Patrick WIERUSZEWSKI. Département Disciplinaire de MATHEMATIQUES

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1 MATERNELLE et Mathématiques NOMBRES et QUANTITES au cycle I Patrick WIERUSZEWSKI Université Orléans, IUFM CVL, BLOIS Département Disciplinaire de MATHEMATIQUES VENDOME, décembre 2011 CHATEAUNEUF sur LOIRE, mars 2012 CONTRES, novembre 2012

2 Une ENTREE par des points de repères bibliographiques Les INCONTOURNABLES et les INDISPENSABLES en sus des PROGRAMMES 2008! (Bien avant 2008!). Les deux numéros spéciaux de la revue «Grand IN»consacrés à la Maternelle, IREM de Grenoble. «Apprentissages numériques en GS de Maternelle», Hatier ERMEL. «Comment les enfants apprennent à calculer?» ; Rémi BRISSIAUD, Retz. «Découvrir le monde avec les Mathématiques», situations pour la PS et la MS, situations pour la GS ; Dominique VALENTIN, Hatier. Incontournable! «Faire des Mathématiques à l école Maternelle» ; Alain PIERRARD, CRDP, académie de Grenoble. «Vers les Mathématiques, quel travail en Maternelle?», document d accompagnement des documents d application des programmes Incontournable! «CONCERTUM» : publication de la COPIRELEM. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 2

3 Quoi de neuf en 2011/2012, et un peu avant aussi? Quelques ouvrages plus récents et autres productions «Un rallye mathématique à l école maternelle? Oui, c est possible!» ; F. et F. EMPRUN, SCEREN, CRDP Champagne- Ardenne. «Des situations pour apprendre le nombre, cycle I et GS» ; NEY, RAJAN, VASLOT, SCEREN, CRDP Champagne- Ardenne. «Le NOMBRE à l ECOLE MATERNELLE : une approche didactique» ; MARGOLINAS, WOZNIAK, De Boeck. Excellent! «Devenir élève par les apprentissages géométriques au cycle I» ; J.F. GRELIER, SCEREN, CRDP Midi-Pyrénées. (Bien Avant 2008!). «La maternelle en jeux mathématiques» ; Bernard BETTINELLI, IREM de Besançon, PUFC. (Bien Avant 2008!). «De la géométrie à l école maternelle, pourquoi pas?», IREM de Besançon, Groupe Elémentaire, PUFC. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 3

4 Deux CD Rom, parmi d autres «Enseigner les mathématiques en Maternelle», quantités et nombres en images ; FENICHEL et MAZOLLIER, SCEREN, collection «Professeur aujourd hui». «Apprentissages mathématiques en Maternelle : situations et analyses» ; BRIAND et al, Hatier Pédagogie. D autres références, d ampleur et de portée inégales Les productions de l AGIEM Mars 2012 : La dernière publication de Michel FAYOL. «Découvrir les formes et les grandeurs avec des albums» ; RENAULT-GIRARD et VOUHE, SCEREN, CRDP Poitou- Charentes. «Comptes pour petits et grands», (deux tomes) Stella BARUK, Magnard. Bon! Les productions et les classeurs des éditions ACCES. Deux numéros Hors Série, La Classe Maternelle. «Poésies, comptines et jeux de doigts» ; «Numéro Spécial : emplois du temps et programmations programmations». Bon, stop, on s arrête là! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 4

5 L animation-conférence repose donc sur la documentation, conséquente et ciblée, présentée ci-dessus, ainsi que sur les publications et animations-conférences de MH. SALIN (MCF de Mathématiques, BORDEAUX) et P. ESSEYRIC (PRAG de Mathématiques, IUFM, AIX-MARSEILLE). On commence par le commencement : les programmes. Quelle(s) évolution(s) de 1977 à 2008, en passant par 1985, 1995, 2002 et 2007? Et bien, il y en a eu des évolutions qui mériteraient une «conférence-animation» rien que pour ça! On s occupe de 2008, c est déjà ça! «Aider chaque enfant, selon des démarches adaptées, à devenir autonome et à réussir au Cours Préparatoire les apprentissages fondamentaux». Un rôle propédeutique réaffirmé, voire prééminent Enjeu = une meilleure «égalisation» des chances NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 5

6 La GS, partie intégrante de l école maternelle Insistance sur : l acquisition d un langage oral «riche et organisé» ; l importance des situations de jeux, de recherche de production mais aussi sur des entraînements nécessaires ; l éveil culturel. Pas de progressions dans les programmes, mais des repères pour organiser la progressivité des apprentissages. Ce que le programme appelle les «FONDAMENTAUX» : Langue et Langage. Des objectifs mesurés, mais des priorités mieux cernées. L idée repose sur le paradigme : «Faire moins, mais faire mieux». Devenir ELEVE : une finalité essentielle en vue du Cours Préparatoire. Non anecdotique!!! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 6

