CH1 Géométrie : Calcul vectoriel 2 ème Sciences Septembre 2009

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1 CH1 Géométrie : Calcul vectoriel 2 ème Sciences Septembre 2009 A. LAATAOUI Rappel et compléments : Définition : Soient (A, B) et (C, D) deux bipoints du plan tels que les segments [AD] et [BC] ont.., alors ces bipoints représentent un même objet mathématique appelé vecteur et noté AB ou CD. On écrit AB = CD. Les bipoints (A, A) et (B, B) représentent un même vecteur appelé. et noté... Egalité vectorielle : Soient A, B, C et D quatre points du plan. ( AB = CD), si et seulement s ( dirab = dircd, sens de AB = sens de CD et AB = CD ) Citer les vecteurs égaux sur la figure ci-dessous : 1 Calcul vectoriel. 2 ème Sciences

2 ( AB = CD) équivaut à A... =...D (permutation des lettres médianes). AB = CD équivaut à ABDC est Si de plus A, B et C ne sont pas alignés alors ( ) ( AB = BC) ( AB = AC) équivaut à équivaut à Etant donnés un vecteur u et un point O, il existe un unique point M tel que OM = u Addition des vecteurs : Soit A un point du plan et soient u et v deux vecteurs de représentants respectifs AB et AC. On appelle vecteur somme de u et v, le vecteur w= AD où D est le point tels que [BC] et [AD] aient même milieu. On note w= u+ v Construire w= u+ v sur la figure ci contre : Pour tous points A, B et C du plan, on a : AB+ BD =..., c est la relation de Pour tous vecteurs u, v et w, on a : u+ v =... ; ( u+ v) + w=... ; u + 0 =... ; u+ v = 0 équivaut à v =... appelé et on a : AB =.. 2 Calcul vectoriel. 2 ème Sciences

3 Exercice : Soient M,, P et Q quatre points du plan. Etablir chacune des égalités suivantes : MP+ Q = MQ+ P ; MP Q = M PQ ; M QP+ P MQ = 0. Multiplication d un vecteur par un réel : Soient un vecteur non nul u, deux points A et B du plan tels que AB = u et un réel α. On désigne par M le point de la droite (AB) d abscisse α dans le repère (A, B). Le produit du vecteur u par le réel α est le vecteur v = AM. On note α. u = v ou α. AB = AM. Si u = 0 alors pour tout réel α, α. 0 = 0. Lorsque α = 0 on a M = A et 0. u = 0. 3 Soit (A, B) un bipoint tel que A B. Construire C tel que AC = α AB lorsque α = 4 ; α = ; α = et α =. 4 Pour tous réels a et b et vecteurs u et v on a : ( α + β ). u =... ; α β u =... ; α u + v =... ; 1. u =... ; (-1) u =... Deux vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à il existe un réel α tel que u = αv ou v = αu ( ) Exercice : 1. Simplifier les relations vectorielles suivantes : w= 2( u+ 3v) + 4( 2u v) 9u 1 ; w ( 3u 5v) = + u v ( 3u 6v) Soit ABCD un parallélogramme de centre O. 1 1 a) Marquer les points E et F tels que AE = AB et CF = CD. 3 3 b) Quelle est la nature du quadrilatère AECF? c) Montrer que EF = 2EO. 3 Calcul vectoriel. 2 ème Sciences

4 Vecteurs et configurations géométriques : Milieu : I est le milieu du segment [AB] équivaut à IA + IB =... ou AI =... ou AB =... Exercices 3 et 7 page 90. Parallélisme : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, si et seulement s AB et CD sont... Exercice 6 page 90. Alignement : Exercices 4 et 5 page 90. Centre de gravité : Trois points A, B et C sont alignés, si et seulement s AB et AC sont... Soit ABC un triangle et G un point du plan. Une condition nécessaire et suffisante pour que G soit le centre de gravité du triangle ABC est : GA + GB + GC =... Exercice : On considère un triangle ABC et M un point du plan tel que : 4MA 3MB 3MC = 0. a) Montrer que 3 AM = ( AB+ AC). 2 b) Soit I le milieu de [BC], montrer que AM et AI sont colinéaires. c) On désigne par G le point du plan tel que GI = MG et par B l image de B par la symétrie de centre M. Montrer que GA+ GB+ GB' = 0. Que peut on conclure? Exercice 14 page 91. Activité 43 page 81 Enoncé de THALES : Soit ABC un triangle, M est un point de (AB) distinct de A. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en. Si AM = xab alors A = xac et M = xbc. Activité 44 page 81 4 Calcul vectoriel. 2 ème Sciences

