Intégration II Formule de Green, Formule de Stokes. 12 octobre 2017

Transcription

1 Intégration II Formule de Green, Formule de Stokes 12 octobre 2017

2 Intégrales doubles R f

3 Théorème de Fubini Théorème Soit f une fonction continue sur un rectangle Q = [a; b] [c; d], alors f est intégrable sur Q. De plus, on a Q f (x, y)dxdy = b a ( d c ) d ( b ) f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. c a

4 Exemple Si Q = [ 1; 1] [0; 2π], alors, Q (x sin y ye x )dxdy = 1 2π 1 0 =... = 2 (x sin y ye x )dxdy ( ) 1 e e π 2.

5 Intégrales doubles étendues à des régions plus générales Nous supposons maintenant que l on veut intégrer une fonction f continue sur une région d intégration S définie par S = {(x, y)/ a x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}, où ϕ 1 et ϕ 2 sont des fonctions continues sur un intervalle fermé [a; b] satisfaisant ϕ 1 ϕ 2.

6 Intégrales doubles étendues à des régions plus générales Théorème Soit S une région, définie par S = {(x, y)/ a x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}, située entre les graphes de ϕ 1 et ϕ 2 deux fonctions continues. Supposons que f est définie et continue sur S. Alors, l intégrale double f (x, y)dxdy existe et peut être évaluée par S S f (x, y)dxdy = b a [ ] ϕ2 (x) f (x, y)dy dx. ϕ 1 (x)

7 Exemple Soit Alors S = {(x, y R 2 : x, y 0, x + y π} S sin(x + y)dxdy = π π x x=0 y=0 sin(x + y)dxdy = π x=0 (cos(x) + 1)dx = π

8 Le théorème de Green Le théorème de Green (ou Green-Reimann) donne la relation entre une intégrale curviligne le long d une courbe simple fermée orientée C 1 par morceaux et l intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe.

9 Le théorème de Green Le théorème de Green (ou Green-Reimann) donne la relation entre une intégrale curviligne le long d une courbe simple fermée orientée C 1 par morceaux et l intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe. Le domaine Ω et son bord Γ : Il faut bien orienter Γ pour avoir Ω à gauche!

10 Le théorème de Green Le théorème de Green (ou Green-Reimann) donne la relation entre une intégrale curviligne le long d une courbe simple fermée orientée C 1 par morceaux et l intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe. Le domaine Ω et son bord Γ : Il faut bien orienter Γ pour avoir Ω à gauche!

11 Le théorème de Green Théorème Soit f = f(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) un champ vectoriel où P et Q sont des champs scalaires qui sont continûment différentiables sur un ouvert S dans le plan (x, y). Soit Γ une courbe de Jordan (courbe fermée sans points doubles) de classe C 1 par morceaux, et soit Ω l union de Γ et de son intérieur. Supposons que Ω est un sous-ensemble de S. Alors, nous avons l identité rot(f)(x, y)dxdy = f dl Ω Γ + c-à-d. Ω ( Q x P ) ( ) dxdy = Pdx + Qdy, y Γ + où l intégrale de curviligne est prise le long de Γ dans le sens direct : Γ +.

12 Un exemple Vérifions le théorème de Green pour le champ vectoriel f(x, y) = (y 2, x) défini sur Ω = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}.

13 Un exemple Vérifions le théorème de Green pour le champ vectoriel f(x, y) = (y 2, x) défini sur Ω = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. On vérifie facilement que rot f = 1 2y. En posant x = r cos θ et y = r sin θ, on obtient

14 Un exemple Vérifions le théorème de Green pour le champ vectoriel f(x, y) = (y 2, x) défini sur Ω = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. On vérifie facilement que rot f = 1 2y. En posant x = r cos θ et y = r sin θ, on obtient Ω rot f(x, y)dxdy = 1 2π 0 0 (1 2r cos θ)rdrdθ = π Le bord Σ = Γ + de Ω est le cercle unité (orienté dans le sens positif). On le paramètre avec γ(θ) = (cos θ, sin θ).

15 Un exemple Vérifions le théorème de Green pour le champ vectoriel f(x, y) = (y 2, x) défini sur Ω = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. On vérifie facilement que rot f = 1 2y. En posant x = r cos θ et y = r sin θ, on obtient Ω rot f(x, y)dxdy = 1 2π 0 0 (1 2r cos θ)rdrdθ = π Le bord Σ = Γ + de Ω est le cercle unité (orienté dans le sens positif). On le paramètre avec γ(θ) = (cos θ, sin θ). Donc Σ f dl = 2π 0 f(γ(θ)) γ (θ)dθ = 2π 0 (sin2 θ, cos θ) ( sin θ, cos θ)dθ = 2π 0 cos 2 θdθ = π.

16 Un exemple En utilisant la formule de Green, évaluons l intégrale curviligne (2xy x 2 )dx + (x + y 2 )dy, Γ où Γ est le bord orienté du domaine délimité par les courbes y = x 2 et x = y 2.