7 Programmes 2002/2007 Programme 2008 Le langage au cœur des apprentissages Vivre ensemble Agir et s exprimer avec son corps Découvrir le monde Création, Sensibilité et Imagination S approprier le langage Découvrir l écrit Devenir élève Agir et s exprimer avec son corps Découvrir le monde : c est ici kil ya les Maths! OK. Percevoir, Sentir, Créer et Imaginer Et là, pas de Maths? Ah bon! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 7

8 Le domaine «DECOUVRIR le MONDE» est alors divisé en sept «chapitres» : 1. DECOUVRIR les OBJETS. 2. DECOUVRIR la MATIERE. 3. DECOUVRIR le VIVANT. 4. DECOUVRIR les FORMES et les GRANDEURS. On va en parler un petit peu! 5. APPROCHER les QUANTITES et les NOMBRES. C est le thème de «l animation-conférence». Une première remarque : il est proposé une «approche des nombres» et non pas un «apprentissage des nombres». Comment prendre en compte ces différences ou nuances fortes? Quels enjeux pour cette «approche»? 6. Se REPERER dans le TEMPS. Les Mathématiques ont leur place. Oui, mais comment l investir? 7. Se REPERER dans l ESPACE. Idem ci-dessus. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 8

9 En termes de compétences (plus précisément de «Capacités» dans le tryptique «Connaissances, Capacités et Attitudes» du SCCC), les programmes demandent à tout élève d être capable de : ( ) Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; Mémoriser la suite des nombres, au moins jusqu à 30 ; Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; Associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée. ( ) En «calquant» les compétences rédigées dans l ouvrage «Des situations pour apprendre le nombre, cycle 1 et GS», SCEREN, CRDP de Champagne-Ardenne, 2010 ; il est possible d analyser et d étudier finement les huit compétences de la diapositive suivante. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 9

10 C1. Comparer des quantités en mobilisant des procédures non-numériques ou numériques. C2. Réaliser une collection d objets idempotente à une autre collection (visible, proche, éloignée, ) en utilisant des procédures non-numériques ou numériques, oralement ou avec un écrit «transitoire». C3. Résoudre des problèmes portant sur des quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage, ) en mobilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles et standards. C4. Reconnaître «globalement» et exprimer le cardinal de petites quantités. C5. Idem C4, avec des collections organisées en configurations«usuelles»(dés, doigts, cartes, boîtes, ). C6. Connaître la comptine numérique orale au moins jusqu à trente. C7. Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus. C8. Associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée, avec la bande numérique comme«référent». (Cf. diapo 28). NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 10

11 Remarques et Observations sur les Ci de la diapositive précédente : c est le fil rouge de cette «animation-conférence». Verbes d action décrivant des «types de tâches» Quels «invariants» (ou structures) de situations «d enseignement-apprentissages» à prendre en compte pour les élaborer? Le NOMBRE pourquoi et pour faire quoi? Les deux statuts des mathématiques : «OUTIL» pour résoudre des problèmes et «OBJET» autonome de connaissance(s) propre(s). Les «enjeux» liés à toute activité numérique. La spécificité des apprentissages à l Ecole Maternelle. Verbes d action : commentaires à l oral. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 11

12 Les invariants de toute «bonne» situation «d enseignement-apprentissage» : un grand classique! Liste précise des compétences et connaissances en jeu. Pas aussi simple qu il n y paraît! Les variables de la situation ou variables didactiques. Le déroulement et le dispositif de classe : les différentes phases, les consignes, les rôles du PE et celui des E, les analyses a priori et a posteriori (énormes points faibles de toute «fiche de prep»), les remarques pédagogiques plus générales, Bref tous les ingrédients d une bonne «fiche de prep»! Les formes d institutionnalisation et les «évaluations». NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 12

13 Le NOMBRE (entier naturel) : quelles situations pour quels apprentissages, on devrait plutôt dire quelles situations pour quelles approches? Dans le cadre élargi de la «résolution de problèmes». Survol Les «Sept Malentendus Capitaux» de Goigoux. Le NOMBRE : mémoire de la QUANTITE. Quelques compléments théoriques Des QUANTITES aux NOMBRES. DIRE, LIRE, ECRIRE les NOMBRES. Le NOMBRE pour : anticiper, calculer, comparer, ranger, classer, Des connaissances non-numériques pour «apprendre» le NOMBRE : le concept de COLLECTION, l ENUMERATION, NOVEMBRE 2012 le TRI, P. WIERUSZEWSKI 13

14 La spécificité des apprentissages : une analyse à partir des «Sept Malentendus Capitaux» de R. GOIGOUX. Congrès de l AGIEM, 1998, encore et toujours d actualité! HYPOTHESE (1) Ou premier malentendu. Le «plaisir» (d apprendre) ne peut pas venir d activités «d enseignement-apprentissage» décontextualisées, et par conséquent, les activités par nature «ludiques» se doivent d occuper une (voire LA!) place essentielle à la Maternelle. PROBLEME du PE : débat sur l idée de MOTIVATION (facteur prépondérant de la «réussite»). En effet, la motivation, en tant que facteur de réussite dans les apprentissages, est souvent présentée comme «extérieure» à l activité de l enfant. Des auteurs parlent alors de «motivation extrinsèque», alors que c est la motivation «intrinsèque» qui est au cœur du «travail» de E. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 14

