ÉC3 : Circuits linéaires en régime transitoire

Transcription

1 PSI 2 A.BADI lycée Ibn Tamya Année É3 : rcs lnéares en régme ransore 1 ondons nales e conné On va éder ce q se passe enre enre dex régmes conns = régme ransore. es granders élecrqes ne son pls consanes. appelons les convenons e réslas por la bobne e le condensaer : ndcance en henry (H). = d d q capacé en farad (F ). q = = dq d = d d es crcs éan lnéares, oe grander élecrqe x() es décre par ne éqaon dfférenelle lnéare à coeffcen consan. On déermne les consanes d négraon grâce ax condons nales en lsan : la conné de la enson ax bornes d condensaer (snon = d endra vers l nfn ce q es physqemen mpossble) ; la conné de l nensé d coran dans la bobne (snon = d d es physqemen mpossble). 2 égme lbre d crc 2.1 Évolon de la enson ax bornes d condensaer d endra vers l nfn ce q I U q PSI-2 Marrakech - A. BADI 1 égme lbre d crc

2 e condensaer es nalemen chargé sos ne enson. n régme conn, le condensaer se compore comme n nerrper over U = e I = (/ dans la réssance). A =, on ovre l nerrper, le condensaer se décharge dans la réssance : = = dq d = d d d d + = avec = a solon es de la forme () = A exp( /). () = A = par conné de la enson ax bornes d condensaer. Fnalemen () = exp( /) () PSfrag replacemens ( ) d = d = a angene à l orgne d éqaon + cope l axe des abscsses en =. D are par : por =, = exp( 1) =, 37 por = 2, = exp( 1) =, 14 por = 3, = exp( 1) =, Évolon de l nensé d coran = dq d d =, ce q donne d () = exp( /) PSI-2 Marrakech - A. BADI 2 égme lbre d crc

3 () PSfrag replacemens () e condensaer assre la conné de la enson à ses bornes mas pas celle de l nensé d coran. 2.3 Éde énergéqe alclons l énerge reçe (on es ben en convenon réceper por la réssance) e dsspée par effe Jole dans la réssance : [ ] W = Pd = d = 2 exp( 2/)d = 2 exp( 2/) 2/ W = énerge emmagasnée dans le condensaer. PSfrag replacemens () 3 égme lbre d crc 3.1 Évolon de l nensé d coran () I U n régme conn, la bobne se compore comme n nerrper fermé U = e I = /. A =, on spprme : = d d = d d + = avec = / a solon es de la forme () = A exp( /). () = A = / par conné de l nensé d coran dans la bobne. Fnalemen () = exp( /) PSI-2 Marrakech - A. BADI 3 égme lbre d crc

4 PSfrag replacemens () () () PSfrag replacemens 3.2 Évolon de la enson ax bornes de la bobne = d (), ce q donne d () = exp( /) () () () 3.3 Éde énergéqe alclons l énerge reçe (on es en convenon généraer por la réssance) e dsspée par effe Jole dans la réssance : [ ] W = Pd = d = 2 exp( 2/)d = 2 exp( 2/) 2/ W = = 1 2 I2 énerge emmagasnée dans la bobne. PSI-2 Marrakech - A. BADI 4 égme lbre d crc

5 4.1 Éqaon dfférenelle () 4 égme lbre d crc sére () q (1) = + d d avec = q/ e = dq d donne q = dq d q d2 d 2 (2) so d 2 q d 2 + dq d + 1 q = Avec q =, (2) donne d 2 d 2 + d d + 1 = n dérvan (1) e en lsan = q/ e = dq, on oben d 4.2 Dfférens régmes Q s appelle le facer de qalé. d 2 d 2 + d d + 1 = d 2 d 2 + 2αd d + ω2 = régme 2α =, ω2 = 1 e Q = ω 2α Q > 1 = e α (A cos(ω) + B sn(ω)) 2 psedo-pérodqe Ω 2 = ω 2 α2 Q < 1 = e α (A e Ω + B e Ω ) 2 apérodqe Ω 2 = α 2 ω 2 Q = 1 2 crqe = e ω (A + B ) On déermne les consanes grâce ax condons nales en lsan la conné de la enson ax bornes d condensaer e la conné de l nensé d coran dans la bobne. PSI-2 Marrakech - A. BADI 5 égme lbre d crc sére

