C, on a : Re(z ) = Re(z ) z = z et. Im(z ) = Im(z ) On peut ainsi ramener une égalité entre nombres complexes à deux égalités entre nombres réels; ceci peut s avérer très utile dans la résolution de certaines équations mettant en jeu des nombres complexes (cf. exercices 5 et 6). Exercice. Simplifier l écriture de : i, i 3, i 4, i 5, i 6, i 7, i 8, i 9.. (a) Soient z et z les nombres complexes définis par : z = i ; z = +3i. Déterminer la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants. a) z +z b) z z c) z d) z e) z z f) (z +z ) g) z +z z +z h) (z z ) i) z z z +z j) z z k) (z z )(z +z )

3 (b) Qu observe-t-on? Propriété (caractérisation des nombres réels) : Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, i.e. : z C z R Im(z) = 0. Définition (imaginaire pur) : Un nombre complexe est appelé imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. Exemple : Les nombres i, 9 i et i 7 sont des imaginaires purs. Exercice : Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a : z R z R ou z est imaginaire pur. Théorème (inversibilité et inverse d un nombre complexe non nul) : Soit z un nombre complexe non nul.. Il existe un unique nombre complexe z, appelé inverse de z, noté z ou, tel que : z zz = z z =.. Si z = a+ib (a,b R) est la forme algébrique de z, alors la forme algébrique de z est donnée par : z = a a +b i b a +b. Notation : Si z et z sont deux nombres complexes, alors on note : le nombre complexe z z = z z. Exercice 3 : Soient z et z les nombres complexes définis par : z z z = 3i Déterminer la forme algébrique de z et de z. ; z = 3 4i +i. Représentation graphique d un nombre complexe Pour toute la suite de ce texte, on fixe un repère orthonormé (O; i, j ) du plan. Définition (point du plan associé à un nombre complexe) : Soit z R. On note z = a+ib (a,b R) sa forme algébrique. On définit le point M(z) du plan comme étant le point du plan de coordonnées (a,b) dans le repère (O; i, j ). Le point M(z) est appelé point du plan associé à z. Exemple 3 : Ci-dessous, est représenté le point M(3+i) associé au nombre complexe 3+i. 3

4 3 M Exercice 4 : Représenter graphiquement les points suivants. a) M(0) b) M() c) M( 3) d) M(i) e) M( i) f) M(5+i) g) M(5 i) h) M( 5+i) Définition (affixe d un point du plan) : Soit M un point du plan, de coordonnées (a, b) dans le repère (O; i, j ). On appelle affixe de M, et on note z M, le nombre complexe a+ib. Exemple 4 : On considère les trois points M, M et M 3 du graphique suivant. 6 5 M M M L affixe de M est z M = +i, celle du point M est z M = 3 i et celle du point M 3 est z M3 = 4+5i. Propriété (C est en bijection avec les points du plan) : L application : z M(z) de C vers l ensemble des points du plan est bijective. Sa bijection réciproque, qui va de l ensemble des points du plan vers C, est donnée par : M z M. Remarques. Cette correspondance biunivoque entre C et l ensemble des points du plan nous permettra de visualiser non seulement C lui-même, mais aussi plusieurs notions introduites ci-après. Elle ne sera utilisée, ici, que comme un moyen de rendre concrets des concepts, qui, sans l illustration géométrique, seraient peut-être moins évidents à saisir.. On souligne que ce lien ténu entre C et l ensemble des points du plan fournit un outil puissant pour démontrer des résultats en géométrie, par exemple, via des calculs sur les nombres complexes. Cet aspect des nombres complexes n est pas au programme de TB. 4