15 HYPOTHESE (2) Second malentendu. Afin de rendre «motivantes» les situations, on cherche beaucoup à les «enjoliver», à prendre au sens large. Exemple (R. GOIGOUX). Certains élèves s appliquent à colorier ou à tracer des chemins sur une piste représentant des animaux et des objets, alors que d autres s attachent à réussir des tâches de dénombrement ou de correspondance terme à terme : pour certains E, il y a donc un traitement dit de surface du problème, alors que pour d autres E, il y a effectivement résolution du problème. Comment le PE peut prendre des informations fiables sur cette distorsion? PROBLEME du PE : statut du JEU à la maternelle et de la «croyance» que les élèves n apprennent que par son intermédiaire. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 15

16 HYPOTHESE (3) Troisième malentendu. Pour qu elle soit «motivante», toute pédagogie se doit d être riche et variée. Du coup, elle est (presque) de fait associée à la nécessité «d habiller» les tâches proposées. PROBLEME du PE. Comment lutter alors contre deux défauts majeurs : un habillage trop excessif des activités (qui peut gêner le traitement de ce qui est essentiel : l attention est attirée par ce qui «brille») et une trop forte variation des variables (didactiques ou pas)? HYPOTHESE (4) Quatrième malentendu. Un paradoxe. Les élèves ne peuvent pas se passer de «manipuler» ; or, quand ils manipulent, il n est pas évident qu ils apprennent. Ce sont généralement les élèves qui se réfugient trop vite dans «l action» physique qui s autorisent l économie de la réflexion. PROBLEME du PE. Rôle(s) et fonction(s) du «matériel» NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 16 pédagogique?

17 HYPOTHESE (5) Cinquième malentendu. Il concerne la réussite des élèves à la maternelle (tout autant qu à l école élémentaire!). Il arrive que cette «réussite» soit trop recherchée au détriment de la compréhension. PROBLEME du PE. Toute situation, pour alléchante qu elle soit sur le papier, peut être détournée de ses objectifs lors de sa mise en œuvre. Il n y a pas garantie d apprentissage(s) si l activité a été réalisée et réussie. Exemple emblématique : tout type de jeu ressemblant au «jeu de la marchande». Bien que les objectifs liés à ce type de situation concernent des «négociations» d objets (avec des échanges ou des regroupements), il est simplement possible que le jeu ne soit vu ou perçu que comme un jeu théâtral. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 17

18 HYPOTHESE (6) Sixième malentendu. Rôles et fonctions du langage. Il est (trop?) souvent réduit à sa fonction de communication directe. PROBLEME du PE. Rendre au langage son statut «d outil» de réflexion sur l expérience : «comment j écoute?», «comment je regarde?», «comment je vérifie?», «comment je me souviens?», «comment je classe, je range, je compare,?» HYPOTHESE (7) Septième malentendu. Il convient de distinguer LANGAGE et LANGUE. Le passage du langage à la langue constitue précisément l une des difficultés majeures de l entrée dans l écrit. PROBLEME du PE. Mettre en perspective l enseignement donné à la Maternelle avec celui de l Ecole Elémentaire. C est la commande explicite des programmes. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 18

19 L activité mathématique est une activité cognitive dense à part entière. Le consensus partagé par beaucoup d enseignants de cycle I repose sur l idée que cette activité nécessite de passer par des tâches ludiques, habilement habillées. Comme si les petits élèves du cycle I ne peuvent pas (encore) ressentir le «plaisir» de construire une connaissance pour elle-même. D où un paradoxe apparent décrit sous forme de deux dérives possibles, à l excès : L effet «kinder garten». En valorisant les aspects ludiques au détriment des apprentissages, on peut aboutir à terme à transformer l école en un «jardin d enfants». L effet dit «d intellectualisation». A contrario, le rejet du ludique et des manipulations peuvent intensifier une certaine «intellectualisation» des situations en les rendant du coup inaccessibles aux petits élèves du cycle I. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 19

20 Les SITUATIONS où interviennent le NOMBRE. Vergnaud On distingue principalement quatre types de telles situations : la DESIGNATION, la COMPARAISON et le RANGEMENT, la QUANTIFICATION et le CALCUL. Utiliser un NOMBRE comme une «étiquette», comme un code, comme un nom, relève de la DESIGNATION. Exemples : numéro de vol d un avion, numéro d un train, indicatifs de téléphone, numéros de rue. Situations présentant peu d intérêt pédagogique : difficile de COMPARER, difficile d OPERER, sur des numéros de train. COMPARAISON et RANGEMENT (dimension ordinale). Dans de telles situations le NOMBRE a pour fonction de repérer, de situer des «objets» les uns par rapport aux autres, en liens avec des écritures (et des paroles!) numériques. Exemples : le 21 novembre précède le 28 novembre, grâce à des rituels structurant le temps (hier, aujourd hui, demain), sans références directes à la QUANTITE. Intérêt pédagogique NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 20 évident!

