Bases mathématiques pour le technicien
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- Lucie Ménard
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1 Bass mathématiqs por l tchnicin
2 A Fonctions logarithm t ponntill 1- Fonction logarithm népérin 1-1. Définition La fonction logarithm népérin st la fonction noté ln. Ls prmièrs propriétés sont ls sivants : 0; ; (1) La fonction ln st défini por ds réls strictmnt positifs : ' 1 (2) La dérivé d la fonction ln st la fonction invrs : ln( ) ; (3) La fonction ln s annl n 1 : ln( 1) Propriété fondamntal d la fonction logarithm Por tos réls a t b strictmnt positifs : ln( a b) ln( a) ln( b) 1-3. Atrs règls d calcl Por tos réls a t b strictmnt positifs t n ntir rlatif : 1 ln ln( a) a a ; ln ln( a) ln( b) b ; lna n n ln( a) 1 2 ; ln a ln( a) 12. Ls rappls d cors
3 1-4. Sns d variation La fonction : ln( ) Limits a borns d lim ln( ) f st strictmnt croissant sr 0; D f : t limln( 0 0 D. f ) L a ds ordonnés d éqation 0 st asymptot vrtical à la corb d la fonction ln. Tabla d variations d la fonction ln : 0 1 ' 1 ln( ) ln( ) Eqations t inéqations Por tos réls a t b strictmnt positifs : ln( a) ln( b) a b ; ln( a) ln( b) a b ; ln( a) ln( b) a b 1-6. L nombr Définition Il ist n niq nombr, noté, tl q ln( ) 1. Valr approché d : Théorèm Soit m n ntir rlatif : l éqation ln( ) m a por niq soltion m. On a ls éqivalncs sivants : (1) (2) ln( ) m ln( ) m 0 m m Bass mathématiqs por l tchnicin. 13
4 1-7. Limits On rappll ls limits sivants a borns d l intrvall d définition : lim ln( ) 1-8. Croissants comparés On rappll ls résltats sivants : t limln( 0 0 ) ln( ) lim 0 ln( ) Por tot ntir natrl n 2 : lim 0 n 1-9. Logarithm d n fonction t lim ln( ) Théorèm Soit n fonction défini t strictmnt positiv sr n intrvall I. Ls fonctions t ln( ) ont mêm sns d variation sr I. Dérivé d ln( ) Soit n fonction défini, dérivabl t strictmnt positiv sr n intrvall I. La fonction ln( ) st dérivabl sr I t sa dérivé st : ' ' ln( ) 14. Ls rappls d cors
5 2- Fonction ponntill 2-1. Définition Por tot rél, on appll ponntill d t on not l intrvall ] 0; [ dont l logarithm népérin st. IR ]0; [ On appll fonction ponntill : l niq rél d Por tot IR on associ l rél y d ] 0; [ tl q : y 2-2. Propriétés t règls d calcl Propriétés (1) Por tot IR ln y, t por tot rél y d ] 0; [ : y ln( y) ; y ln(y) ; y ln(y) (2) Por tot IR : 0 (3) Por tot IR : ln ln (4) Por tot rél strictmnt positif :. Règls d calcl Por tos réls a t b, t por tot ntir rlatif n : ab a b 1 a ; a a ab ; b na a ; n 2-3. Sns d variation t limits Dérivé t sns d variation La fonction ponntill st dérivabl sr IR t st égal à sa dérivé : ' Bass mathématiqs por l tchnicin. 15
6 Tabla d variations d la fonction ponntill : ' Ls rappls d cors Limits On rappll ls limits sivants a borns d l intrvall d définition : lim t lim 0 On rappll ls résltats sivants : lim, lim t lim 0 n 2-4. Eponntill d n fonction On considèr n fonction défini t dérivabl sr n intrvall I. On considèr la fonction composé noté Sns d variation d Ls fonctions t Dérivé d La fonction ont l mêm sns d variation sr l intrvall I. st dérivabl sr I t sa dérivé st : ' ' Limits d désign n rél o o. L théorèm sr la limit d n fonction composé prmt d établir ls résltats sivants : ( ) (1) Si lim( ) alors lim (2) Si lim( ) alors lim ( ) 0 (3) Si lim( ) L alors lim ( ) L
7 2-6. Eponntill d bas a Définition Soit a n rél strictmnt positif t b n rél qlconq. On pt écrir l égalité sivant : Ainsi por a 0 : a b b ln a b ln a a b b ln a On définit ainsi ls pissancs d n nombr rél strictmnt positif a. ln a La fonction a st défini par : a Sns d variation (1) Si a 1 alors ln a 0 La fonction a st strictmnt croissant sr IR. On a ls limits sivants : lim a t lim a 0 (2) Si 0 a 1 alors ln a 0 La fonction a st strictmnt décroissant sr IR. On a ls limits sivants : lim a 0 t lim a Corbs rprésntativs por d valrs d a : Bass mathématiqs por l tchnicin. 17
8 B Trigonométri 1- Msrs n radian d n angl orinté 1-1. Définition On considèr l plan mni d n rpèr orthonormé O ; i, j. L crcl trigonométriq st n crcl d rayon 1 t d cntr O orinté dans l sns trigonométriq (sns invrs d cli ds aigills d n montr). Soit A l point d coordonnés A (1;0 ) t M n point qlconq d crcl trigonométriq. Un msr n radian d l angl orinté OA, OM st la longr algébriq d l arc d crcl défini ntr ls points A t M : ( OA, OM ) Ls msrs d n angl orinté Un angl orinté possèd n infinité d msrs. Si st l n d ntr lls, ls atrs sont d la form 2k avc k. En fft, l crcl trigonométriq, d rayon 1, a n circonférnc égal à 2. Par mpl, voici qlqs msrs d l angl orinté ( OA, OA) : ( OA, OA) 0 ; ( OA, OA) 2 (ici k 1 ; on a parcor l crcl dans l sns trigonométriq t on a ajoté n tor complt. Cci positionn corrctmnt l point A sr l crcl trigonométriq) ; ( OA, OA) 2 ; ( OA, OA) 4. Empls Placr ls points sivants sr l crcl trigonométriq t donnr plsirs msrs d l angl orinté ( OA, OM ) : (1) (2) ( OA, OM ) 3 3 ( OA, OM ) j M A O i Ls rappls d cors
f n (x) = x n e x. T k
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