T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013

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1 T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-5 points - L offre et la demande désignent respectivement la quantité d un bien ou d un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d établir que : la fonction d offre est donnée par (),5 la fonction demande est donnée par () = où () et () sont les prix d un article en euros, pour une quantité comprise entre 1 et 12 millions d unités 1) À l aide du graphique précédent et en argumentant la réponse, déterminer si la demande est excédentaire quand le prix de vente d un article est de 1. 2) On suppose dans cette question que le prix de vente d un article est de 4,50. a) Calculer la quantité d articles offerte sur le marché. b) Calculer la quantité d articles demandée sur le marché. c) Quel problème cela pose-t-il? 3) On dit que le marché est à l équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée. Déterminer le prix d équilibre et la quantité associée.

2 Exercice 2-5 points - Une étude de marché portant sur un produit a permis de déterminer que son prix à l unité (), en milliers d euros, dépendait de la quantité de produit mise sur le marché : (), ) A quel intervalle appartient pour que et reflètent la réalité? 2) a) Calculer la recette, en milliers d euros, rapportée par la vente de produits. b) Existe-t-il des productions pour lesquelles la recette atteint ? Exercice 3-5 points - Les fonctions, et représentées ci-dessous par leurs courbes respectives, et, sont définies sur [ 1; 3]. 1) Graphiquement, déterminer f(1), g(1) et h(1). 2) Graphiquement, résoudre 1. 3) Lesquelles de ces fonctions sont continues sur [ 1; 3]? 4) Si la fonction n est pas continue sur [ 1; 3], donner les intervalles sur lesquels elle est continue. 5) Dire, en justifiant la réponse, sur lesquels des intervalles suivants le théorème des valeurs intermédiaires s applique à la fonction : 1; 1!, "! 1; 2!, # 1; 3!, $!1; 3! %& ' 2; 3! Exercice 4-2 points - " )*! ; 1! Soit la fonction définie par ( 2 1 )*!1; La fonction est-elle continue sur R? (Justifier)

3 Exercice 5-7 points - On considère la fonction suivante: #..". 1) Déterminer l ensemble de définition de. 2) Calculer la dérivée de la fonction. 3) Dresser le tableau de variations de 4) a) Démontrer que l équation 1,2 admet une solution unique 0 Sur l intervalle [0 ;4] b) Donner un encadrement de α d amplitude ) Donner l equation de la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse 4. Exercice 6-6 points - Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Le tableau de variations ci-dessous est celui d une fonction définie sur I = [-5 ; 4] 1) a) L équation f (x) admet 1 solution. b) L équation f (x) admet 2 solutions. c) L équation f (x) admet 3 solutions. d) L équation f (x) admet 4 solutions. 2) a) La fonction f est strictement croissante sur [ 5 ; 1 ]. b) La fonction f est strictement décroissante sur [ 1 ; 2]. c) La fonction f est strictement monotone sur [-1 ; 3]. d) La fonction f est strictement constante sur [-2 ; -1]. 3) a) La fonction f est continue sur I. b) La fonction f est constante sur I. c) La fonction f est discontinue sur I. d) On ne peut pas savoir. 4) Si on appelle α la solution de l équation f (x) = 1,5 sur l intervalle [0 ; 3] alors un encadrement de α d amplitude 1 est : a) 1 α 2 b) 2 α 3 c) 3 α 4 d) 2 α 4 5) On sait que l équation de la tangente à la courbe représentative de au point de coordonnées (4 ; 2) est 2 = On a : a) (2) = 4 b) (2) = 10 c) 3 (4) = 10 d) 3 (4) = 3 6) On sait que 3 (3). L équation de la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse 3 est : a) 2 b) 2 = 2 c) 2 = 2( + 3) d) = 2

4 T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-5 points - L offre et la demande désignent respectivement la quantité d un bien ou d un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d établir que : la fonction d offre 4 est donnée par 45 6, 75 la fonction demande 8 est donnée par 8(5) = 9:;5 5: où 4(5) et 8(5) sont les prix d un article en euros, pour une quantité 5 comprise entre 1 et 12 millions d unités 1) À l aide du graphique précédent et en argumentant la réponse, déterminer si la demande est excédentaire quand le prix de vente d un article est de 1. La droite d'équation 2 = 1 coupe la courbe représentative de la fonction d'offre au point d'abscisse = 2 et la courbe représentative de la fonction demande au point d'abscisse = 10. Par conséquent, au prix de 1, les entreprises ne produisent que deux millions d'articles alors que les consommateurs seraient prêts à acheter dix millions d'articles à ce prix. Avec un prix de vente de 1, la demande est excédentaire.