21 La QUANTIFICATION (dimension cardinale). Il s agit de répondre à la question : «combien?». Remarque : une propriété fondamentale des nombres relie les deux dimensions ordinales et cardinales survolées cidessus. Exemple : le vingt-huitième jour du mois de novembre est précisément, lorsqu il se termine, le jour où 28 jours de novembre se sont écoulés. On ne confond pas les «fonctions» de l étiquette «28» dans les deux expressions : «28 jours» et «28 novembre». Le CALCUL et les OPERATIONS. Objet partout «dense» dans TOUTE activité mathématique, le CALCUL a aussi une place essentielle en Maternelle. Exemple : «Combien d assiettes manquent à une table de n, sachant qu il y en a déjà m, avec m < n?». «Comment partager b bonbons entre p élèves, avec b > p (ouf!) et b multiple de p?». NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 21

22 Des QUESTIONS encore OUVERTES 1. Le NOMBRE est-il INNE ou ACQUIS? EXPERIENCE vs SENSIBILITE! Débat 2. Le NOMBRE est-il d abord CARDINAL ou ORDINAL? «Classe de classes» = cardinal ou «Classes de relations» = ordinal. Exemple absolument nécessaire. Bon d accord! On compte les pattes d un chien. Combien? «Quatre», ce nombre désigne la quantité de pattes. Oui, mais why? C est aussi le nombre de pattes d un chat, d un cheval, et on considère alors cette «quantité» comme une collection «d objets» équivalents : un paquet, même si une patte est plus courte ou mal foutue! On s intéresse donc à tous les paquets «identiques» : on associe, une à une, une patte de chien avec une patte de chat. On «arrive» alors à quatre. En fait, le nombre de pattes d un chien et le nombre de pattes d un chat, le nombre de pattes d un cheval sont d abord égaux entre eux, avant d être égaux à quatre! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 22

23 Autre entrée. Pour arriver à dire qu un chien possède quatre pattes, on ordonne les pattes comme sont ordonnés les nombres de la comptine : il y a la première, la deuxième,... Autrement dit, on crée une relation entre les pattes du chien, indépendamment du choix de la première et des autres et la suite ordonnée des nombres. En conséquence, toutes les relations sont équivalentes, il y aura toujours une quatrième patte, même mal foutue!, sans une cinquième! Dans cette approche, le nombre de pattes d un chien et le nombre de pattes d un chat et le nombre de pattes d un cheval sont d abord chacun égaux à «quatre» avant d être égaux entre eux. 3. Enfin, le développement de la Technologie et des Sciences Cognitives ont ouvert de nouvelles perspectives de recherche et posent de nouvelles questions, sans répondre aux deux précédentes : il y a encore du boulot! Se documenter NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 23

24 Quelques MODELES THEORIQUES«communs» et consistants Le modèle de PIAGET ou modèle «socio-constructiviste constructiviste» Le «modèle» cognitiviste. Hypothèse : apparenter le fonctionnement de l intelligence à celui d une machine «savante» construite par l homme : l ordinateur! Le modèle de GELMAN. Assez tôt (plus tôt que chez Piaget), l enfant accède au NOMBRE suivant les cinq principes suivants : 1. Principe d ordre stable. Enoncé des éléments de la chaîne numérique toujours dans le même ordre. 2. Principe «bijectif» ou de «correspondance terme à terme». Affectation d un mot-nombre à chaque objet de la collection. 3. Principe cardinal. Le dernier mot-nombre dit donne la quantité. 4. Principe de la non-pertinence de l ordre. Parcours aléatoire de la collection, mais même cardinal. 5. Principe de l abstraction : pas de rapport entre nature des objets comptés et dénombrement. De nouveaux modèles liés à la neuro-psychologie psychologie. Des avancées aujourd hui, après beaucoup d études de cas sur NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 24 les troubles du calcul.

25 Le NOMBRE pourquoi et pour faire quoi? Quelques pistes à explorer. Une première QUESTION. Pourquoi c est si difficile pour un élève E de comprendre et d assumer la transition du COMPTAGE au DENOMBREMENT? (Brissiaud). Exemple. On y va : on compte les stylos. Le «un», le «deux», le «trois», le «quatre», le «cinq», le «six», le «sept». (Stop). Pour accéder au DENOMBREMENT, à partir du COMPTAGE, le «petit» de cycle I doit accorder «en acte» un double sens au dernier mot-nombre prononcé. En effet, quand le dernier mot-nombre est prononcé pour la première fois, celui-ci a le même statut que les autres : il s agit d un «mot-nombre-numéro» qui désigne et distingue un OBJET, par exemple, le «sept» ; et puis, ce mot-nombre change de statut, car il représente alors la quantité. On passe du «le» sept à «les» sept pour exprimer le cardinal de la collection. Réelle difficulté conceptuelle! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 25

