EPL - SESSION 1999 CORRIGÉ

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1 PL - SSSION 999 COIGÉ Élecrocinéique : régime ransioire.. La loi des mailles condui à l'équaion différenielle i( ) L di don la soluion générale d es de la forme i K L exp. La coninuié de l'énergie emmagasinée dans la bobine implique la coninuié de l'inensié soi i( ) i( ) qui enraîne K. n définiive il vien : i () exp L. La différence de poeniel enre A e B es U i( ) L di AB où i() es l'inensié du couran d dans la branche ABC. n uilisan le résula de la quesion e compe enu que, dans un monage série, les résisances e les inducances propres s'ajouen respecivemen, il vien : () i exp L L On en dédui : U L L L AB L L L L exp exp L Cee différence de poeniel sera indépendane du emps si soi : L L L L 3. Dans ce cas on aura U ( ) AB e i exp L. L'énergie consommée dans le ronçon AB, pendan l'inervalle de emps [,], es définie par donne : W AB W U i ' d', ce qui nous AB L exp L L. Pour que la différence de poeniel U BD puisse êre nulle il fau que simulanémen : U AD soi indépendane du emps ce qui impose, dans la branche ADC, 3 L3 ; L 3 U AB U AD, soi, d'après la quesion, donc 3. 3 n définiive on doi avoir : L 3 L3 L L AB

2 PL - SSSION 999 Élecrocinéique : régime coninu. 5. On remplace les sources de couran par des inerrupeurs ouvers d'où la résisance du généraeur de Noron équivalen au dipôle : N r 6. On uilise le héorème de superposiion e le diviseur de couran. La symérie du monage condui alors à : ( r ) IN I r Élecrocinéique : régime coninu (bis). 7. La résisance du conduceur diaméral, de longueur d, de secion s e de résisivié ρ, es elle que d r ρ. Il en résule, pour le demi-cercle de longueur π d, de même secion e de même résisivié, une s d résisance r' ρ π π r. Ces résisances son monées en parallèle enre A e B, d'où la résisance s équivalene du sysème : πr AB π I 8. Le monage proposé es, en uilisan la représenaion de Noron, équivalen à celui représené ci-conre avec I. On a donc : π r πr UAB AB IAB I r r r r( π ) A B I πr AB 9. La bissecrice inérieure de AOC e DOB es axe de symérie du sysème donc A e C d'une par, B e D d'aure par, son au même poeniel. Il en résule que : I DB Par ailleurs on peu isoler les circuis AOD e COD, ideniques, ce qui enraîne : I AD r ( π ). Dans cee siuaion COD es axe de symérie du sysème alors que AOB es axe d'anisymérie ; il en résule que les poins A, O e B son au même poeniel ce qui perme de supprimer ce fil. On observe alors que I DO I AD. Ainsi, en uilisan la maille CADOC on obien : IDO IAD r π Élecrosaique.. Toue roaion auour d'un axe de la sphère laisse le sysème invarian donc (r) où r es la disance du poin considéré au cenre de la sphère. Par ailleurs ou plan conenan le cenre de la sphère es plan de symérie pour la disribuion de charge ;, veceur vrai, es donc radial soi (r)u r. Le héorème de Gauss, appliqué à une surface sphérique Σ, de rayon r, concenrique à la sphère chargée, nous condui à : Q pour r > b π r ( r) ε pour r < b d'où :

