Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie
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- Constance Chrétien
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1 Exercices dernière impression le 8 avril 01 à 19:00 Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie Rappels sur les vecteurs Exercice 1 ABCD est un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AD] et J celui de [BC]. 1) Écrire IJ comme la somme de AB et de deux autres vecteurs que l on précisera. ) Décomposer le même IJ en utilisant DC. ) En déduire que IJ = B C AB + DC. J A I D Exercice ABCD est un parallélogramme de centre O, I est le milieu de [AB] et J le point tel que DJ = OC. 1) Exprimer OI en fonction de BC. ) Justifier les égalité : BC = OD + OC = OJ. ) Quel théorème vous permet de conclure que O, I et J sont alignés? Exercice ABC est un triangle, E est tel que 1 AE = BC, I est tel que CI = CB et F est tel que AF = 1 AC. Démontrer que I, E et F sont alignés. Exercice ABCD est un parallélogramme, M, N, Q sont tels que : DM = DA, 5 AN = AB, CQ = CD La parallèle à MQ) menée par N coupe BC) en P. Il s agit de trouver le coefficient k de colinéarité tel que BP = k AD. Considérons le repère A, AB, AD ). 1) Calculer les coordonnées des points M, N et Q. ) Justifier que P a pour coordonnées 1 ; k). ) En déduire que les vecteurs MQ et NP sont colinéaires et calculer k. paul milan 1 Première S
2 exercices Exercice 5 Sur la figure ci-contre, I est le milieu de [BC], J et K sont les points tels que : C AJ = 1 AC et AK = 1 BC On considère le repère A, AB, AC ). Calculer les coordonnées de I, J et K puis prouver que I, J et K sont alignés. K A J I B Coordonnées et repère orthonormé Exercice Dans chacun des cas suivants, dire si les points A, B et C sont alignés. ) 1 a) A 1 ; 1), B ;, C ; 7 ) b) A 5; ), B ; 1), C8 ; ) Exercice 7 On donne les points A ; ), OC) sont parallèles. B ; 5), C7 ; 9). Démontrer que les droites AB) et Exercice 8 On donne les points A 1 ; ), B1 ; ), C ; ) et la droite d d équation x=5. a) Faire une figure dans un repère orthonormé O, ı, j ) b) M est un point de la droite d tel que les droites AB) et CM) sont parallèles. Déterminer l ordonnée du point M. Exercice 9 On donne les points A ; 1), B ; ), C ; ) et D7 ; ). Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [DC]. Les points M et N sont définis par : 5 DM = DB et 5CN = CA a) Calculer les coordonnées de I, J, M et N. b) Le point K étant le milieu du segment [MN], démontrer que les point I, J et K sont alignés. Équation cartésienne d une droite Exercice 10 On donne les coordonnées des points A et B, déterminer une équation cartésienne de la droite AB) dans les cas suivants : a) A1 ; 5) et B ; ) b) A ; 0) et B0 ; ) paul milan Première S
3 c) A ; ) et B ; ) d) A ; ) et B ; ) Exercice 11 On donne une équation cartésienne de la droite d : x y+5=0 1) a) Donner un vecteur directeur de la droite d. b) Quel est le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de son équation réduite? ) Le point A d ordonnée est un point de d. Quelle est son abscisse? Exercice 1 Les droites d 1, d, d et d sont représentées ci-contre. Déterminer une équation cartésienne pour chacune de ces droites. d 1 d 1 d d 5 Exercice 1 On donne les équations cartésiennes des droites d et d suivantes : d : 7x y+=0 et d : 5x y 8=0 a) Démontrer que les droites d et d sont sécantes. b) Quelles sont les coordonnées de leur point d intersection? Exercice 1 Les droites d 1 et d ont respectivement comme équation cartésienne d 1 : x y 8=0 et d : 5x+y =0. La droite apour équation : mx m+1)y 8=0 Comment choisir le paramètre m pour que ces trois droites soient concourantes? Exercice 15 Trouver une équation de la droite passant par le point A 1; ) et parallèle à la droite d d équation x y+1=0 Exercice 1 Pour quelle valeur du paramètre m la droite d d équation parallèle à la droite d équation x y + = 0 mx y+ = 0 est-elle paul milan Première S
4 Le radian et le cercle trigonométrique Exercice 17 Convertir en radians les mesures données en degrés : 10 ; 59 ; 180 ; 18 ; 7 ; 11, 5 Exercice 18 Convertir en degré les mesures données en radians : π ; π ; π ; 5π ; π 8 ; 5π 1 ; π Exercice 19 Tracer un cercle trigonométrique puis placer les points images des angles en radians suivants : a)π b) π c) π d) π e) π f) π g) 5π h) π Exercice 0 Utiliser les renseignements portés sur la figure pour déterminer les angles sur [0 ; π] repérant les points M, N et P. N O M P Exercice 1 Utiliser les renseignements portés sur la figure pour déterminer les angles sur [ π ;π] repérant les points M, N et P. O M N P Exercice Sur le cercle trigonométrique colorier l arc décrit par l intervalle I dans les cas suivants : [ I= π ; 5π ] [ π ; I= ; 1π ] [ ; I= 7π ; 5π ] paul milan Première S