26 Pour aller plus loin : d après les évaluations institutionnelles de fin de CE1 (2007 et 2008). Taux de réussite 63 %. Avec une remarque non anodine : le recours systématique aux «paquets» de 10 n est pas «automatique». Hypothèses? Il y a? triangles Que doit savoir un élève E sur le nombre 49? NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 26

27 RECITER la file des nombres au moins jusqu à 49, à partir de n importe quel nombre inférieur ou égal à 48. SITUER 49 par rapport aux autres nombres déjà connus. PASSER de l écriture chiffrée «49» à l écriture littérale et inversement. DENOMBRER des collections de 49 objets manipulés ou dessinés, ces objets pouvant être pré-regroupés ou pas par dix. CONSTRUIRE ou REALISER une collection de cardinal 49. REPRESENTER le nombre 49 à l aide de toute sorte de matériels de numération (bûchettes élastiques, cubes emboîtables, bouliers, boîtes à dix, jetons, compteurs, abaques, ). REPRESENTER 49 euros ou 49 centimes avec de la monnaie (fausse quand même!). ASSOCIER 49 à sa décomposition canonique. ASSOCIER 49 à d autres décompositions. «OPERER» avec 49 : investir le territoire du CALCUL avec ce nombre et d autres. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 27 S INTERESSER à 49 pour «lui-même». Exemples

28 On a le BUT : c est ce qui est proposé dans la diapositive précédente. Comment peut-on s y prendre à l étage «en-dessous», sans panne d ascenseur? On retombe sur les compétences Ci de la diapositive 10. Avant de donner quelques exemples d activités «d enseignement-apprentissage», il y a encore des éléments «théoriques» à étudier. Différents travaux en DdM ont établi que parmi les connaissances nécessaires à tout apprentissage, des connaissances non enseignées sont souvent implicitement mises en œuvre pour «réussir» à une tâche. (Thèse de J. Briand). Question. Citer une connaissance non-numériquenumérique indispensable que doit activer un élève dans une tâche de «comptage-dénombrement». Illustrer ou exemplifier. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 28

29 Des praticiens et des chercheurs affirment que les comptages précoces ne sont qu imitations, et que «conceptualisation de la quantité» et «comptages» se développent indépendamment l une de l autre. Débat En particulier, ce ne sont pas les procédures de comptages, en tant que telles qui sont mises en cause, mais essentiellement leur mise en place systématique. Ce qui peut créer un «obstacle» à l émergence d autres procédures. On pense évidemment au calcul ou parfois à la reconnaissance globale (ou «subitizing»). Une maxime pour après (GLP et PW et d autres!) : «Trop de comptage(s) tue(nt) le calcul!» Alors, cette compétence? Il s agit de l ENUMERATION : what s that? NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 29

30 SAVOIR COMPTER : qu est ce que ça veut dire? (Article de la «famille» EMPRUN). Tâche : DENOMBRER (littéralement «sortir le nombre» : dé nombrer) une quantité en utilisant la suite orale des nombres de «un en un». D où quelques questions : Qu est-ce qu une COLLECTION? Le concept de collection correspond à une famille d objets réunis par une propriété commune. Exemples? Hypothèse : ce concept est «installé» par des activités de TRIS. Qu appelle-t-on DESIGNATION? Le concept de désignation revient à remplacer un OBJET par un symbole. DENOMBRER, c est ainsi attribuer à une COLLECTION une désignation particulière : son cardinal. Il «manque» alors un dernier concept, indispensable pour mener à bien une activité de DENOMBREMENT par COMPTAGE : c est l ENUMERATION. What s that, bis? NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 30

31 La SITUATION de référence : «la boîte à œufs» ou «la boîte «pas à moi»!», ci-dessous, «les boîtes d allumettes», (Voir les activités de D. Valentin, F. et F. Emprun, J. Briand, ). Consigne(s) à l oral Pour aller plus loin : les variables didactiques ou variables de situation. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 31

32 L organisation spatiale des cases Les cases sont fixes ou mobiles La taille de l espace Le jeton est visible ou invisible Le marquage est possible ou impossible, le traçage d un chemin est possible ou impossible Il est utile d amener les élèves à formuler leurs procédures. Des mises en commun permettent de faire la liste des procédures qui ont permis de réussir la tâche, ces formulations sont alors gardées comme trace écrite sous forme de schémas ou d écrit en fonction du niveau de classe des élèves. Une autre solution pour amener les élèves à formuler leurs procédures consiste à mettre en place une situation de communication. A débattre. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 32

33 BILAN : quelques exemples de procédures à privilégier et à institutionnaliser pour des objets, suivant qu ils soient déplaçables ou pas, lors d une tâche de «comptagedénombrement». (Brochure «Rallye Mathématique»). Mise en ligne ou en colonnes (objets déplaçables). Facilitation de «parcours de la collection, pour aller vers la disposition emblématique : «de gauche à droite» ou «de bas en haut». Marquage (objets non déplaçables). Séparation (objets déplaçables). Mise de côté de ce qui a déjà été «traité». Mise en paquets (objets déplaçables). Procédure qui a une grande portée et un grand avenir : un des aspects fondamentaux de la NUMERATION (Cf. diapositive 20). Pour des objets non déplaçables, on «entoure», c est aussi un regroupement. Question : d autres procédures? NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 33