5 Exercice 5 : Montrer que l ensemble E des points M du plan d affixe z vérifiant : z est imaginaire pur est la réunion de deux droites du plan. On donnera une équation cartésienne de chacune de ces droites et on les représentera graphiquement. 3 Conjugaison complexe Définition (conjugué d un nombre complexe) : Soit z un nombre complexe, de forme algébriquez = a+ib (a,b R). On définit le conjugué de z, noté z, par : z = a ib. Exemple 5 : Le conjugué de z = +3i est z = 3i, celui de z = i est z = +i. Exercice 6 : Résoudre l équation : d inconnue z C. (E) : iz z = +i Théorème 3 (caractérisation des réels et des imaginaires purs) : Soit z C. On a les deux équivalences suivantes.. z R si et seulement si z = z.. z est imaginaire pur si et seulement si z = z. Propriété (représentation graphique du conjugué d un nombre complexe) : Soit z C. Alors le point du plan M(z) associé à z est le symétrique du point du plan M(z) associé à z par rapport à l axe des abscisses (Ox). M(z) M(z) Remarque : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs conjugués sont égaux. Théorème 4 (propriétés algébriques de la conjugaison complexe). z,z C z +z = z +z. z,z C z z = z z 3. z,z C z z = z z ( ) 4. z C = C\{0} = z z 5. z C z C ( z z ) = z z Exercice 7 : Soit n N. Montrer que le nombre complexe Z défini par : est réel. Z = (3+4i) n +(3 4i) n 5

6 4 Module d un nombre complexe Définition (module d un nombre complexe) : Soit z un nombre complexe, de forme algébrique z = a+ib (a,b R). On définit le module de z, noté z, par : z = a +b. Remarque : Le module d un nombre complexe est un nombre réel positif ou nul. Exemple 6 : Le module de z = i est z = +( ) = 5. Propriété (interprétation géométrique du module d un nombre complexe) :. Soit z C. Alors le module de z est égal à la distance OM(z) de l origine O au point du plan M(z) associé à z.. Soient z,z C. Alors z z est égal à la longueur M(z )M(z ). z z = M(z )M(z ) 5 M(z ) 4 3 M(z) M(z ) z = OM(z) O Exercice 8 : Calculer, i, +i et +i. Exercice 9 : Montrer que l ensemble C des points M du plan d affixe z vérifiant : z +i = 50 est un cercle. On donnera une équation cartésienne de ce cercle et on le représentera graphiquement. Théorème 5 (propriétés du module). z C zz = z. z,z C z z = z z 3. z C z = z 4. z C z C z = z z z 5. z,z C z z z +z z + z (inégalité triangulaire) Exercice 0 : Soient z et z les nombres complexes définis par : z = 3 4i ; z = + i.. Calculer z et z.. Calculer z +z, z z et 3. Soit n N. Calculer z n. z z. 6

7 5 Rappels de trigonométrie 5. Enroulement de la droite réelle autour du cercle unité Soient (O; i, j ) un repère orthonormé du plan. On note : I le point du plan tel que OI = i ; I le symétrique de I par rapport à O; J le point du plan tel que OJ = j ; J le symétrique de J par rapport à O. C J m(x) x Soit C le cercle de centre O et de rayon. La tangente au cercle C en I, graduée comme il est indiqué ci-contre, représente l ensemble R des nombres réels. On enroule cette droite autour du cercle C. Ainsi, à chaque nombre réel x de la droite correspond un point de C, noté m(x). I O I 0 Comme le périmètre du cercle C (de rayon ) vaut π, par cet enroulement, le réel 0 est envoyé sur I, donc m(0) = I; π est envoyé sur J, donc m(π ) = J ; π est envoyé sur J, donc m( π ) = J ; π est envoyé sur I, donc m(π) = I ; π est envoyé sur I, donc m(π) = I. J R 5. Définition du cosinus et du sinus d un nombre réel On conserve les notations introduites dans la section précédente. Définition (cosinus et sinus d un réel) : Soit x R. Le cosinus de x, noté cos(x), est l abscisse du point m(x). Le sinus de x, noté sin(x), est l ordonnée du point m(x). C J sin(x) m(x) x Remarque : On a vu dans le cours de géométrie dans le plan qu il existe un lien ténu entre le cosinus et le produit scalaire de R. Exemple 7 De m(0) = I, on déduit cos(0) = et sin(0) = 0. De m( π ) = J, on déduit cos(π ) = 0 et sin(π ) =. De m(π) = I, on déduit : cos(π) = et sin(π) = 0. I O cos(x) I 0 Exercice : Appliquer le théorème de Pythagore à des triangles bien choisis, pour répondre aux questions suivantes.. Déterminer cos( π 4 ) et sin(π 4 ).. Déterminer cos( π 3 ) et sin(π 3 ). R J 5.3 Valeurs remarquables de cosinus et de sinus La table des valeurs de cosinus et sinus suivante, est à connaître par coeur, ou (mieux) à savoir retrouver à l aide du cercle trigonométrique. 7