17 Un exemple En utilisant la formule de Green, évaluons l intégrale curviligne (2xy x 2 )dx + (x + y 2 )dy, Γ où Γ est le bord orienté du domaine délimité par les courbes y = x 2 et x = y 2. Le domaine correspondant à pour paramétrage Ω = {(x, y) R 2 : 0 x 1, x 2 y x}

18 Un exemple En utilisant la formule de Green, évaluons l intégrale curviligne (2xy x 2 )dx + (x + y 2 )dy, Γ où Γ est le bord orienté du domaine délimité par les courbes y = x 2 et x = y 2. Le domaine correspondant à pour paramétrage Ω = {(x, y) R 2 : 0 x 1, x 2 y x} On pose P(x, y) = 2xy x 2 et Q(x, y) = x + y 2.

19 Un exemple En utilisant la formule de Green, évaluons l intégrale curviligne (2xy x 2 )dx + (x + y 2 )dy, Γ où Γ est le bord orienté du domaine délimité par les courbes y = x 2 et x = y 2. Le domaine correspondant à pour paramétrage Ω = {(x, y) R 2 : 0 x 1, x 2 y x} On pose P(x, y) = 2xy x 2 et Q(x, y) = x + y 2. Donc Γ (2xy x 2 )dx + (x + y 2 )dy = Ω = 1 0 = 1 = 1 30 ( Q x P y ) dxdy x (1 2x)dydx x 2 0 (1 2x)( x x 2 )dx

20 Un exemple Evaluons l intégrale double suivante, en utilisant la formule de Green, où Ω = {(x, y) R 2 Ω (2x 3 y)dxdy : x 0, y 0, x2 a 2 + y 2 b 2 1}.

21 Un exemple Evaluons l intégrale double suivante, en utilisant la formule de Green, Ω (2x 3 y)dxdy où Ω = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x2 1}. b 2 On commence par chercher P et Q tels que a 2 + y 2 Q x = 2x 3, P y = y

22 Un exemple Evaluons l intégrale double suivante, en utilisant la formule de Green, Ω (2x 3 y)dxdy où Ω = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x2 1}. b 2 On commence par chercher P et Q tels que a 2 + y 2 Q x = 2x 3, P y = y On trouve Q(x, y) = x 4 /2 et P(x, y) = y 2 /2.

23 Un exemple Evaluons l intégrale double suivante, en utilisant la formule de Green, Ω (2x 3 y)dxdy où Ω = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x2 1}. b 2 On commence par chercher P et Q tels que a 2 + y 2 Q x = 2x 3, P y = y On trouve Q(x, y) = x 4 /2 et P(x, y) = y 2 /2. Le domaine Ω est l intérieur d une ellipse paramétrée par x = a cos θ, y = b sin θ,

24 Un exemple Evaluons l intégrale double suivante, en utilisant la formule de Green, Ω (2x 3 y)dxdy où Ω = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x2 1}. b 2 On commence par chercher P et Q tels que a 2 + y 2 Q x = 2x 3, P y = y On trouve Q(x, y) = x 4 /2 et P(x, y) = y 2 /2. Le domaine Ω est l intérieur d une ellipse paramétrée par x = a cos θ, y = b sin θ, Donc Ω (2x 3 y)dxdy = Ω Pdx + Qdy = 2π 0 b 2 sin 2 θ 2 ( a sin θ) + b4 cos 4 θ 2 (b cos θ)dθ = 4 15 a4 b ab2 3

25 L aire comme intégrale de surface L aire de Ω est définie par Ω dxdy.

26 L aire comme intégrale de surface L aire de Ω est définie par Ω dxdy. Considérons dans un premier temps P(x, y) = y et Q(x, y) = 0.

27 L aire comme intégrale de surface L aire de Ω est définie par Ω dxdy. Considérons dans un premier temps P(x, y) = y et Q(x, y) = 0. Alors, la formule de Green donne : dxdy = Ω ydx, Γ + Γ + étant la frontière orientée de Ω.

28 L aire comme intégrale de surface L aire de Ω est définie par Ω dxdy. Considérons dans un premier temps P(x, y) = y et Q(x, y) = 0. Alors, la formule de Green donne : dxdy = Ω ydx, Γ + Γ + étant la frontière orientée de Ω. De la même façon, considérons P(x, y) = 0 et Q(x, y) = x,

29 L aire comme intégrale de surface L aire de Ω est définie par Ω dxdy. Considérons dans un premier temps P(x, y) = y et Q(x, y) = 0. Alors, la formule de Green donne : dxdy = Ω ydx, Γ + Γ + étant la frontière orientée de Ω. De la même façon, considérons P(x, y) = 0 et Q(x, y) = x, alors dxdy = xdy. Ω Γ +

30 L aire comme intégrale de surface L aire de Ω est définie par Ω dxdy. Considérons dans un premier temps P(x, y) = y et Q(x, y) = 0. Alors, la formule de Green donne : dxdy = Ω ydx, Γ + Γ + étant la frontière orientée de Ω. De la même façon, considérons P(x, y) = 0 et Q(x, y) = x, alors dxdy = xdy. Ω Γ + Par conséquent, l aire de Ω se calcule de la façon suivante : aire(ω) = dxdy = 1 xdy ydx Ω 2 Γ +

31 Aire de l astroïde Calculons l aire de l astroïde délimité par les axe (Ox), (Oy) et la courbe paramétrée γ(t) = (a cos 3 t, a sin 3 t), t [0, 2π].