34 Une analyse «extra-fine» des connaissances à activer lors d une tâche de «comptage dénombrement», sous la forme d un programme hiérarchisé : (1) Etre capable de distinguer deux éléments (distincts) d une collection donnée. (2) Choisir un élément de cette collection. (3) Enoncer un «mot-nombre» (à partir de «un», puis le successeur du précédent dans la chaîne orale). (4) Conserver la mémoire de la collection des éléments déjà choisis (ou déjà «comptés»). (5) «Concevoir» la collection des éléments non encore choisis. (6) Recommencer en (2), tant que la collection n est pas vide. (7) Savoir qu on a choisi le dernier élément. (8) Si oui dans le cas (7), énoncer le dernier «mot-nombre», cardinal de la collection. Voilà, c est fait! Ah, quand même! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 34

35 Ce «programme» appelle les remarques suivantes : Les instructions (1), (2) et (7) nécessitent de concevoir ce qu est une collection ou un ensemble, au sens usuel. Pas aussi évident qu il n y paraît! Une collection de bouchons existe pour le PE, mais comment cette collection existe-t-elle pour un élève? Par exemple, si on enlève ou on rajoute un ou plusieurs bouchons, estce encore une collection? L instruction (3) relève du principe de «correspondance terme à terme» : pointage et défilement verbal des «mots- nombres» synchrones. L instruction (8) relève du principe cardinal. Lien direct et effectif entre comptage et quantité. La suite d instructions (1), (2), (4), (5), (6), (7) constitue une tâche spécifique nommée : «tâche d inventaire» ou «tâche d énumération». Tâche résumée par : «être capable de passer en revue tous les éléments de la collection, une et une seule fois, sans oubli». Et oui, il faut faire tout ça pour y arriver!!! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 35

36 On rentre maintenant dans le domaine du CALCUL : deux situations «voisines» relatives à l'addition. (ML PELTIER). Situation 1 COMBIEN ki nen a «en tout» de p'tits cubes? NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 36

37 Situation 2 Remarque. On travaille avec le mêmecube, ouf! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 37

38 Eléments d'analyse Le «milieu» matériel est le même pour les deux situations. Le «milieu» d apprentissage est différent. Les écrits, dans le premier cas, viennent pour répéter ce qui a déjà été constaté. Les écrits, dans le deuxième cas, sont un moment de production de savoirs et d un début de modélisation. En fait, ce n est ni le choix du contexte, ou de celui du jeu, qui fait qu une «situation» est un problème ou non, c est le fait que les élèves aient à développer une activité cognitive relative à la notion étudiée. On peut donc répéter la situation 2. à loisir, de la Maternelle au CP. Dernier point théorique : quels types de problèmes additifs peut-on aborder en Maternelle? Support: le modèle de VERGNAUD. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 38

39 ADDITION et SOUSTRACTION : «obtention» de sommes ou de différences (calculées) en agissant sur des NOMBRES (ou des GRANDEURS). PROCEDURES de CALCUL : Techniques «personnelles», au sens des programmes On se débrouille! Techniques «officielles» et standards. Pas au programme de la Maternelle. Techniques de «calcul réfléchi» ou de «calcul raisonné» : = , A commencer à mettre en place, avec tout environnement pertinent(matériel, situations décontextualisées, ) Techniques de «calcul automatisé» ; en particulier, utilisation des calculettes, non! Si! Et autres Du côté des ECRITURES SYMBOLIQUES. Très limitée à la Maternelle. Le plus important : les structures des problèmes additifs et soustractifs. Quels sont les types de problèmes donnant du SENS à l addition et à la? La théorie des champs conceptuels de G; VERGNAUD est au cœur de cette problématique. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 39

40 Quelques mots sur VERGNAUD (Cf. diaporama : JCLPW_Vergnaud) Les deux types de problèmes abordables à la Maternelle. Les «transformations d états» : problèmes dynamiques (il y a une «histoire»). Une représentation possible : Etat Initial Une transformation positive ou négative Etat final Des exemples, tout à fait «classiques» 1. Dans mon garage, il y a n voitures, j en retire m. Combien ai-je alorsde voituresdans mon garage. A résoudre avec le matériel!!! 2. Dans ma boîte, il y a n jetons, j en mets m. Combien de jetons contientma boîte? A résoudre aussi avec le matériel. 3. Sur une piste, je suis sur la case n, j avance ou je recule de m cases,où suis-je?avec le matériel : dés, pistes de jeux, NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 40

41 Les «compositions d états» : problèmes statiques (il n y a pas «d histoire»). Une représentation possible : Un premier état Un deuxième état Une composition des deux états Les recherches ont montré que ce type de problèmes sont moins bien réussis que les problèmes de transformations d états. Exemple emblématique : Un bouquet contient n fleurs jaunes et m fleurs rouges. Combiende fleursdans le bouquet? Remarque : chaque type de problèmes se décline suivant trois occurrences, en fonction de la place du nombre cherché ou inconnu. Ce qui ouvre des perspectives NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 41