5 Mesure principale Exercice Dans chaque cas, trouver la mesure principale de l angle orienté de mesureαdonnée : a)α= 7π e)α= 0π b)α= π f)α=0 c)α= 5π d)α= 1π Propriétés des angles orienté Exercice On donne la mesure de l angle orienté suivant : u, v)= π. Donner la mesure de chacun des angles orientés indiqués. a) v, u) b) v, u) c) u, v) d) v, u) Exercice 5 ABC est un triangle rectangle direct en A tel que : π CA ; CB )= 5 Calculer la mesure principale de BA ; CB ) Exercice AIL est un triangle équilatéral tel que AI ; AL )= π. Les triangles BAL et CIL sont rectangles isocèles avec LB ; LA )= IL ; IC )= π Le but de l exercice est de calculer AB ; AC ) et d en tirer une conséquence. a) Faire une figure. b) Quel théorème vous permet d écrire : AB ; AC )= AB ; AL )+ AL ; AI )+ AI ; AC ) Quel est la mesure de l angle géométrique ÎAC? En déduire une mesure de : AI, AC ) et AB, AC ). c) Que pouvez vous dire des point A, B et C?. Lignes trigonométriques Exercice 7 Trouver les valeurs exactes du cosinus, sinus puis de la tangente des réels donnés. Vous pourrez commencer par placer les points sur le cercle trigonométrique. a) π b) 5π c) 7π d) 11π e) 1π paul milan 5 Première S
6 Exercice 8 Trouver les valeurs exactes du cosinus, sinus puis de la tangente des réels donnés. Vous pourrez commencer par placer les points sur le cercle trigonométrique. a) π Exercice 9 b) 9π c) 5π d) 81π e) 108π Trouver les valeurs exactes du cosinus, sinus puis de la tangente des réels donnés. Vous pourrez commencer par placer les points sur le cercle trigonométrique. a) π b) π c) 71π d) 97π e) 5π Relations trigonométriques Exercice 0 À l aide de la formule sin x+cos x=1 et de 1+tan x= a) Déterminer cos x sachant que : sin x= [ et x 0 ; π ] 1 cos x, b) Déterminer sin x sachant que : cos x= 1 et x [ π ; 0] 5 5 [ π ] c) Déterminer cos x et tan x sachant que : sin x= et x ;π Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, calculer cos x ou sin x puis tan x. a) sin x= 1 ] et x π [ ; 0. b) cos x= ] π [. 5 et x ; π c) cos x= 1 et x ] π ;π [. Exercice Démontrer que pour tout réel x on a : a) cos x+sin x) + cos x sin x) = b) cos x+sin x) cos x sin x) = cos x sin x Exercice Exprimer à l aide de sin x et cos x, les expressions suivantes : a) sin x) + cos x) b) sin x) sinπ+ x) c) cosπ x)+cosπ+ x) d) sin x+ π ) cos π ) x sinπ x) paul milan Première S
7 exercices Équations trigonométriques Exercice À l aide d un cercle trigonométrique, résoudre dansrles équations suivantes : a) cos x= b) sin x=0 c) sin x+ =0 Exercice 5 Résoudre dans R puis visualiser les solutions dans le cercle trigonométrique des équations suivantes : a) sin x+ π ) 1=0 b) 1 π ) cos x = 0 c) sin x π ) = 1 d) cos x π ) = 1 Exercice Résoudre dans R puis visualiser les solutions dans le cercle trigonométrique des équations suivantes : a) cos x=cos x+ π ) b) sin x π ) = sin x+ π ) c) sin x π ) = cos x+ π ) d) cos x=sin x+ π ) Exercice 7 Calcul de sinus et cosinus π 8 C est le cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé direct O, I, J) du plan. M est le point de C tel que OI, OM )= π [π]. 1) Quelles sont les coordonnées du point M dans le repère O, I, J)? ) Calculer la distance IM. ) a) Démontrer que : IM= sin π 8. J M H b) En déduire la valeur exacte de sin π 8. ) Calculer la valeur exacte de cos π 8. 5) Déduire des questions précédentes, les lignes trigonométriques de : 7π 8, 9π 8, 5π 8 et π 8. O I paul milan 7 Première S
8 Exercice 8 Calcul de sinus et cosinus π 1 C est le cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé direct O, I, J) du plan. M est le point de C tel que OI, OM )= π [π]. 1) Quelles sont les coordonnées du point M dans le repère O, I, J)? ) Calculer la distance IM. ) a) Démontrer que : IM= sin π 1. b) En déduire la valeur exacte de sin π 1. c) Montrer que l on peut mettre sin π 1 sous la forme ) a) Calculer la valeur exacte de cos π 1. b) Montrer que l on peut mettre cos π + 1 sous la forme 5) Déduire des questions précédentes, les lignes trigonométriques de : 11π 1, 1π 1, 5π 1 et 7π 8. paul milan 8 Première S
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