3 PHYSIQU - COIGÉ 3 Q u r pour r > b πε r pour r < b nsuie, comme dv r ur, on obien par inégraion : dr Q K > b V r pour r πε K pour r < b On déermine les consanes K e K à l'aide des condiions aux limies : lim Vr d'où K ; r Q coninuié de V(r) en r b soi K. πε b n définiive le poeniel créé par la charge Q à l'inérieur de la sphère es uniforme e égal à : Q V( r < b) πε b. Le champ élecrosaique créé en P par l'ensemble des deux sphères ideniques - même charge élecrique Q - e la charge poncuelle Q es idenique à celui produi par rois charges poncuelles Q en A, Q en B e Q en O. Le héorème de superposiion nous perme d'écrire : Q AP BP OP ( P) AP BP πε OP avec OP xu x (x > ), AP xu x au y e BP xu x au y. On en dédui aisémen : Qx ( P) u 3/ 3 x πε ( x a ) x Noons que les plans xoy e xoz éan plans de symérie de la disribuion de charges, (P) apparien à leur inersecion c'es-à-dire es colinéaire à u x. 3. Le champ élecrosaique créé en P par les quare sphères ideniques - même charge Q - es idenique à celui produi par quare charges ponuelles, de même valeur Q, placées aux sommes du carré. Par ailleurs, les plans conenan O, P e O 3 d'une par, O, P e O d'aure par, son plans de symérie de la disribuion ; il en résule que '(P) apparien à leur inersecion c'es-à-dire dirigé suivan u z. On a Q OPu. z donc ' ( P) u z avec O P z ( a 3 ), d'où : πε OP Q z ' ( P) u 3/ z πε a z. Dans ce cas les plans conenan P e orhogonaux respecivemen à O O e O O son plans d'anisymérie de la disribuion. "(P) es donc orhogonal à ces plans ce qui implique : " P Magnéosaique. 5. Toue roaion auour de l'axe Oz e oue ranslaion parallèlemen à ce axe laisse la disribuion de couran invariane, on a donc B B(r) où r es la disance du poin considéré au fil. Par ailleurs, ou plan conenan l'axe Oz es plan de symérie pour la disribuion de couran ; B, pseudo-veceur, es donc orhoradial soi B(P) B(r)u θ. On applique le héorème d'ampère à un conour circulaire C, de rayon r, cenré sur l'axe, ce qui nous donne π rb( r) µ I, d'où :

4 PL - SSSION 999 B µ I ( P) uθ πr 6. Soi un élémen de couran Id Idz z subi, de la par du champ magnéique créé par le fil infini, une force de Laplace : I µ µ I df I. d B ( Idzu ) z u h x h dz u π π y On en dédui par inégraion la résulane des forces de Laplace : µ I a F uy πh. u du fil enouran le poin P ( OP hu zu ) y z. Il 7. Le momen en O des forces de Laplace qui s'exercen sur l'élémen de couran précéden es : I dm( O) OP df µ h zdz ux π Par inégraion on obien le momen en O des forces de Laplace qui s'exercen sur le fil : µ I a M( O) ux πh 8. Les résulas précédens nous monren que le orseur des forces de Laplace, qui s'exercen sur la fil, es un glisseur. On peu donc le représener par le veceur unique F appliqué en un poin K de [], avec OK hu y bu z, el que M( K) M( O) F OK. n développan on en dédui aisémen : a b Opique géomérique. L L 9. On a A A A' ce qui nous donne, respecivemen, en uilisan la formule de conjugaison de Newon : FAF. ' A, FA. F' A' ' p FA FF F A e ' ' p avec FA FO O A p. Il en résule que F A qui enraîne : n définiive on obien : F' p' O A' O F' ( ' ) ( ' ) f p A' e f p F' A' d'où on dédui : ( e )( p) e( p). Si p alors il vien : p ' Lorsque l'obje AB se rouve dans le plan focal obje de L son image se forme dans le plan focal image de L.

5 PHYSIQU - COIGÉ 5 AB' ' AB' ' AB. Dans ce cas le grandissemen ransversal du sysème, défini par γ., avec AB AB AB AB' ' F' A AB FO ' e, es el que : AB F' O AB FA γ e ( p ). Si le sysème es afocal alors e ce qui nous donne : p' ( p ), γ 3. On es oujours dans le cas du sysème afocal ; numériquemen on obien : p', 65m, γ,5 L'image es renversée e deux fois plus peie que l'obje. Mécanique du poin.. Le héorème de l'énergie cinéique appliqué au poin maériel enre les insans e > se radui par : mv mv mg x p p car seul le poids développe un ravail non nul. xx ( p x ) Or v x y x x d'où on dédui : p p x ( gp) p v p p 5. Quand l'aliude maximale y es aeine la viesse du poin maériel s'annule. Le héorème de l'énergie cinéique se radui donc par p mv mgy d'où on ire : p v y gp x gx d x 6. Par définiion x, d'où en uilisan le résula de la quesion : dx p x( v gp) x p x x xx x xx 7. On a y donc y puis y. Avec les résulas précédens on en dédui : p p p gx y p 3 ( v gp) ( p x ) gp 8. La deuxième loi de Newon appliqué au poin maériel, dans le référeniel galiléen lié au suppor, se radui par ma( P/ ) N mg. n projecion suivan Ox on obien : x

6 6 PL - SSSION 999 N x mp mx x( v gp) ( p x ) 9. La deuxième loi de Newon en projecion suivan Oy nous condui à : 3 mp ( v ) y gp N m g y p x 3. La liaison éan unilaérale les réponses correces son a e c.