32 Aire de l astroïde Calculons l aire de l astroïde délimité par les axe (Ox), (Oy) et la courbe paramétrée γ(t) = (a cos 3 t, a sin 3 t), t [0, 2π]. Si Γ est le bord orienté du domaine, on a A = 1 xdy ydx 2 Γ

33 Aire de l astroïde Calculons l aire de l astroïde délimité par les axe (Ox), (Oy) et la courbe paramétrée γ(t) = (a cos 3 t, a sin 3 t), t [0, 2π]. Si Γ est le bord orienté du domaine, on a A = 1 xdy ydx 2 On calcule ensuite l intégrale d une 1-forme différentielle de la façon habituelle : Γ

34 Aire de l astroïde Calculons l aire de l astroïde délimité par les axe (Ox), (Oy) et la courbe paramétrée γ(t) = (a cos 3 t, a sin 3 t), t [0, 2π]. Si Γ est le bord orienté du domaine, on a A = 1 xdy ydx 2 On calcule ensuite l intégrale d une 1-forme différentielle de la façon habituelle : 2π Γ A = 1 2 a cos 3 t(3a cos t sin 2 t) a sin 3 t( 3a sin t cos 2 t)dt = 3a20 2π 2 0 cos 4 t sin 2 t + sin 4 t cos 2 tdt

35 Aire de l astroïde Calculons l aire de l astroïde délimité par les axe (Ox), (Oy) et la courbe paramétrée γ(t) = (a cos 3 t, a sin 3 t), t [0, 2π]. Si Γ est le bord orienté du domaine, on a A = 1 xdy ydx 2 On calcule ensuite l intégrale d une 1-forme différentielle de la façon habituelle : 2π Γ A = 1 2 a cos 3 t(3a cos t sin 2 t) a sin 3 t( 3a sin t cos 2 t)dt = 3a20 2π 2 0 cos 4 t sin 2 t + sin 4 t cos 2 tdt On linéarise (à l aide des complexes) pour trouver A = π 32.

36 Formule de changements de variables En dimension 1, on a la formule de changement de variable avec x = g(t) et g bijection C 1 de [c, d] sur [a, b] b a f (x)dx = d c f (g(t))g (t)dt.

37 Formule de changements de variables En dimension 1, on a la formule de changement de variable avec x = g(t) et g bijection C 1 de [c, d] sur [a, b] b a f (x)dx = d c f (g(t))g (t)dt. Comment cela se passe-t-il en dimensions supérieures?

38 Formule de changements de variables en dimension 2 Soit S et T deux ouverts de R 2 et ϕ: S T une application bijective de classe C 1.

39 Formule de changements de variables en dimension 2 Soit S et T deux ouverts de R 2 et ϕ: S T une application bijective de classe C 1. On notera ϕ(u, v) = (X (u, v), Y (u, v)).

40 Formule de changements de variables en dimension 2 Soit S et T deux ouverts de R 2 et ϕ: S T une application bijective de classe C 1. On notera ϕ(u, v) = (X (u, v), Y (u, v)). On a alors la formule : f (x, y)dxdy = S T g(u, v) J(u, v) dudv avec g(u, v) = f ϕ(u, v) et J(u, v) = ux u Y v X v Y.

41 Exemple de changement de coordonnées Montrer que l on a en coordonnées polaires f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ, S où S est le disque de centre l origine et de rayon a, T est à déterminer. T

42 Exemple de changement de coordonnées Montrer que l on a en coordonnées polaires f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ, S où S est le disque de centre l origine et de rayon a, T est à déterminer. T

43 En dimension supérieure à trois On considère application vectorielle X X : T S, u x = X(u)

44 En dimension supérieure à trois On considère application vectorielle X X : T S, u x = X(u) Supposons X bijective et continûment différentiable sur T.

45 En dimension supérieure à trois On considère application vectorielle X X : T S, u x = X(u) Supposons X bijective et continûment différentiable sur T. La formule de changements de coordonnées s écrit alors f (x)dx = f (X(u)) det DX(u) du S T où DX(u) est la matrice jacobienne du champ de vecteurs X.

46 Exemple de la dimension 3 Dans le cas tridimensionnel, posons x = (x, y, z), X = (X, Y, Z) et u = (u, v, w) comme notations (x = X(u)).

47 Exemple de la dimension 3 Dans le cas tridimensionnel, posons x = (x, y, z), X = (X, Y, Z) et u = (u, v, w) comme notations (x = X(u)). On a alors S f (x, y, z)dxdydz = f (X (u, v, w), Y (u, v, w), Z(u, v, w)) det J(u, v, w) dudvdw où T J(u, v, w) = u X v X w X u Y v Y w Y u Z v Z w Z

48 Surfaces Une surface est l analogue en dimension 2 de ce qu est une courbe en dimension 1

49 Surfaces Une surface est l analogue en dimension 2 de ce qu est une courbe en dimension 1, c est-à-dire un objet décrit localement par deux paramètres.

50 Surfaces Une surface est l analogue en dimension 2 de ce qu est une courbe en dimension 1, c est-à-dire un objet décrit localement par deux paramètres.