5 2) On suppose dans cette question que le prix de vente d un article est de 4,50. a) Calculer la quantité d articles offerte sur le marché. Au prix de 4,50, la quantité q offerte sur le marché est solution de l'équation 4,5. Soit : 0,5 = 4,5 = $,' =,' = 9 Avec un prix de vente de 4,50, les entreprises peuvent offrir neuf millions d'articles. b) Calculer la quantité d articles demandée sur le marché. Au prix de 4,50, la quantité q demandée sur le marché est solution de l'équation () = 4,5. Soit : = 4,5 4,5 $,'() $,'# $"=,' Alors 42 10,5 = $" =.' = 4 Avec un prix de vente de 4,50, les consommateurs souhaitent acheter quatre millions d'articles. c) Quel problème cela pose-t-il? Au prix de 4,50, l'offre est excédentaire. 3) On dit que le marché est à l équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée. Déterminer le prix d équilibre et la quantité associée. Le prix d'équilibre est atteint pour une quantité = telle que ( = ) = ( = ). Soit = solution de l'équation : 0,5 = 0,5 =,'()() =,'²$ =,'²= Cherchons les solutions de l'équation du second degré 0,5² avec C,5, D = 10 et E = 78. Le discriminant du trinôme est F = D² 4CE d'où : F = 10² 4 0,5 (78) = 256 F > 0 donc l'équation a deux solutions : = J "M " = J "M Comme est une quantité, > 0 soit = = = 26 " =,' soit " = = = 6 " =,' Ainsi, au prix d équilibre, la quantité échangée sur le marché est de six millions d'articles A. Or (6),5 6 = 3 L'équilibre est atteint pour un prix de 3, à ce prix la quantité d'équilibre est de 6 millions d'articles A.

6 Exercice 2-5 points - Une étude de marché portant sur un produit a permis de déterminer que son prix à l unité NO, en milliers d euros, dépendait de la quantité O de produit mise sur le marché : NO 6, 6PO + Q6. 1) A quel intervalle appartient O pour que O et N(O) reflètent la réalité? Il faut que le prix à l unité soit positif D où 0, > 0 30 > 0,02 #= =,=" > 1500 > Et la quantité est positive D où x > 0 Donc il faut entre 0 et 1500 produits afin que cela reflètent la réalité. 2) a) Calculer la recette (O), en milliers d euros, rapportée par la vente de O produits. La recette est le produit du prix de vente par la quantité vendue D où R() = () = (0, ),02² + 30 Donc S(O) = 6, 6PO² + Q6O b) Existe-t-il des productions pour lesquelles la recette atteint ? On doit résoudre R() 5200 Alors 0,02² ,02² C est une expression polynômiale de degré 2 dont le discriminant est : = (30)² 4 ( 0,02) ( 5200) = = 484 > 0. L expression admet donc deux racines réelles distinctes : = J "M = #= $$ = #="" = '" = 1300 " (=,=") =,=$ =,=$ " = #="" " (=,=") = =,=$ = 200 le coefficient de degré 2 est 0,02 < 0, D où ,02² Donc 0,02² si 200; 1300! Conclusion : La recette atteint si la production est comprise entre 200 et 1300 produits.