42 On peut aussi aborder des problèmes de partages (équitables) ou de décompositions. On peut enfin et même on doit aborder des problèmes de logique : un autre sujet! «Rush Hour» et Cf. la bibliographie. Et maintenant, quelques friandises! On commence par les rituels : le «best of», la METEO! On laisse de côté les habitudes ou les pratiques usuelles : dans le coin «regroupement», en classe entière, avec ou pas des étiquettes, des objets, des dessins, Oui, mais tout ça pour quoi? La question est : en quoi cette activité fonctionnelle structurant le TEMPS et l ESPACE peut-elleelle favoriser ou développer des apprentissages mathématiques? Sehr Gut question! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 42

43 SITUATION Les élèves complètent chaque jour le tableau «METEO». Les variables de situation sont : Ne s intéresser qu à un paramètre : le «temps dominant» OU au contraire, s intéresser à plusieurs paramètres. SUPPORT : des tableaux «lignes colonnes». L Ma Me J V S D Tps dom. Tps dom. Tps dom. Tps dom. Tps dom. Tps dom. Tps dom. L Ma Me J V S D Soleil Pluie Nuage NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 43

44 Et voilà les Mathématiques qui débarquent! Comment? Source : Concertum COPIRELEM, tome 1 PRINCIPE : pour chaque quinzaine, pour chaque mois, faire apparaître le nombre de jours de Soleil, de Nuage, de Pluie, de Neige, Classe(s) privilégiée(s) : à partir de la MS. MATERIEL : un tableau type HISTOGRAMME ou une ABAQUE (tiges avec des jetons «couleurs ou formes») Soleil Nuage Pluie NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 44

45 Quelques questions ou pistes d interrogations Dans un mois donné, quel type de temps a-t-il fait le plus souvent? Activité de rangements des types de temps selon leur fréquence. Comparaison quantitative : combien de jours d un tel type de temps? Combien de jours de plus d un type de temps par rapport à un autre? Deux techniques de COMPARAISON : à l aide des carreaux (aspect cardinal) ou à l aide de la file numérique (aspect ordinal). Didactique : liens entre «deux après» et «deux de plus». Pour aller plus loin : avec plusieurs histogrammes, on peut rechercher le mois le plus «pluvieux» ou le plus «ensoleillé» ou Activité qui a bien évidemment sa place au CP : proposer un prolongement, dans les cadres numérique, graphique, géométrique, NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 45

46 Un autre rituel : «la Valise de TouTou». CD Rom Hatier. Présentation orale avec projection de la «page» du CD Rom. On termine avec TouTou, mon best of, pas mal! Merci et à bientôt, PW. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 46

47 ANNEXE 1.. MODELES «modernes» (= récents) concernant la construction du NOMBRE. MODELE 1 : travaux d ERMEL (entre autres). Du COMPTAGE vers le CALCUL. HYPOTHESE : les procédures de type SURCOMPTAGE ou DECOMPTAGE précèdent nécessairement le CALCUL. QUESTIONS : 1. SURCOMPTAGE et DECOMPTAGE : what s that? 2.Réponses et Outils? MODELE 2 : apports de R. BRISSIAUD (entre autres). EXISTENCE de DECOMPOSITIONS : «Finger s Strategies». Selon cet auteur, en complément du MODELE 1, le CALCUL se définit par la présence de stratégies dites de «décompositions». Ce MODELE découle de l observation d enfants qui utilisent leurs doigts, sans les compter un par un : «Finger s Strategies». NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 47

48 ERMEL : Le comptage précède nécessairement le calcul. PROCEDURE DE COMPTAGE MEMORISATION DE CERTAINS RESULTATS CALCUL NUMERIQUE BRISSIAUD : Privilégie l usage de la décomposition des nombres. PROCEDURE DE COMPTAGE ET DE CALCUL SUR LES OBJETS MEMORISATION DE CERTAINS RESULTATS CALCUL NUMERIQUE NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 48

49 ANNEXE 2. Quelques questions au CYCLE I On commence par le plus emblématique : la COMPTINE NUMERIQUE, à partir de deux questions. A. Pourquoi demande-t-on généralement à un élève de réciter deux fois, ou plus la comptine numérique? B. Si on demandait ensuite à un élève de compter jusqu à un nombre donné, quelle «compétence» cela demanderait-il «en plus»? TACHE PES. Proposer une trame de travail ou des pistes de progression sur le thème de la COMPTINE NUMERIQUE. On continue. On s intéresse maintenant au DENOMBREMENT. C. Quelles sont les compétences à mettre en œuvre pour dénombrer une collection d objets? D. Quelles sont les différences entre les tâches de dénombrement et celles de «fabrication» de collection? NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 49