51 Surfaces paramétrées Une surface paramétrée est un couple (U, α) où U est un ouvert connexe de R 2, et α = (X, Y, Z) est un champ vectoriel de U dans R 3 : x = X (u, v) y = Y (u, v) z = Z(u, v)

52 Graphe d une fonction Soit f une fonction continue de U R 2 vers R, on considère le paramétrage (u, v) (u, v, f (u, v)).

53 Graphe d une fonction Soit f une fonction continue de U R 2 vers R, on considère le paramétrage (u, v) (u, v, f (u, v)). La surface obtenue est le graphe de f.

54 Graphe d une fonction Soit f une fonction continue de U R 2 vers R, on considère le paramétrage (u, v) (u, v, f (u, v)). La surface obtenue est le graphe de f. Exemple f (u, v) = u 2 v.

55 Représentation implicite d une surface Une surface peut être représentée de manière implicite, par l ensemble de points (x, y, z) satisfaisant une équation de la forme F (x, y, z) = 0.

56 Représentation implicite d une surface Une surface peut être représentée de manière implicite, par l ensemble de points (x, y, z) satisfaisant une équation de la forme F (x, y, z) = 0. Exemple Une sphère peut être représentée implicitement par une équation du type x 2 + y 2 + z 2 = 1

57 Représentation implicite d une surface Une surface peut être représentée de manière implicite, par l ensemble de points (x, y, z) satisfaisant une équation de la forme F (x, y, z) = 0. Exemple Une sphère peut être représentée implicitement par une équation du type x 2 + y 2 + z 2 = 1 ou explicitement par z = ± 1 x 2 y 2, le signe + correspondant à l hémisphère nord et le signe à l hémisphère sud.

58 Représentation implicite d une surface Une surface peut être représentée de manière implicite, par l ensemble de points (x, y, z) satisfaisant une équation de la forme F (x, y, z) = 0. Exemple Une sphère peut être représentée implicitement par une équation du type x 2 + y 2 + z 2 = 1 ou explicitement par z = ± 1 x 2 y 2, le signe + correspondant à l hémisphère nord et le signe à l hémisphère sud. En fait, c est le théorème des fonctions implicites qui permet de passer d une présentation implicite à une représentation paramétrique.

59 Deux exemples Exemple La sphère centrée en l origine et de rayon a est décrite par la représentation paramétrique x = a cos u cos v y = a sin u cos v z = a sin v [ pour (u, v) U = [0; 2π] π 2 ; π ]. 2

60 Deux exemples Exemple La sphère centrée en l origine et de rayon a est décrite par la représentation paramétrique x = a cos u cos v y = a sin u cos v z = a sin v [ pour (u, v) U = [0; 2π] π 2 ; π ]. 2 Exemple Le cône de hauteur h cos γ est décrit par pour (u, v) U = [0; 2π] [0; h]. x = v sin γ cos u y = v sin γ sin u z = v cos γ

61 Changement de paramétrage Définition Soit Σ une surface paramétrée par une fonction α. Supposons que α transporte un ouvert connexe U du plan (u, v) en une surface paramétrique α (U).

62 Changement de paramétrage Définition Soit Σ une surface paramétrée par une fonction α. Supposons que α transporte un ouvert connexe U du plan (u, v) en une surface paramétrique α (U). Supposons également que U est l image d un ouvert connexe V dans un plan (s, t) par une application G bijective, de classe C 1, et de jacobien non nul,

63 Changement de paramétrage Définition Soit Σ une surface paramétrée par une fonction α. Supposons que α transporte un ouvert connexe U du plan (u, v) en une surface paramétrique α (U). Supposons également que U est l image d un ouvert connexe V dans un plan (s, t) par une application G bijective, de classe C 1, et de jacobien non nul, donnée par { G (s, t) = u (s, t) i + v (s, t) j = (u, v) (1) si (s, t) V

64 Changement de paramétrage Définition Soit Σ une surface paramétrée par une fonction α. Supposons que α transporte un ouvert connexe U du plan (u, v) en une surface paramétrique α (U). Supposons également que U est l image d un ouvert connexe V dans un plan (s, t) par une application G bijective, de classe C 1, et de jacobien non nul, donnée par { G (s, t) = u (s, t) i + v (s, t) j = (u, v) (1) si (s, t) V Considérons la fonction β définie sur V par l équation β (s, t) = α [G (s, t)] (2) G est appelée changement de paramétrage.

65 Changement de paramétrage Deux fonctions α et β ainsi reliées sont dites équivalentes. Elles décrivent notamment la même surface Σ : α (U) et β (V ) sont identiques en tant qu ensembles de points.

66 Changement de paramétrage Deux fonctions α et β ainsi reliées sont dites équivalentes. Elles décrivent notamment la même surface Σ : α (U) et β (V ) sont identiques en tant qu ensembles de points. Notons J G = det DG le jacobien de G.

67 Changement de paramétrage Deux fonctions α et β ainsi reliées sont dites équivalentes. Elles décrivent notamment la même surface Σ : α (U) et β (V ) sont identiques en tant qu ensembles de points. Notons J G = det DG le jacobien de G. Si J G > 0, le changement de paramétrage est dit direct, on dit que l orientation est conservée, si J G < 0, le changement de paramétrage est dit indirect, on dit que l orientation est inversée.

