BACCALAUREAT GENERAL

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1 BACCALAUREAT GENERAL Session de mai 0 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire France métropolitaine EXERCICE VRAI VRAI 3 FAUX 4 VRAI La courbe représentative de la fonction f est au-dessous de l ae des abscisses sur l intervalle [ 3, ] ou encore, pour tout réel de [ 3, ], on a f 0. L affirmation de cette question est donc vraie. D après le graphique fourni dans l énoncé, la fonction f est positive sur l intervalle [,]. Donc la fonction f est croissante sur [,]. L affirmation de cette question est vraie. 3 La dérivée f de f est strictement positive sur [ ],0. Donc la fonction f est strictement croissante sur [ ],0. En particulier, f < f0 ou encore f <. Ainsi, il eiste un réel 0 de [,3] tel que f 0 < et donc l affirmation de cette question 3 est fausse. 4 Une équation de la tangente T à la courbe C en son point d abscisse 0 est y = f 0 0+f0. L énoncé fournit f0 = et sur le graphique, on lit que f 0 =. Une équation de T est donc y =. Soit A le point de coordonnées,0. A = = 0 = y A et donc le point A appartient à T. L affirmation de cette question 4 est donc vraie. http :// c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

2 EXERCICE a Représentons la situation par un arbre. 0,4 0,6 D D 0,7 0,3 E E 0,5 0,75 E E b pe = pd E = pd p D E = 0,4 0,7 = 0,8. pe = 0,8. c ère solution. L événement F est la réunion des trois événements D, E et E. De plus, ces événements sont deu à deu incompatibles. Donc, pf = p D +p E +p E. p D = pd = 0,4 = 0,6. p E = pd E pd = 0,7 0,4 = 0,. p E = pe E pe = 0,5 0,8 = 0,. pf = p D +p E +p E = 0,6+0,+0, = 0,93. ème solution. L événement F c est-à-dire l événement «le candidat est recruté» est encore l événement E. Donc, puis pf = p F = 0,07 = 0,93. p F = pe = pe p E E = 0,8 0,5 = 0,07 pf = 0,93. a La variable aléatoire X est régie par un schéma de Bernoulli. En effet, 5 epériences identiques et indépendantes sont effectuées ; chaque epérience a deu issues : «le candida t est recruté» avec une probabilité p = 0,07 ou «le candidat n est pas recruté» avec une probabilité p = 0, 93. La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,07. b On sait alors que pour tout entier tel que 0 5, 5 px = = 0,07 0,93 5. La probabilité demandée est px =. 5 px = = 0,07 0,93 3 = 5 4 et donc 0,07 0,93 3 = 0, , la probabilité que deu eactement des cinq amis soient recrutés est 0,039 arrondie à Soit n le nombre de dossiers eaminés par le cabinet de recrutement. On note toujours X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les n candidats. La probabilité d embaucher au moins un candidat est px. n px = px = 0 = 0,07 0 0,93 n = 0,93 n. 0 http :// c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

3 Par suite, px 0,999 0,93 n 0,999 0,93 n 0,00 ln0,93 n ln0,00 par stricte croissance de la fonction ln sur ]0,+ [ n ln0,93 ln0,00 n ln0,00 ln0,93 n 95,... n 96 car n est un entier. car ln0,93 < 0 Le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 est 96. http :// 3 c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

4 EXERCICE 3 Partie A La limite d une fraction rationnelle en + est égale à la limite du quotient de ses monômes de plus haut degré. Donc lim + + = lim =. Par suite, lim + ln = lim lnx = ln = X D autre part, lim + = + et donc lim + + = 0. En additionnant, on obtient + lim f = 0. + La fonction est dérivable sur [,+ [ en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s annule + pas sur [,+ [. De plus, pour tout réel de [,+ [, > 0. On sait alors que la fonction ln est + + dérivable sur [,+ [. D autre part, la fonction est dérivable sur [,+ [ en tant que fraction rationnelle dont + le dénominateur ne s annule pas sur [,+ [. Finalement, la fonction f est dérivable sur [,+ [ en tant que somme de deu fonctions dérivables sur [,+ [. De plus, pour tout réel de [,+ [, er calcul : f = = +. ème calcul : + + = = = ++ + f = + + +ln ln+ = = = = +. 3 Pour tout réel de [,+ [, f > 0. Donc la fonction f est strictement croissante sur [,+ [. Mais alors, pour tout de [,+ [, on a f < lim + f ou encore f < 0. La fonction f est strictement négative sur [,+ [. Initialisation : u = 0. Etape : i = puis u = 0+ =. Partie B Etape : i = puis u = + = 3. Etape 3 : i = 3 puis u = = 6. Si n = 3, la valeur eacte affichée par l algorithme est 3 6. Variables : i et n sont des entiers naturels. u est un réel. Entrée : Demander à l utilisateur le valeur de n. Initialisation : Affecter à u la valeur 0. Traitement : Pour i variant de à n. Affecter à u la valeur u+ i. Sortie : Afficher u lnn http :// 4 c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