50 Pistes de réponses. A. En demandant à l élève de répéter, le PE peut repérer quelle est la partie stable de la comptine, i.e. celle qui ne varie pas à la deuxième récitation, voire plus, qu elle soit conventionnelle ou non. En effet, on distingue trois parties dans toute comptine : (i) une partie stable et conventionnelle (i.e. sans erreur) ; (ii) une partie stable et non conventionnelle, i.e. que l élève «saute» toujours le même nombre ou «boucle» au même passage de dizaine ; (iii) une partie instable et non conventionnelle. B. La «récitation», ou mieux, la «restitution» de la comptine en s arrêtant à un nombre convenu suppose de mémoriser le nombre avant et s en rappeler en récitant et donc de l entendre «passer». Pas évident! NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 50

51 C. L échec à une tâche de dénombrement peut être expliqué par plusieurs raisons: (i) indisponibilité ou incorrection de la liste des«mots-nombres»; (ii) difficultés spatiales pour organiser un chemin dans la collection; (iii) non séparation des objets déjà comptés de ceux restant à compter; (iv) non compréhension du fait que le dernier nombre dit correspond au cardinal de la collection. D. Dans la fabrication d une collection il faut «mettre en mémoire» le nombre cardinal de la collection, et l entendre «passer» tout en effectuant la correspondance terme à terme entre les «mots-nombres» et les objets mis dans un gobelet ou autre contenant. Il semblerait a priori que la tâche d organisation à mener dans une tâche de dénombrement d une collection soit ici bien plus simple car les élèves mettent au fur et à mesure les objets dansle gobelet,maison voit que ce n estpas si simpleàgérer. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 51

52 ANNEXE 3. Un JEU de PISTES, de la MS jusqu à plus loin! (Epreuve CAFIPEMF) Point de départ du Jeu de la cabane du Berger. Une piste, des cases, des pions, un dé à six faces et c est parti. «Copie» d une piste du JEU La BERGERIE La PISTE, avec trois cases «spéciales» DEPART TACHE initiale LANCER le DE et LIRE le NUMERO obtenu. AVANCER le PION du nombre de cases égales au nombre lu. «ARRIVER»( ) NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 52

53 QUESTIONS, niveau 1 (Ici, on ne s intéresse pas encore aux cases dites «spéciales»). 1.DECRIRE un DISPOSITIF de classe et les «PRE- REQUIS» nécessaires à une (bonne) appropriation de ce jeu (niveau 1) par les ELEVES. 2. ENONCER les COMPETENCES mathématiques et langagières travaillées. 3. DECRIRE et ANALYSER quelques difficultés ou obstacles inhérents à ce type d activités ou de jeux de déplacement sur une piste, avec contraintes. IDEES nouvelles. On veut maintenant faire évoluer ce jeu, suivant deux «modalités». On souhaite qu il devienne un jeu de HASARD. On souhaite qu il devienne aussi un jeu de STRATEGIE. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 53

54 QUESTIONS, niveau 2 1. Qu appelle-t-on HASARD au cycle I, lorsqu on pratique un JEU? Qu appelle-t-on STRATEGIE au cycle I? Exemples? 2. Quelles nouvelles COMPETENCES sont alors travaillées en mettant en œuvre une activité mobilisant HASARD et STRATEGIE. 3. TRANSFORMER le «Jeu du Berger» en activité favorisant HASARD et STRATEGIE. PRECISER et EXPLICITER les variables de situation. 4. REDIGER alors une nouvelle consigne ou suite de tâches à accomplir. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 54

55 Le JEU du BERGER, avec quatre pistes et une BERGERIE NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 55

56 ANNEXE 4 : du côté des COMPTINES Pôle Maternelle 37 NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 56

57 Une progression NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 57

58 ANNEXE 5 : du côté des ALBUMS à COMPTER Quelques «invariants» : Une histoire littéraire et littérale de qualité. Oui, mais, il en faut plus!!! Des objectifs mathématiques notionnels ciblés, progressifs et cohérents. Et oui! Cf. ci-dessous : une sélection, très incomplète, mais cohérente de quelques albums. (Merci à Fanny MAZEAUD) «La chevrette qui savait compter jusqu'à dix». Alf Proysen, Akiko Hayashi. Editions l Ecole des Loisirs, Pastel, Une réflexion sur l utilisé des mathématiques : c est parce que la chevrette sait compter jusqu à dix que le Monde sera sauvé! Un travail sur la file numérique jusqu à dix. «Boucle d'or et les trois ours». Rose Celli, Gerda Muller. Editions Flammarion, Albums du Père Castor, Très classique, mais toujours intéressant en PS pour construire des correspondances entre collections et des collections équipotentes. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 58

59 «Vingt-deux ours». Claire Huchet, Kurt Wiese. Editions l Ecole des Loisirs, Très classique aussi, une construction d une file numérique au-delà de vingt. «Dix petites graines». Ruth Brown. Editions Gallimard Jeunesse, Compte à rebours : comptage à l envers de dix à un. «Dix petits amis déménagent». Mitsumasa Anno. Editions l Ecole des Loisirs, Travail sur les compléments à dix. Repris dans «le» Dominique Valentin. NOVEMBRE 2012 P. WIERUSZEWSKI 59