68 Plan tangent Nous faisons l hypothèse ici que le vecteur α est de classe C 1 sur U, un ouvert connexe du plan : α(u, v) = X (u, v)i + Y (u, v)j + Y (u, v)k, avec (u, v) U. On appelle Σ la surface paramétrée par α sur U.

69 Plan tangent Nous faisons l hypothèse ici que le vecteur α est de classe C 1 sur U, un ouvert connexe du plan : α(u, v) = X (u, v)i + Y (u, v)j + Y (u, v)k, avec (u, v) U. On appelle Σ la surface paramétrée par α sur U. Comme α est de classe C 1, on dit aussi que la surface Σ est de classe C 1.

70 Plan tangent Nous faisons l hypothèse ici que le vecteur α est de classe C 1 sur U, un ouvert connexe du plan : α(u, v) = X (u, v)i + Y (u, v)j + Y (u, v)k, avec (u, v) U. On appelle Σ la surface paramétrée par α sur U. Comme α est de classe C 1, on dit aussi que la surface Σ est de classe C 1. Puisque α est différentiable sur U, on peut alors considérer les deux vecteurs α u = X u i + Y u j + Z u k α v = X v i + Y v j + Z v k

71 Plan tangent Définition On dira que le point α(u, v) de la surface paramétrée Σ est régulier si, en ce point, α u α v 0 Dans le cas contraire, on parle de point singulier. Si tous les points sont réguliers, la surface est dite régulière.

72 Plan tangent Définition On dira que le point α(u, v) de la surface paramétrée Σ est régulier si, en ce point, α u α v 0 Dans le cas contraire, on parle de point singulier. Si tous les points sont réguliers, la surface est dite régulière. En un point régulier, les vecteurs α α et sont linéairement u v indépendants, et engendrent donc un plan. Le plan affine contenant le point M = α(u, v) et les deux directions α α et est appelé u v plan tangent en M à la surface Σ.

73 Un exemple

74 Invariance par changement de paramétrage Théorème En tout point régulier d une surface paramétrée de classe C 1, on peut définir un plan tangent, indépendant du paramétrage choisi pour Σ, pourvu qu on considère des paramétrisations équivalentes.

75 Invariance par changement de paramétrage Théorème En tout point régulier d une surface paramétrée de classe C 1, on peut définir un plan tangent, indépendant du paramétrage choisi pour Σ, pourvu qu on considère des paramétrisations équivalentes. Si (α, U) est un tel paramétrage de Σ, le plan tangent en M = α(u, v) Σ est le plan passant par M et de directions α u et α v.

76 Invariance par changement de paramétrage Théorème En tout point régulier d une surface paramétrée de classe C 1, on peut définir un plan tangent, indépendant du paramétrage choisi pour Σ, pourvu qu on considère des paramétrisations équivalentes. Si (α, U) est un tel paramétrage de Σ, le plan tangent en M = α(u, v) Σ est le plan passant par M et de directions α u et α v. En ce point, la droite orthogonale au plan tangent est appelée normale. Elle est dirigée par le vecteur N = α u α v

77 Aire d une surface dans R 3 On considère une surface Σ paramétrée par (α, U).

78 Aire d une surface dans R 3 On considère une surface Σ paramétrée par (α, U). Définition L aire de Σ, notée a (Σ) ou Σ, est définie par l intégrale double a (Σ) = α u α v du dv U

79 Exemple Calculons l aire de la surface (délimitant un cylindre) Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 }

80 Exemple Calculons l aire de la surface (délimitant un cylindre) Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } On choisit une paramétrisation (en coordonnées cylindriques) α(θ, ϕ) = (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ) avec (θ, ϕ) U := [0, 2π] [0, π].

81 Exemple Calculons l aire de la surface (délimitant un cylindre) Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } On choisit une paramétrisation (en coordonnées cylindriques) α(θ, ϕ) = (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ) avec (θ, ϕ) U := [0, 2π] [0, π]. Le vecteur normal est α θ α ϕ = r 2 sin ϕ(cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ)

82 Exemple Calculons l aire de la surface (délimitant un cylindre) Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } On choisit une paramétrisation (en coordonnées cylindriques) α(θ, ϕ) = (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ) avec (θ, ϕ) U := [0, 2π] [0, π]. Le vecteur normal est α θ α ϕ = r 2 sin ϕ(cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) et donc α θ α ϕ = r 2 sin ϕ.

83 Exemple Calculons l aire de la surface (délimitant un cylindre) Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } On choisit une paramétrisation (en coordonnées cylindriques) α(θ, ϕ) = (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ) avec (θ, ϕ) U := [0, 2π] [0, π]. Le vecteur normal est α θ α ϕ = r 2 sin ϕ(cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) et donc α θ α ϕ = r 2 sin ϕ. L aire de Σ est donc a(σ) = U α θ α 2π π ϕ dθdϕ = r 2 sin ϕdθdϕ = 4πr

84 Invariance par changement de paramétrage Théorème L aire d une surface paramétrée est indépendante de la paramétrisation choisie, pourvu que les paramétrisations soient équivalentes.

