Intégrales triples 3 COORDONNÉES SPHÉRIQUES... 9

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1 Chapitre VIII Intégrales triples INTÉGRALE TRIPLE.... DÉFINITION.... PROPRIÉTÉ... Remarque..... Techniques de calcul CALCUL DE VOLUME Domaine quelconque Volume de domaines dont la base est une surface connues Volume d'un solide de révolution... 7 COORDONNÉE CYLINDRIQUE... 8 COORDONNÉE PHÉRIQUE MAE, CENTRE D INERTIE, MOMENT D INERTIE MAE D UN OLIDE Exemple Exemple CENTRE D INERTIE D UN OLIDE Exemple Exemple MOMENT D INERTIE D UN OLIDE... 4

2 /5 PART Intégrale Triple. Définition oit f une fonction continue sur une boite rectangulaire B de R. [, ] [, ] [, ] B = a b a b a b Le volume de B est donné par: ( ) ( ) ( ) V = b a b a b a Une partition P de B est déterminée par trois partitions P, P, P des trois intervalles [ a, b ], [ a, b ] et [ a, b ]. Cette partition partage B en des boites rectangulaires élémentaires. Comme nous l'avons fait pour une intégrale double, définissons les sommes: ( ) ( f ) Vol( ) I P, f = min ( ) ( f ) Vol( ) K P, f = max f étant une fonction bornée sur B, elle est dite intégrable s'il existe un nombre et un seul plus grand que toutes les sommes I( P, f ) et plus petit que toutes les sommes K( P, f ). Ce nombre s'il existe est dit "intégrale triple de f sur B" et est noté: B. Propriétés B (,, ) f = f x y z dxdydz Des théorèmes similaires à ceux donnant les propriétés des intégrales doubles sont établis: ( f + g) = f + g; B B B B kf = k f i B est une boite rectangulaire et si f est une fonction définie sur B, bornée et continue sauf peut-être sur un nombre fini de surfaces de classe C, f est intégrable dans B. oit A une région bornée de R (comprise dans une boite rectangulaire B) et soit f une fonction définie sur A. Nous définissons B

3 /5 = ( ) si * f ( X) f( X) si x A * f X = x B A Alors f = f A B V V V * f = f + f; V = V V ; Vol( V V ) = Remarque On divisera l'espace à trois dimensions en 8 octants. La numérotation est dans le sens direct : H4L HL HL HL H8L H6L H5L Figure

4 4/5.. Techniques de calcul CA D UN PAVÉ DROIT B = [ a, b ] [ a, b ] [ a, b ] oit b b b f = f ( x, y, z) dz dy dx B a a a Figure CA GÉNÉRAL oient une fonction f définie dans un domaine B défini comme suit : a et b deux réels tels que a < b g ( x) et ( ) h ( x, y) et (, ) que: h( x, y) h( x, y) alors g x deux fonctions définies sur [a, b] telles que g ( x) g ( x) h x y deux fonctions définies sur [ ab, ] [ g( x), g( x) ] B a g( x) h( x, y) telles b g( x) h( x, y) f = f ( x, y, z) dz dy dx

5 5/5 Nous pouvons facilement démontrer que : h ( x, y) f = dxdy f ( x, y, z) dz B D h ( x, y) où D est la projection du domaine B sur le plan xoy. Figure. Calcul de volume.. Domaine quelconque Lorsque f = l'intégrale triple de f sur un domaine D est égale au volume de D. ( ) V D = D dxdydz EXEMPLE Calculer le volume du tétraèdre défini par x>, y>, z> et x + y + z< a. Méthode

6 6/ Figure 4 a V = dxdydz = dxdy dz = dx a x y dy = a a x a x y ( ) A D 6 Méthode a a z a y z a a V = dxdydz = dz dy dx = ( a z) dz = 6 A a On remarque que V = A( z) dz avec ( ) hauteur z. A z l'aire du triangle découpé à une.. Volume de domaines dont la base est une surface connues Le volume d'un solide dont la section entre les un plans z = a et z = b a une aire A (z), est :

7 7/5 EXEMPLE V A( z) dz = b a Figure 5 Calculer le volume de la pyramide dont la base est le carré joignant les points {,,} ; {,-,} ; {-,-,} ;{,-,} La base se situe à une hauteur z= avec une aire = =4. i on coupe cette pyramide par un plan parallèle au plan xoy à une hauteur z, la section est aussi un carré de côté z et dont l aire est A( z) = 4z 4 Le volume de la pyramide est donc V = A( z) dz = 4z dz =.. Volume d'un solide de révolution Le volume d'un solide obtenu en tournant la courbe {z=f(x) a < x < b}, autour de l'axe des x est : b V = f( x) dx a EXEMPLE Le volume obtenu en tournant la courbe z = sin x; x autour de l axe des x. z x

