Terminale 04. Contrôle n 6

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1 Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats. Contrôle n 6 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O; u, v). 1. Soient A le point d affixe 2 5i et B le point d affixe 7 3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle. 2. Soit ( ) l ensemble des points M d affixe z telle que z i = z + 2i. Proposition 2 : ( ) est une droite parallèle à l axe des réels. 3. Soit z = 3 + i 3. Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z 3n est imaginaire pur. 4. Soit z un nombre complexe non nul. Proposition 4 : Si π est un argument de z alors i + z = 1 + z Soit z un nombre complexe non nul. Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z est un nombre réel. z2 Exercice 2 (5 points) Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A : Pour un premier jeu : si l internaute gagne une partie, la probabilité qu il gagne la partie suivante est égale à 2 5. si l internaute perd une partie, la probabilité qu il perde la partie suivante est égale à 4 5. Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G n l événement «l internaute gagne la n-ième partie» et on note p n la probabilité de l événement G n. L internaute gagne toujours la première partie et donc p 1 = 1. 1

2 1. Recopier et compléter l arbre pondéré suivant : G n+1 pn G n G n+1 G n+1 1 p n G n G n+1 2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p n+1 = 1 5 p n Pour tout n entier naturel non nul, on pose u n = p n 1 4. (a) Montrer que (u n ) n N est une suite géométrique de raison 1 5 et de premier terme u 1 à préciser. (b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p n = 3 4 ( 1 5 (c) Déterminer la limite de p n. ) n Partie B : Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1 4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? Justifier. (b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie? Le résultat sera arrondi à 10 2 près. (c) Déterminer l espérance de X. 2. Le joueur doit payer 30AC pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8AC. (a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. (b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40AC? Le résultat sera arrondi à 10 5 près. 2

3 Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f(x) = e x et g(x) = 1 e x. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g, sont fournies en annexe. Partie A Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l annexe. Partie B Dans cette partie, on admet l existence de ces tangentes communes. On note D l une d entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d abscisse b. 1. (a) Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A. (b) Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B. (c) En déduire que b = a. 2. Démontrer que le réel a est solution de l équation Partie C On considère la fonction ϕ définie sur R par 2(x 1)e x + 1 = 0. ϕ(x) = 2(x 1)e x (a) Calculer les limites de la fonction ϕ en et +. (b) Calculer la dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe. (c) Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ sur R. Préciser la valeur de ϕ(0). 2. (a) Démontrer que l équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions dans R. Partie D (b) On note α la solution négative de l équation ϕ(x) = 0 et β la solution positive de cette équation. A l aide d une calculatrice, donner les valeurs de α et β arrondies au centième. Dans cette partie, on démontre l existence de ces tangentes communes, que l on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe C f d abscisse α et F le point de la courbe C g d abscisse α (α est le nombre réel défini dans la partie C). 1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E. 2. Démontrer que (EF) est tangente à C g au point F. 3

4 Exercice 4 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité L objet de cet exercice est l étude de la suite (u n ) définie par son premier terme u 1 = 3 2 et la relation de récurrence : u n+1 = nu n + 1 2(n + 1). Partie A - Algorithmique et conjectures Pour calculer et afficher le terme u 9 de la suite, un élève propose l algorithme ci-contre. Il a oublié de compléter deux lignes. Variables n est un entier naturel u est un réel Initialisation Affecter à n la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5 Traitement Tant que n < 9 Affecter à u la valeur Affecter à n la valeur Fin Tant que Sortie Afficher la variable u 1. Recopier et compléter les deux lignes de l algorithme où figurent des points de suspension. 2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu il calcule et affiche tous les termes de la suite de u 2 jusqu à u 9? 3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième : n u n 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 0,0102 0,0101 Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u n ). Partie B - Étude mathématique On définit une suite auxiliaire (v n ) par : pour tout entier n 1, v n = nu n Montrer que la suite (v n ) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 1 + (0, 5)n 2. En déduire que, pour tout entier naturel n 1, on a : u n =. n 3. Déterminer la limite de la suite (u n ). 1 + (1 + 0, 5n)(0, 5)n 4. Justifier que, pour tout entier n 1, on a : u n+1 u n =. n(n + 1) En déduire le sens de variation de la suite (u n ). Partie C - Retour à l algorithmique En s inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d afficher le plus petit entier n tel que u n < 0,

5 Exercice 4 5 points) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante Partie A Pour deux entiers naturels non nuls a et b, on note r(a, b) le reste dans la division euclidienne de a par b. On considère l algorithme suivant : Variables : c est un entier naturel a et b sont des entiers naturels non nuls Entrées : Demander a Demander b Traitement : Affecter à c le nombre r(a, b) Tant que c 0 Affecter à a le nombre b Affecter à b la valeur de c Affecter à c le nombre r(a, b) Fin Tant que Sortie : Afficher b 1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 26 et b = 9 en indiquant les valeurs de a, b et c à chaque étape. 2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls a et b. Le modifier pour qu il indique si deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux ou non. Partie B A chaque lettre de l alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape 1 : on choisit deux entiers naturels p et q compris entre 0 et 25. Étape 2 : A la lettre que l on veut coder, on associe l entier x correspondant dans le tableau ci-dessus. Étape 3 : on calcule l entier x défini par les relations x px + q [26] et 0 x 25. Étape 4 : A l entier x, on associe la lettre correspondante dans le tableau. 1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2. (a) Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. (b) Citer le théorème qui permet d affirmer l existence de deux entiers relatifs u et v tels que 9u + 26v = 1. Donner sans justifier un couple (u, v) qui convient. (c) Démontrer que x 9x + 2 [26] équivaut à x 3x + 20 [26]. (d) Décoder la lettre R. 2. Dans cette question, on choisit q = 2 et p est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de p (on admettra que p est unique). 3. Dans cette question, on choisit p = 13 et q = 2. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage? 5

6 Annexe Exercice C f 3 2 C g