8 x 0 π 6 π 4 π 3 π π 3 3π 4 5π 6 π cos(x) sin(x) 5.4 Formules de trigonométrie Propriétés (élémentaires du cosinus et du sinus). Pour tout θ R : cos(θ) et sin(θ).. Pour tout θ R, k Z : cos(θ +kπ) = cos(θ) et sin(θ +kπ) = sin(θ). 3. Pour tout θ R : 4. Pour tout θ R : cos( θ) = cos(θ) et sin( θ) = sin(θ). cos (θ)+sin (θ) =. Éléments de preuve : Ces propriétés se déduisent directement de la définition géométrique du cosinus et du sinus. La dernière est une conséquence du théorème de Pythagore. Propriété (transformation d un cosinus en sinus et réciproquement) : Soit x R. ( π ). cos x = sin(x) ( π ). sin x = cos(x) Éléments de preuve : On peut démontrer ces deux propriétés en utilisant : la définition géométrique du cosinus et du sinus; la symétrie par rapport à la première bissectrice qui échange abscisse et ordonnée. Théorème 6 (formules d addition) : Soient a,b R.. cos(a+b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b). cos(a b) = cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) 3. sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) 4. sin(a b) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b) Idée de preuve : On peut démontrer la formule. en utilisant le lien entre cosinus et produit scalaire. On en déduit alors les 3 autres, grâce aux propriétés élémentaires du cosinus et du sinus, et aux transformations de cosinus en sinus et réciproquement. Propriété (formules de duplication) : Soit x R.. cos(x) = cos (x) sin (x). sin(x) = sin(x) cos(x) Preuve : Les formules de duplication se déduisent des formules d addition (en posant a = b = x dans la formule ad hoc). 8

9 Remarque : Un des intérêts de ces formules de duplication est qu elles permettent de calculer des primitives de cos et donc de sin sur R (cf. exercice ci-dessous). Exercice. (a) Exprimer cos (x) en fonction de cos(x) pour tout x R. (b) En déduire une primitive de la fonction cos sur R.. Donner une primitive de la fonction sin sur R. 6 Les nombres complexes de la forme e iθ, avec θ R Définition (e iθ, avec θ R) : Soit θ R. On définit le nombre complexe e iθ par : e iθ = cos(θ)+isin(θ). Propriété (interprétation géométrique de e iθ, avec θ R) : Soit θ R. Alors le point du plan M(e iθ ) associé à e iθ est le point du cercle trigonométrique qui est tel que θ est une mesure de l angle ( i, OM(e iθ )). C est aussi le point m(θ) associé à θ par l enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique. M(e iθ ) = m(θ) j θ O i Exercice 3 :Calculerles formesalgébriquesdee i0, e iπ, e iπ et e iπ 3 et placerles points d affixescorrespondantes sur le cercle trigonométrique. Théorème 7 (propriétés des nombres e iθ, avec θ R). Pour tout θ R : Re(e iθ ) = cos(θ) et Im(e iθ ) = sin(θ).. Pour tout θ R : 3. Pour tout θ R : 4. Pour tout θ R : 5. Pour tout θ,θ R : e iθ =. e iθ = e iθ. e iθ = e iθ. e i(θ+θ) = e iθ e iθ. Exercice 4 : Résoudre l équation : d inconnue z C. e iπ 3 z = e i π 6 9