8 8/5.5.5 z x.5 y Figure 6 Figure 7 = = = b V f( x) dx sin xdx a Coordonnées Cylindriques Un point M de l'espace à trois dimension défini par ses coordonnées cartésiennes ( xyz,,, ) sera défini par des coordonnées cylindriques (, r θ,) z en posant: z 8r r t x y Figure 8 x = rcos θ; y = rsin θ; z = z Ces coordonnées sont définies pour: r ; θ ; z quelconque Le jacobien du changement de variable des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est:

9 9/5 x r x x θ z J = y r y θ y z = r z z z r θ z Coordonnées phériques z ϕ ρ x θ y Figure 9 Un point M de l'espace à trois dimension défini par ses coordonnées cartésiennes ( xyz,,, ) sera défini par des coordonnées sphériques (, r θϕ, ) en posant: x = ρ sinϕcos θ; y = ρsinϕsin θ; z= ρcosϕ Ces coordonnées sont définies pour: ρ; ϕ ; θ Le jacobien du changement de variable des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est: x x x ρ θ ϕ J = y y y ρ θ ϕ = ρ sinϕ z z z ρ θ ϕ EXEMPLE Calculer le volume compris entre le cône x + y + z = z. z = x + y et la sphère

10 /5 OLUTION Cette sphère est centrée au point,, et de rayon ; x + y + z = z x + y + z = Figure L'équation de la sphère en coordonnées sphériques est: x + y + z = z ρ = ρcosϕ ρ = cosϕ D'où V = dxdydz = ρ sinϕd ρdϕdθ D * D 4 cos ϕ V d sin d d = θ ϕ ϕ ρ ρ = 8 PART 4 Masse, Centre d inertie, Moment d inertie 4. Masse d un solide On appelle solide tout couple (, ρ ) où est une partie cubable de une application continue appelée la densité spatiale du solide (, ρ ). R et : R ρ + On appelle masse d un solide (, ρ ) le réel m défini par m = ρ ( x, y, z) dxdydz, où ( x, yz, ) décrit

11 /5 4.. Exemple Calculer la masse du solide de densité ρ = r défini par: θ ; r = cos θ; z r ETUDE DU OLIDE :: z r z x + y le cône est la frontière supérieure r = cosθ r = rcosθ x + y x= x + y = la 4 partie du cylindre circulaire de base x + y = avec θ 4 est la frontière latérale Figure Figure

12 /5 OLUTION La masse M est donnée par: Or M cosθ r cosθ 4 M = dθ rdr rdz = dθ r dr = cos θ dθ 4 4 cos θ cos 4θ cos θ = sin4θ 4 7 = sin sin sin 6 θ + θ + 4 = = Exemple Calculer la masse d une boule de centre O et de rayon R, la densité étant définie par ( x, yz, ) x y z ρ = + + En passant en coordonnées sphériques : R m = ρ ( x, y, z) dxdydz = dθ sinϕdϕ ρ d ρ = = R 4 R Centre d inertie d un solide, ρ est le point G de Le centre d inertie d un solide ( ) xg = x ( x, y, z) dxdydz m ρ yg = y ( x, y, z) dxdydz m ρ zg = zρ ( x, y, z) dxdydz m où ( x, yz, ) décrit et m la masse de (, ) ρ. R défini par :

13 /5 4.. Exemple Trouver le centre de gravité de l hémisphère : z = a x y de densité constante. On vérifie facilement, par symétrie, que x a x y zg = zdxdydz dxdy zdz m = D D = ( a x y ) dxdy 4 = D a 4 5 = ( a r ) drdθ = a 4 5 = y =. 4.. Exemple Déterminer le centre d inertie G du solide homogène (, ) ρ où est la tranche de la sphère centrée à l origine de rayon définie en coordonnées sphériques par : θ ; ϕ ; ρ A la forme d'une tranche d'orange Figure

14 4/5 OLUTION En appliquant la proportionnalité, la masse m est donnée par : 4 ρ m = ρdxdydz = ρ = 4 Par raison de symétrie y = z = Puis : x G G G = ρ xdxdydz ρ 4 = cosθ dθ sin ϕdϕ ρ dρ 4 = 8 4. Moment d inertie d un solide oit H un point ou une droite ou un plan de d M, H la distance de M à H. ( )( ) R ; pour tout point M de R, on note ( ) Le moment d inertie d un solide (, ρ ) par rapport à H est le réel I H défini par : I ( )( (, )) H ρ M d M H dxdydz = où M ( xyz,, ) décrit. EN PARTICULIER : Les moments d'inertie d un solide par rapport aux trois axes de coordonnés sont donnés par: I x = ( y + z ) ρ( x, y, z) dxdydz A I y = ( z + x ) ρ( x, y, z) dxdydz A I z = x + y x y z dxdydz ( ) ρ(,, ) A

15 C centre d inertie d'un solide Coordonnées Cylindriques 6 phérique 7 I M masse d'un solide 9 Moment d inertie d'un solide O octants intégrale triple