85 Invariance par changement de paramétrage Théorème L aire d une surface paramétrée est indépendante de la paramétrisation choisie, pourvu que les paramétrisations soient équivalentes. Démonstration. Soit un changement de paramétrage G, tel que α(u, v) = β(g(s, t)) et les deux paramétrisations sont équivalentes. On a, en faisant le changement de variable (u, v) = G(s, t) dans l intégrale : α U u α v du dv = β V s β s J G 1 J Gds dt = β s β s ds dt. V

86 Intégrales de surfaces Définition Soit Σ = α (U) une surface paramétrée décrite par une fonction différentiable α définie sur une région U du plan (u, v) et soit f un champ scalaire défini et borné sur Σ.

87 Intégrales de surfaces Définition Soit Σ = α (U) une surface paramétrée décrite par une fonction différentiable α définie sur une région U du plan (u, v) et soit f un champ scalaire défini et borné sur Σ. L intégrale de surface de f sur Σ est définie par l équation : fds = f (α (u, v)) α u α v du dv Σ U dès que l intégrale de droite existe. On appelle souvent ds l élément de surface.

88 Intégrales de surfaces Définition Soit Σ = α (U) une surface paramétrée décrite par une fonction différentiable α définie sur une région U du plan (u, v) et soit f un champ scalaire défini et borné sur Σ. L intégrale de surface de f sur Σ est définie par l équation : fds = f (α (u, v)) α u α v du dv Σ U dès que l intégrale de droite existe. On appelle souvent ds l élément de surface. De nouveau, cette formule est invariante par changement de paramétrisation.

89 Exemple Calculons l intégrale de surface du champ vectoriel f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z sur la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 et 0 z 1}

90 Exemple Calculons l intégrale de surface du champ vectoriel f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z sur la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 et 0 z 1} On choisi le paramétrage α(θ, z) = (cos θ, sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1].

91 Exemple Calculons l intégrale de surface du champ vectoriel f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z sur la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 et 0 z 1} On choisi le paramétrage α(θ, z) = (cos θ, sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1]. trouve α θ α = (cos θ, sin θ, 0), α z θ α z = 1

92 Exemple Calculons l intégrale de surface du champ vectoriel f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z sur la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 et 0 z 1} On choisi le paramétrage α(θ, z) = (cos θ, sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1]. trouve Donc fds = Σ α θ α = (cos θ, sin θ, 0), α z θ α z = 1 1 2π 0 0 (cos 2 θ+sin 2 θ+2z)dθdz = 2π 1 0 (1+2z)dz = 4π

93 Flux d un champ à travers une surface

94 Flux d un champ à travers une surface On appelle flux d un un champ de vecteurs F de R 3 à travers une surface orientée Σ le scalaire F ds où ds représente un vecteur normal. Si la surface est paramétrée par Σ = α(u) alors ce vecteur est donnée par ds = ( α u α v )dudv et le flux par F ds = F [α (u, v)] α u α du dv v Σ U Σ

95 Exemple Soit le champ vectoriel f(x, y, z) = (y, x, z 2 ) et la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 et 0 z 1} Calculons le flux de f passant à travers Σ dans la direction des z > 0.

96 Exemple Soit le champ vectoriel f(x, y, z) = (y, x, z 2 ) et la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 et 0 z 1} Calculons le flux de f passant à travers Σ dans la direction des z > 0. On prend α(θ, z) = (z cos θ, z sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1].

97 Exemple Soit le champ vectoriel f(x, y, z) = (y, x, z 2 ) et la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 et 0 z 1} Calculons le flux de f passant à travers Σ dans la direction des z > 0. On prend α(θ, z) = (z cos θ, z sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1]. On obtient α θ α = (z cos θ, z sin θ, z) z

98 Exemple Soit le champ vectoriel f(x, y, z) = (y, x, z 2 ) et la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 et 0 z 1} Calculons le flux de f passant à travers Σ dans la direction des z > 0. On prend α(θ, z) = (z cos θ, z sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1]. On obtient α θ α = (z cos θ, z sin θ, z) z Comme z < 0, on choisit comme normale n = ( α θ α z ).

99 Exemple Soit le champ vectoriel f(x, y, z) = (y, x, z 2 ) et la surface Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 et 0 z 1} Calculons le flux de f passant à travers Σ dans la direction des z > 0. On prend α(θ, z) = (z cos θ, z sin θ, z) avec (θ, z) U := [0, 2π] [0, 1]. On obtient α θ α = (z cos θ, z sin θ, z) z Comme z < 0, on choisit comme normale n = ( α θ α z ). On obtient σ f nds = 1 2π 0 0 (z sin θ, z cos θ, z2 ) (z cos θ, z sin θ, z)dzdθ = 1 0 2π 0 (z2 cos θ sin θ z 2 cos θ sin θ z 3 )dzdθ = 2π 1 0 z3 dz = π 2

100 Théorème de Stokes Ce théorème affirme que la circulation d un champ vectoriel f le long du bord orienté d une surface Σ est égale au flux du rotationnel de f à travers cette surface Σ. Théorème On suppose que Σ est une surface paramétrique, de bord C fermé. On suppose que Σ = α (U) et C = α( U), où U est une région dans le plan (u, v) bornée par une courbe de Jordan U régulière par morceaux, α est de classe C 2. Soit ensuite un champ de vecteur f de classe C 1 sur Σ.