10 7 Les formules d Euler Théorème 8 (formules d Euler) : Soit θ R. On a; cos(θ) = eiθ +e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ. i Exemple 8. (a) Soit x R. Linéariser cos 3 (x), i.e. écrire cos 3 (x) comme une somme de termes du type : acos(kx) et bsin(kx) (a,b Q, k N). (b) En déduire une primitive de cos 3 sur R.. (a) Soit x R. Linéariser sin 3 (x). (b) En déduire une primitive de sin 3 sur R. Remarque : Plus généralement, les formules d Euler permettent de linéariser les puissances de cosinus et de sinus, i.e. d écrire cos n (x) et sin n (x) (x R, n N) sous la forme d une somme de termes du type : acos(kx) et bsin(kx) (a,b Q, k N). Ceci est d un grand intérêt dans la recherche de primitives de puissances de cos ou de puissances de sin sur R. 8 Les formules de de Moivre Théorème 9 (formules de de Moivre) : Soit θ R, n N. On a; cos(nθ) = Re((cos(θ)+isin(θ)) n ) et sin(nθ) = Im((cos(θ)+isin(θ)) n ). Exemple 9. (a) Soit x R. Exprimer cos(4x) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x), i.e. comme une somme de termes du type : acos k (x) et bsin k (x) (a,b Q, k N).. (a) Soit x R. Exprimer sin(4x) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x). Remarque : Plus généralement, les formules de de Moivre permettent d écrire cos(nx) et sin(nx) (x R, n N) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x). 9 Nombres complexes de module On admet le théorème suivant qui joue un rôle crucial dans la suite. Il permettra de définir une autre forme que la forme algébrique pour un nombre complexe (non nul) : la forme trigonométrique. Théorème 0 (revêtement du cercle par la droite) : Soit z un nombre complexe de module.. Existence Il existe un réel θ tel que z = e iθ.. Unicité à un multiple entier de π près Si θ et θ sont deux nombres réels tels que z = e iθ et z = e iθ, alors θ et θ diffèrent d un multiple entier de π, i.e. : il existe k Z tel que θ = θ +kπ. 0

11 Éclairage géométrique sur le théorème 0. Existence : Soit z un nombre complexe de module et soit z = a+ib (a,b R) sa forme algébrique. Alors le point M(a,b) est sur le cercle trigonométrique (car OM = a +b = ). Si θ est une mesure de l angle ( i, OM), alors on a a = cos(θ) et b = sin(θ) et par suite : z = a+ib = cos(θ)+isin(θ) = e iθ. b M(a,b) = m(θ) j O θ i a. Unicité à un multiple de π près : Soit z un nombre complexe de module et soient θ et θ deux nombres réels tels que : z = e iθ et z = e iθ. Alors les points M(e iθ ) et M(e iθ ) du cercle trigonométrique sont confondus. Mais M(e iθ ), qui est par définition le point du plan d affixe e iθ, est également le point m(θ ) du cercle trigonométriqueassociéau réelθ par l enroulement de la droite réelleautour du cercle trigonométrique. De même M(e iθ ) est le point m(θ ) du cercle trigonométrique associé au réel θ par l enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique. Des trois points précédents, on déduit que les réels θ et θ diffèrent d un certain nombre de fois la circonférence du cercle trigonométrique. Enfin, le cercle trigonométrique est de rayon, donc de circonférence π. Exemple 0 : Le nombre complexe 3 5 +i4 5 est de module. Il existe donc θ R tel que 3 5 +i4 5 = eiθ, d après le théorème 0. On verra, dans un prochain chapitre, comment l on peut donner une valeur approchée d un θ vérifiant 3 5 +i4 5 = eiθ. Remarque : Le théorème 0 nous donne un résultat d existence et d unicité, modulo un multiple entier de π. En pratique, on rencontrera souvent des nombres a et b vérifiant a +b = qui sont des valeurs remarquables de cosinus et de sinus. On pourra alors, dans ces situations concrètes, donner un θ explicite. 0 Formes trigonométriques et arguments d un nombre complexe non nul Théorème/Définition (formes trigonométriques d un nombre complexe non nul) : Soit z C. Alors il existe r ]0,+ [ et θ R tels que : z = re iθ.. On dit que re iθ est une forme trigonométrique du nombre complexe z.. On a r = z, i.e. r est égal au module de z. Remarque : Soit z C. Alors si z = re iθ (r ]0,+ [ et θ R), alors r est unique (c est le module de z), mais θ ne l est pas. En effet, on a aussi :... = re i(θ 4π) = re i(θ π) = z = re i(θ+π) = re i(θ+4π) =... Plus généralement, on a z = re i(θ+kπ), avec k Z et ce sont les seules formes trigonométriques de z, comme nous l assure le théorème suivant.. Il existe d autres terminologies. Ici, on utilise celle de forme trigonométrique, mais on peut aussi rencontrer celles de forme exponentielle et de forme polaire.