6 () () () a psedo-pérode es égale à T = 2π ω = 4.3 Éde énergéqe n mlplan (1) par, on oben 2π ω 2 α 2 = = 2 + d d 2π ω 1 1 4Q 2 comme = dq e q =, on a d PSfrag replacemens d d = 2 + d () d ( d 1 d ) 2 2 = 2 énerge emmagasnée () dans le condensaer e la bobne à n nsan, W () = , dmne a cors d emps, elle es dsspée par effe Jole dans la réssance. 5 éponse d n crc à n échelon de enson () 5.1 Évolon de la enson ax bornes d condensaer I () q U e condensaer es nalemen déchargé (égme conn U = e I = ). A =, on ferme l nerrper e le condensaer se charge : = + = d d + d d + = avec = PSI-2 Marrakech - A. BADI 6 éponse d n crc à n échelon de enson

7 PSfrag replacemens a solon es de la () forme () = (h) + (p) = A exp( /)+. () = A + = par conné de la enson ax bornes d condensaer. Fnalemen () = (1 exp( /)) () () () 5.2 PSfrag Évolon replacemens de l nensé d coran = + dq d = d ce () q donne d () () exp( /) () 5.3 Blan énergéqe Mlpler = + par donne = 2 + où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe) ; 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance ; es la pssance reçe e emmagasnée dans le condensaer. d = 2 2 d = 2 2 exp( /)d = 2 = 2 exp( 2/)d = = PSI-2 Marrakech - A. BADI 7 éponse d n crc à n échelon de enson

8 d = 2 () énerge forne par le généraer se répar éqablemen enre la réssance e le condensaer. 6 éponse d n crc à n échelon de enson () 6.1 Évolon de l nensé d coran I () U (exp( /) exp( 2/))d = 2 ( 2 ) = égme conn U = e I =. A =, on ferme l nerrper : = + d d d d + = avec = / a solon es de la forme () = (h) + (p) = A exp( /) +. PSfrag replacemens () = A + = par conné de l nensé d coran dans la bobne. () Fnalemen () = (1 exp( /)) () () () 6.2 Évolon de la enson ax bornes de la bobne = d ce q donne d () = exp( /) PSI-2 Marrakech - A. BADI 8 éponse d n crc à n échelon de enson

9 () () () 6.3 Blan énergéqe Mlpler = + par donne = 2 + où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe) ; 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance ; es la pssance reçe e emmagasnée dans la bobne. Qand Un novea régme conn s éabl avec I = / donc : PSfrag replacemens () d 2 d d = 2 (exp( /) exp( 2/))d = 2 ( 2 ) = 1 () 2 I2 7.1 Tenson ax bornes () d condensaer q () 7 éponse d n crc sére à n échelon de enson e condensaer es nalemen déchargé. A =, on ferme l nerrper : = d + + so d d e vérfen la même éqaon. a solon es de la forme q() = q (h) + q (p). 2 q d 2 + dq d + 1 q = PSI-2 Marrakech - A. BADI 9 éponse d n crc sére à n échelon de enson

10 PSfrag replacemens () Por q (h) vor régme lbre. q (p) =. Par exemple en régmepsedo-pérodqe : () () () 7.2 Blan énergéqe Mlpler = d + + par donne d = d d d d où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe) ; d es la pssance reçe e emmagasnée dans la bobne ; d 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance ; es la pssance reçe e emmagasnée dans le condensaer. Qand Un novea régme conn s éabl avec U = e I = donc : d [ ] 1 d d = 2 2 = d d d = [ ] = Por les dex ares négrales, l fa explcer () e () : comme () = d d, on a () = e α (A cos(ω) + B sn(ω)) + () = ( αe α (A cos(ω) + B sn(ω)) + e α ( AΩ sn(ω) + BΩ cos(ω)) ) () = A + = A = () = ( αa + BΩ) = B = α Ω d où ( ) α () = e α 2 sn(ω) Ω + Ω d = 2 PSI-2 Marrakech - A. BADI 1 éponse d n crc sére à n échelon de enson

11 (vor calcl MAP) donc en lsan le blan, la dernère négrale va () 2 d = () () PSI-2 Marrakech - A. BADI 11 éponse d n crc sére à n échelon de enson