7 Exercice 3-5 points - Les fonctions, 8 et U représentées ci-dessous par leurs courbes respectives V 4, V 8 et V U, sont définies sur [ 1; 3]. 1) Graphiquement, déterminer f(1), g(1) et h(1). On cherche les images de 1 par les fonction, et On trouve 1) = 1, (1) = 2 et h(1) = 1 2) Graphiquement, résoudre 8(O) = W. On cherche les abscisses des points de la courbe dont l ordonnée vaut 1 On trouve 0 et 2. 3) Lesquelles de ces fonctions sont continues sur [ 1; 3]? Les fonctions et sont continue sur 1; 3! 4) Si la fonction n est pas continue sur [ 1; 3], donner les intervalles sur lesquels elle est continue. La fonction h n est pas continue sur 1; 3! mais sur 1 ; 1! et sur!1 ; 3!. 5) Dire, en justifiant la réponse, sur lesquels des intervalles suivants le théorème des valeurs intermédiaires s applique à la fonction U : X W = W; W!, X P =! W; P!, X Q = W; Q!, X Y =!W; Q! Z[ X 7 = P; Q! On sait que la fonction h est continue sur 1 ; 1! et sur!1 ; 3!. Elle est non continue en 1. Alors le théorème des valeurs intermédiaires ne s appliquera pas sur X P =! W; P! %& X Q = W; Q! Donc il s appliquera sur X W = W; W!, X Y =!W; Q! %& X 7 = P; Q! Exercice 4-2 points - O P Soit 4 la fonction définie par 4(O) = ( PO + W \] O! ; W! \] O!W; + La fonction 4 est-elle continue sur R? (Justifier) (1) = (1)² = 1 et pour = 1 alors = 2 (1) + 1 = 1. Comme (1) 1 alors n est pas continue sur R. Autre méthode : on trace la courbe représentative de sur R. La courbe de se trace en levant le crayon donc n est pas continue sur R.

8 Exercice 5-7 points - On considère la fonction suivante: 4O QO. OP 1) Déterminer l ensemble de définition de 4. admet comme valeur interdite -2 car 2 Donc fonction est définie sur R {2} = 2 2) Calculer la dérivée 4 de la fonction 4. est dérivable sur! ; 2! 2; + comme quotient de fonctions dérivables sur! ; 2! 2; + On a () = #.." Alors = b avec d() = 3 d 3 () = 3 c e() = + 2 e 3 () = 1 D où 3 = bf cc3b c² 3 3( + 2) 1(3) () = (x + 2) " = = ( + 2)² ( + 2)² 3) Dresser le tableau de variations de 4 Comme 3 () = (.")² Alors pour tout R {2} 3 () > 0 D où 2 + Signe de + + Variation de 4) a) Démontrer que l équation 4(O) = W, P admet une solution unique h Sur l intervalle [0 ;4] On sait que la fonction est continue et strictement décroissante sur 0 ; 4! à valeurs dans 0 ; 2! 1,2 0 ; 2! D après le théorème des valeurs intermédiaires L équation 4(O) = W, P admet une unique solution, appelée ici α. b) Donner un encadrement de α d amplitude Avec la calculatrice, on obtient (1,33) 1,198 et (1,34) 1,204 Donc 1,33 < 0 < 1,34 4) Donner l equation de la tangente à la courbe représentative de 4 au point d abscisse 4. Équation de la tangente au point d abscisse 4 : k $ 2 = (4) ( 4) + (4) Fonction dérivée : 3 () = (.")² d où 3 (4) = ($")² = o = Ordonnée du point de tangence A d abscisse 4 : (4) = # $ $" = " = 2 Alors k $ 2 = ( 4) + 2 d où k $ 2 = $ + 2 k $ 2 = " # + Donc k $ 2 = " # + $ #

9 Exercice 6-6 points - Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. On demande d entourer cette bonne réponse. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Le tableau de variations ci-dessous est celui d une fonction 4 définie sur I = [-5 ; 4] 1) a) L équation f (x) admet 1 solution. b) L équation f (x) admet 2 solutions. c) L équation f (x) admet 3 solutions. d) L équation f (x) admet 4 solutions. 2) a) La fonction f est strictement croissante sur [ 5 ; 1 ]. b) La fonction f est strictement décroissante sur [ 1 ; 2]. c) La fonction f est strictement monotone sur [-1 ; 3]. d) La fonction f est strictement constante sur [-2 ; -1]. 3) a) La fonction f est continue sur I. b) La fonction f est constante sur I. c) La fonction f est discontinue sur I. d) On ne peut pas savoir. 4) Si on appelle α la solution de l équation f (x) = 1,5 sur l intervalle [0 ; 3] alors un encadrement de α d amplitude 1 est : a) 1 α 2 b) 2 α 3 c) 3 α 4 d) 2 α 4 5) On sait que l équation de la tangente à la courbe représentative de 4 au point de coordonnées 4 ; 2) est 2 = On a : a) (2) = 4 b) (2) = 10 c) 3 (4) = 10 d) 3 (4) = 3 6) On sait que 4 3 (Q) = 6. L équation de la tangente à la courbe représentative de 4 au point d abscisse 3 est : a) 2 b) 2 = 2 c) 2 = 2( + 3) d) = 2