12 Théorème/Définition (arguments d un nombre complexe non nul) : Soit z C.. Soient re iθ et re iθ deux formes trigonométriques de z (r ]0,+ [ et θ,θ R). Alors θ et θ diffèrent d un multiple entier de π, i.e. il existe k Z tel que θ = θ +kπ.. Soit re iθ (r ]0,+ [ et θ R) une forme trigonométrique de z. On dit que θ est un argument de z et on le note arg(z). Comme θ n est défini qu à un multiple entier de π près, on écrit : arg(z) = θ+kπ, avec k Z. Propriété (interprétation géométrique d un argument d un nombre complexe non nul) :Soitz C. Alors arg(z) est une mesure de l angle ( i, OM(z)). Si l on confond un angle et sa mesure, on a donc : i.e. : arg(z) = ( i, OM(z))+kπ, avec k Z. 5 4 M(z) 3 r = z j O i arg(z) 3 Méthode pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique : Soit z = a + ib un nombre complexe donné sous forme algébrique (a, b R). Pour calculer une forme trigonométrique de z, on peut procéder comme suit.. On calcule le module de z. Pour mémoire, on a z = a +b. On connaît donc déjà r = z.. On calcule un argument de z, en résolvant le système d équations trigonométriques : cos(θ) = a r (S) : sin(θ) = b r d inconnue θ R, en utilisant, dans les cas concrets, les valeurs remarquables de cosinus et sinus. 3. On conclut : une forme trigonométrique de z est re iθ, avec r = z et θ solution de (S). Exemple : Soient les nombres complexes : z = 3 ; z = ; z 3 = i ; z 4 = 3i ; z 5 = +i. Donner une forme trigonométrique de z, z, z 3, z 4, z 5 et (z 5 ). Théorème 3 (propriétés des arguments) :. z C arg(z) = arg(z)+kπ, avec k Z. z,z C arg(z z ) = arg(z )+arg(z )+kπ, avec k Z ( ) 3. z C arg = arg(z)+kπ, avec k Z z ( ) 4. z,z C z arg = arg(z ) arg(z )+kπ, avec k Z z

13 Exercice 5 : Soient les nombres complexes : z = 4 4i 3 ; z = +i.. Déterminer une forme trigonométrique de z et de z.. En déduire une forme trigonométrique de z,, z z et z. z z Synthèse sur trois aspects des nombres complexes On a vu trois aspects des nombres complexes : la forme algébrique; l interprétation géométrique; les formes trigonométriques. Le diagramme ci-dessous résume les liens féconds qui existent entre ces trois aspects. Interprétation géométrique Point M d affixe z 0 Forme algébrique : z = a+ib, avec a et b réels b M a est l abscisse de M b est l ordonnée de M r = a +b j O i r θ a a = rcos(θ) b = rsin(θ) θ est solution dans R de cos(θ) = a a +b = a r b sin(θ) = a +b = b r r = OM θ = ( i ; OM) [π] Forme trigonométrique : z = re iθ, avec r dans ]0,+ [ et θ dans R Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels Théorème 4 (solution(s) dans C de ax +bx+c = 0, avec a R, b,c R) : Soit un trinôme du second degré à coefficients réels ax +bx+c (avec a,b,c R et a 0 donc), et soit = b 4ac son discriminant.. Si = 0, alors l équation ax +bx+c = 0 a une unique solution : b a.. Si > 0, alors l équation ax +bx+c = 0 a deux solutions réelles : b a et b+. a 3. Si < 0, alors l équation ax + bx + c = 0 a deux solutions complexes conjuguées : b+i. a b i a et 3