101 Théorème de Stokes Ce théorème affirme que la circulation d un champ vectoriel f le long du bord orienté d une surface Σ est égale au flux du rotationnel de f à travers cette surface Σ. Théorème On suppose que Σ est une surface paramétrique, de bord C fermé. On suppose que Σ = α (U) et C = α( U), où U est une région dans le plan (u, v) bornée par une courbe de Jordan U régulière par morceaux, α est de classe C 2. Soit ensuite un champ de vecteur f de classe C 1 sur Σ. Alors nous avons rot f nds = f dα (3) C + Σ oi n est la normale n + et α est une paramétrisation de C +, dont l orientation est héritée de U + par l application α.

102 Exemple Vérifions le théorème de Stoes pour f(x, y, z) = (z, x, y) et Σ le cône Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2, 0 < z < 1}

103 Exemple Vérifions le théorème de Stoes pour f(x, y, z) = (z, x, y) et Σ le cône Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2, 0 < z < 1} Calculons Σ f nds

104 Exemple Vérifions le théorème de Stoes pour f(x, y, z) = (z, x, y) et Σ le cône Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2, 0 < z < 1} Calculons Σ f nds On a rot f = x y z z x = (1, 1, 1) y

105 Exemple Vérifions le théorème de Stoes pour f(x, y, z) = (z, x, y) et Σ le cône Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2, 0 < z < 1} Calculons Σ f nds On a rot f = x y z z x = (1, 1, 1) y On paramètre Σ par α(θ, z) = (z cos θ, z sin θ, z) avec (θ, z) U = (0, 2π) (0, 1) et donc une normale est α x α y = (z cos θ, z sin θ, z).

106 Exemple Vérifions le théorème de Stoes pour f(x, y, z) = (z, x, y) et Σ le cône Σ = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2, 0 < z < 1} Calculons Σ f nds On a rot f = x y z z x = (1, 1, 1) y On paramètre Σ par α(θ, z) = (z cos θ, z sin θ, z) avec (θ, z) U = (0, 2π) (0, 1) et donc une normale est α x α y = (z cos θ, z sin θ, z). On déduit donc 2π 1 f nds = (1, 1, 1) (z cos θ, z sin θ, z)dzdθ = π Σ 0 0

107 I Calculons R Σ f dl.

108 Calculons Σ f dl. Le bord C = Σ de la surface Σ est C = {(cos θ, sin θ, 1) : θ : 2π 0} cercle unité orienté dans le sens négatif (pour que Σ reste à gauche de C) paramétré par γ(θ) = cos θ, sin θ, 1).

109 Calculons Σ f dl. Le bord C = Σ de la surface Σ est C = {(cos θ, sin θ, 1) : θ : 2π 0} cercle unité orienté dans le sens négatif (pour que Σ reste à gauche de C) paramétré par γ(θ) = cos θ, sin θ, 1). Donc Σ f dl = 2π 0 (1, cos θ, sin θ) ( sin θ, cos θ, 0)dθ = 2π 0 cos 2 θdθ = π

110 Exemple rapide Calculons Σ rot f ds où f(x, y, z) = (xz, yz, xy) et Σ est la portion de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 9 qui se trouve à l intérieur du cylindre x 2 + y 2 = 1 et au-dessus du plan Oxy.

111 Exemple rapide Calculons Σ rot f ds où f(x, y, z) = (xz, yz, xy) et Σ est la portion de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 9 qui se trouve à l intérieur du cylindre x 2 + y 2 = 1 et au-dessus du plan Oxy. A l intersection de la sphère et du cylindre, on a z 2 = 8 donc z = 2 2 car z > 0.

112 Exemple rapide Calculons Σ rot f ds où f(x, y, z) = (xz, yz, xy) et Σ est la portion de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 9 qui se trouve à l intérieur du cylindre x 2 + y 2 = 1 et au-dessus du plan Oxy. A l intersection de la sphère et du cylindre, on a z 2 = 8 donc z = 2 2 car z > 0. La surface Σ s appuie donc sur le contour C décrit par les équations x 2 + y 2 = 1, z = 2 2

113 Exemple rapide Calculons Σ rot f ds où f(x, y, z) = (xz, yz, xy) et Σ est la portion de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 9 qui se trouve à l intérieur du cylindre x 2 + y 2 = 1 et au-dessus du plan Oxy. A l intersection de la sphère et du cylindre, on a z 2 = 8 donc z = 2 2 car z > 0. La surface Σ s appuie donc sur le contour C décrit par les équations x 2 + y 2 = 1, z = 2 2 Une paramétrisation de C est donc donnée par γ(t) = (cos t, sin t, 2 2), t (0, 2π)

114 Exemple rapide Calculons Σ rot f ds où f(x, y, z) = (xz, yz, xy) et Σ est la portion de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 9 qui se trouve à l intérieur du cylindre x 2 + y 2 = 1 et au-dessus du plan Oxy. A l intersection de la sphère et du cylindre, on a z 2 = 8 donc z = 2 2 car z > 0. La surface Σ s appuie donc sur le contour C décrit par les équations x 2 + y 2 = 1, z = 2 2 Une paramétrisation de C est donc donnée par γ(t) = (cos t, sin t, 2 2), t (0, 2π) Donc γ (t) = ( sin t, cos t, 0) et f(γ(t)) = (2 2 cos t, 2 2 sin t, cos t sin t).