5 3 Il semble que la suite u n soit décroissante, convergente de limite approimativement égale à 0,57. Soit n un entier naturel non nul. u n+ u n = Partie C n + lnn+ + n lnn n = n+ + lnn lnn+ = n+ + D après la question 3 de la partie A, le fonction f est strictement négative sur [, + [. En particulier, pour tout entier n, fn < 0. Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, on a u n+ u n < 0 et donc la suite u n est strictement décroissante. a Soit un entier strictement positif. La fonction est continue sur ]0,+ [ et en particulier sur [,+]. + Donc l intégrale d eiste. Pour tout réel de l intervalle [,+], on a > 0 puis par décroissance de la fonction t t et donc 0. Ainsi, pour tout réel de [,+], on a 0. Par positivité de l intégrale, on en déduit que + Par linéarité de l intégrale, on a d = d d = + + d = + d. Par suite, + + d 0 ou encore d. Enfin, + d = [ln]+ = ln+ ln et on a donc montré que sur ]0,+ [ d 0. pour tout entier strictement positif, ln+ ln. b Soit n un entier strictement positif. D après la question précédente, ln ln ln3 ln ln4 ln3 3. lnn lnn lnn lnn lnn+ lnn.. n n n On additionne membre à membre ces n inégalités. Dans le premier membre, les nombres ln, ln3,..., lnn et lnn se simplifient et il reste ln+lnn n ou encore lnn n. c Soit n N. On retranche lnn à chacun des deu membres de l inégalité précédente et on obtient lnn+ lnn lnn ou encore n http :// 5 c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

6 u n lnn+ lnn. Par croissance de la fonction ln sur ]0,+ [, on a lnn + lnn puis lnn + lnn 0. Par suite, u n lnn+ lnn 0. On a montré que pour tout entier strictement positif n, u n 0. 3 La suite u n est décroissante d après la question et minorée par 0 d après la question. On en déduit que la suite u n converge. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

7 EXERCICE 4 a Graphique. D D B B C C A A Ω A C C B b z A = z B = z C = z A + = = + / =. = +i+ i+ = +i = = i +i = i +i i = 4i + = i. i = +i i+i = +i + = +i. c Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives,0, coordonnées 8 5, 4 et le vecteur A C a pour coordonnées,. 5 5, 4 5 S il eiste un réel tel que A B = A C, alors = 8 5 et aussi = 4 5 et A C ne sont pas colinéaires ou encore les points A, B et C ne sont pas alignés. et,. Donc le vecteur A B a pour ce qui est impossible. Donc les vecteurs A B a On sait que g est la translation de vecteur w,0. b Les points A, B et C sont trois points deu à deu distincts de la droite D et donc D = AB par eemple. On sait que l image d une droite par une translation est une droite. Par suite, D est la droite passant par A = ga et B = gb ou encore D = A B. Voir graphique. c D est la droite d équation =. D autre part, l ensemble des points M d affie z telle que z = z est l ensemble des points M à égale distance des points O0, 0 et Ω, 0. Cet ensemble est la médiatrice du segment [O, Ω] ou encore la droite d équation = ou enfin la droite D. 3 a A, B et C sont distincts de O. Donc ha, hb et hc eistent. z ha = = z A z A + = z A et donc ha = A. De même, hb = B et hc = C. http :// 7 c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

8 b Soit z un nombre complee non nul. z = z z = z = z = z z = z z = z. z c Soit M un point de D dont l affie est notée z. M est distinct de O et donc hm eiste. De plus, z = z d après la question c et donc z = d après la question 3b. est l affie de hm et donc ΩhM = où z Ω,0. Ainsi, le point hm est appartient au cercle C de centre Ω,0 et de rayon. 4 fd = hgd = hd = C \{O}. fd = C \{O}. http :// 8 c Jean-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.