5 Bases de l ensemble des vecteurs du plan : Définition : On appelle base de l ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non colinéaires. Exemples Citer de la figure ci contre des couples des vecteurs formant une base. AB, IJ forme t il une base de l ensembles des vecteurs? Pourquoi? Le couple ( ). Composantes d un vecteur dans une base : Soit ( une base du plan, u un vecteur et A un point. Construire les points B, C et M tels que : AB = i, AC = j et AM = u Soit M le projeté du point M sur (AB) 1 parallèlement à (AC) et M le projeté de M sur (AC) 2 parallèlement à (AB). Ecrire AM à l aide de AM1 et AM 2.. En déduire qu il existe deux réels x et y tels que : u = xi+ yj.. Définition Soit ( une base du plan. Pour tout vecteur u, il existe un couple unique de réels ( xy, ) tels que u = xi+ yj. x Ce couple est appelé couple de composantes de u dans la base ( et on note u y. ( i, j ) Propriétés 0 ; i ; j ( ( i, j ) ( i, j ) x x ' Si u y et v ( i, j ) y ' alors u = v ; u v + et αu α R. ( ( i, j ) ( i, j ) Exercice 4 et 5 page Calcul vectoriel. 2 ème Sciences

6 Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs : ( i, j x x ' ) une base ; u y et v ( i, j ) y '. Si u et v sont colinéaires. Montrer que xy' x' y = 0 (. Propriété x x ' u y et v ( i, j ) y ' sont colinéaires, si et seulement s xy' x' y = 0. ( x x' Le réel xy' x' y est appelé déterminant des vecteurs u et v. on note dét( uv, ) = = xy' x' y. y y' Exercice 6 page 82. Repères du plan : Définition : Soit O un point du plan et ( vecteurs. Le triplet (, B = une base de l ensemble des O est appelé repère cartésien du plan. A tout point M du plan, on associe un couple unique de réels xy tel que OM = xi+ yj. (, ) ( xy, ) est le couple des coordonnées du point M dans le repère (,i, j ) O. On note (, ) ( Oi,, j ) M xy. Composantes d un vecteur défini par un bipoint : Soient deux points (, ) et (, ) M x y x y dans le plan muni d un repère cartésien R = ( O, i, j ). Le M M vecteur M a pour composantes ( x - x ) et ( x M y - y M ) dans la base B = ( i, j ). On note - x M M. y - ym B Activités 26 et 27 page 76. orme d un vecteur : Soit u = AB un vecteur du plan, on appelle norme de u la distance AB. On note u = AB. Si u = 1 alors u est dit unitaire ou normé. Propriétés u = 0 ; α u = ; u + v. u + v. Repère orthonormé : Un repère ( O i j, est dit orthonormé lorsque i = j = 1 Activité 31 page Calcul vectoriel. 2 ème Sciences

7 Distance de deux points dans un repère orthonormé : Activité 32 page 78. Propriétés Le plan P est muni d un repère orthonormé ( O, i, j ). On note B = ( i, j ). a * Si u alors u =.. b B * Si M ( x M, y M ) et ( x, y ) alors M =. Activité 33 page 78. Condition analytique d orthogonalité de deux vecteurs : Activité 34 page 78. a a ' Si u et v deux vecteurs dans une base orthonormée. On a : b b' B B u et v sont orthogonaux équivaut à ( aa' + bb' = 0 ). Exercice Dans le plan rapporté à un repère orthonormé( Oi,,, on considère les points : A (-2, 1) ; B (3, 6) ; C (4, -1). 1. Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Quel est le centre I de ce parallélogramme? 2. Montrer que (AC) (BD). Quelle est la nature du parallélogramme ABCD? 7 Calcul vectoriel. 2 ème Sciences