115 Exemple rapide Calculons Σ rot f ds où f(x, y, z) = (xz, yz, xy) et Σ est la portion de la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 9 qui se trouve à l intérieur du cylindre x 2 + y 2 = 1 et au-dessus du plan Oxy. A l intersection de la sphère et du cylindre, on a z 2 = 8 donc z = 2 2 car z > 0. La surface Σ s appuie donc sur le contour C décrit par les équations x 2 + y 2 = 1, z = 2 2 Une paramétrisation de C est donc donnée par γ(t) = (cos t, sin t, 2 2), t (0, 2π) Donc γ (t) = ( sin t, cos t, 0) et f(γ(t)) = (2 2 cos t, 2 2 sin t, cos t sin t). Donc d après la formule de Stokes 2π rot f ds = f dγ = f(γ(t)) γ (t)dt = 0 Σ C 0

116 Théorème de la divergence Ce théorème affirme que le flux d un champ vectoriel f sortant à travers une surface fermée Σ est égale à l intégrale de la divergence de f dans le volume délimité par la surface.

117 Théorème de la divergence Ce théorème affirme que le flux d un champ vectoriel f sortant à travers une surface fermée Σ est égale à l intégrale de la divergence de f dans le volume délimité par la surface. Théorème (Green-Ostrogradski) Soit V, un solide de R 3 borné par une surface fermée orientable Σ et soit n la normale unitaire sortante à Σ. Si f est un champ de vecteurs continđment différentiable défini sur V, nous avons div f dxdydz = f nds avec div f = 1 f f f 3. V Σ

118 Exercice tiré de l examen de Janvier 2017 Soit D le domaine de R 3 limité par les trois surfaces d équations x 2 + y 2 + 1, z = 0 et x + z = 1. Soit S le bord de D orienté suivant le vecteur normal extérieur. Notons S 1 la partie de S contenue dans la surface x + z = 1, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 1 r cos θ avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Notons aussi S 2 la partie contenue dans la surface z = 0, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 0 avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Soit f : R 3 R 3 le champ de vecteurs donné par f(x, y, z) = (y z, z x, x y). (a) Calculer le flux de f à travers S 1.

119 Exercice tiré de l examen de Janvier 2017 Soit D le domaine de R 3 limité par les trois surfaces d équations x 2 + y 2 + 1, z = 0 et x + z = 1. Soit S le bord de D orienté suivant le vecteur normal extérieur. Notons S 1 la partie de S contenue dans la surface x + z = 1, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 1 r cos θ avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Notons aussi S 2 la partie contenue dans la surface z = 0, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 0 avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Soit f : R 3 R 3 le champ de vecteurs donné par f(x, y, z) = (y z, z x, x y). (a) Calculer le flux de f à travers S 1. (b) Calculer le flux de f à travers S 2.

120 Exercice tiré de l examen de Janvier 2017 Soit D le domaine de R 3 limité par les trois surfaces d équations x 2 + y 2 + 1, z = 0 et x + z = 1. Soit S le bord de D orienté suivant le vecteur normal extérieur. Notons S 1 la partie de S contenue dans la surface x + z = 1, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 1 r cos θ avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Notons aussi S 2 la partie contenue dans la surface z = 0, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 0 avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Soit f : R 3 R 3 le champ de vecteurs donné par f(x, y, z) = (y z, z x, x y). (a) Calculer le flux de f à travers S 1. (b) Calculer le flux de f à travers S 2. (c) Calculer le flux de f à travers S en utilisante la formule d Ostrogradsky (théorème de divergence). Calculer d abord la divergence de f.

121 Exercice tiré de l examen de Janvier 2017 Soit D le domaine de R 3 limité par les trois surfaces d équations x 2 + y 2 + 1, z = 0 et x + z = 1. Soit S le bord de D orienté suivant le vecteur normal extérieur. Notons S 1 la partie de S contenue dans la surface x + z = 1, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 1 r cos θ avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Notons aussi S 2 la partie contenue dans la surface z = 0, elle est donc paramétrée par x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ et z(r, θ) = 0 avec (r, θ) [0, 1] [0, 2π]. Soit f : R 3 R 3 le champ de vecteurs donné par f(x, y, z) = (y z, z x, x y). (a) Calculer le flux de f à travers S 1. (b) Calculer le flux de f à travers S 2. (c) Calculer le flux de f à travers S en utilisante la formule d Ostrogradsky (théorème de divergence). Calculer d abord la divergence de f.

122 (d) Calculer l aire de S 1.

123 (d) Calculer l aire de S 1. (e) Soit C l intersection de des surfaces x 2 + y 2 = 1 et x + z = 1. En utilisant la formule de Stokes, calculer la circulation de f le long de la courbe C, orientée dans le sens trigonométrique, vue d en haut.