14 Éléments de démonstration : On commence par mettre le trinôme du second degré sous forme canonique : ( ( ax +bx+c = a x+ b ) ( ) ) ( ( b + c = a x+ b ) ) ( ( b 4ac a a a a 4a = a x+ b ) ) a 4a. Ensuite, on cherche à écrire, qui est réel, comme un carré dans C. Si est positif, alors ( ) est bien défini et on a : =. Si est négatif, alors est positif et est bien défini. On vérifie que : ( i ) =. On applique alors la troisième identité remarquable : A B = (A B)(A+B) avec A = x+ b a et B = a si 0 i a si < 0 pour obtenir le résultat. La rédaction de la fin de la preuve est laissée en exercice. Exercice 6 : Résoudre dans C l équation : (E) : x +x+ = 0 et donner une forme trigonométrique de chacune des solutions. 3 Somme et produit des racines d un trinôme du second degré à coefficients réels Théorème 5 (somme et produit des racines d un trinôme du second degré à coefficients réels) : Soit ax +bx+c un trinôme du second degré à coefficients réels. Alors : x et x sont solutions de ax +bx+c = 0 x +x = b a et x x = c a. Application typique n : Connaissant une racine de ax +bx+c = 0 (par exemple une évidente ), on en déduit l autre, à l aide de c et a. Par exemple, on remarque que est solution de x +43x 45 = 0. Comme le produit des racines vaut 45 (cf. théorème 5), on en déduit, sans calcul, que 45 est l autre racine. Application typique n : Résolution de systèmes du type sont des réels donnés. { x +x = S x x = P d inconnue (x,x ), où S et P { x +x D après le théorème 5, x et x sont solutions de = S x x = P si et seulement si x et x sont racines de x Sx+P. On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que l on sait faire (cf. théorème 4). Étudions par exemple le système (S) : { x +x = 5 x x = 6. 4

15 On a : { x +x = 5 x x = 6 x et x solutions de x 5x+6 = 0 4 Équations trigonométriques (x = et x = 3) ou (x = 3 et x = ). 4. Cas d égalité de cosinus, cas d égalité de sinus Théorème 6 (cas d égalité de cosinus, cas d égalité de sinus) : Soient x et a deux nombres réels. x = a+kπ, avec k Z cos(x) = cos(a) ou x = a+kπ, avec k Z sin(x) = sin(a) ou x = a+kπ, avec k Z x = π a+kπ, avec k Z Remarque : Ces résultats peuvent se retrouver à l aide du cercle trigonométrique. Exercice 7. Résoudre l équation d inconnue x ] π,π].. Résoudre l équation 3 (E ) : sin(3x) = (E ) : cos (x) sin (x) = d inconnue x R. 4. Étude de l équation acos(x)+bsin(x) = c, avec a,b R et c R Soit a,b,c R, avec a,b R et c R. Une méthode de résolution de l équation acos(x)+bsin(x) = c d inconnue x R. On introduit le nombre complexe z = a+ib.. On calcule une forme trigonométrique du nombre complexe ( ) z = a+ib donné sous forme algébrique. En suivant la méthode exposée page, on écrit z sous la forme ( ) z = re iθ avec r ]0,+ [ et θ R. De re iθ = r(cos(θ)+isin(θ)), ( ) et ( ), on déduit : a = rcos(θ) et b = rsin(θ). 3. On injecte ces expressionsde a et b en fonction de r et θ dans l équationinitiale et on applique une formule d addition (cf. théorème 6). acos(x)+bsin(x) = c rcos(θ)cos(x)+rsin(θ)sin(x) = c cos(θ)cos(x)+sin(θ)sin(x) = c (division par r 0 de chacun des membres) r cos(x θ) = c (cf. formule d addition) r En pratique, c est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est alors ramené à un cas d égalité de r deux cosinus, que l on sait traiter (cf. théorème 6). 5

16 Exercice 8 Résoudre l équation (E) : 6cos(x)+ sin(x) = d inconnue x R. 6