7 Produit scalaire. 7.1 Norme d un vecteur. 7.2 Produit scalaire
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- Rémy Albert
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1 7 Produit scalaire 7. Norme d un vecteur Définition : Pour tout vecteur la norme du vecteur æ u, notée Î æ u Î, est la longueur où et sont deux points tels que æ u = æ. Propriété :Si æ u est un vecteur de coordonnées æ u (x ; y) dans un repère orthonormé du plan, alors Î æ u Î = p x + y. Preuve :Soient(x ; y ) et (x ; y ) deux points du plan tel que æ u = æ, avec æ u (x ; y), alorslevecteur æ ayant pour coordonnées (x x ; y y ),ona:î æ u Î = Î æ p p Î = = (x x ) +(y y ) = x + y. Exemple : æ u ( 5 ; ), Î æ u Î = p ( 5) + = 3. Théorème : Pour tout vecteur æ u et tout réel : Î æ u Î = Î æ u Î (en particulier Î æ u Î = Î æ u Î) (Î æ u Î = 0) Ä æ u = æ 0 ä Preuve :Si æ u (x ; y) et œ R : Î æ p u Î = ( x) +( y) = Ô p x + y = Î æ u Î Î æ Äp ä u Î =0 x + y =0 x + y =0 :si æ u = æ 0 on a bien Î æ u Î =0et, réciproquement, si x = 0ou y = 0,alorsx + y > 0 donc non nul, ce qui prouve que si x + y =0,onanécessairementx = y =0. 7. Produit scalaire Définition : Le produit scalaire d un vecteur æ u par un vecteur æ v est le réel noté æ u æ v (lire «æ u scalaire æ v») défini par : æ u æ v = Î æ u Î + Î æ v Î Î æ v æ u Î Propriété : Pour tous vecteurs æ u et æ v on a : æ u æ v = æ v æ u Preuve : æ v æ u = Î æ v Î + Î æ u Î Î æ u æ v Î = Î æ u Î + Î æ v Î Î ( æ v æ u )Î, or Î ( æ v æ u )Î = Î æ v æ u Î donc æ v æ u = æ u æ v. Théorème : Pour tous vecteurs æ u et æ v,si æ u = æ 0 ou æ v = æ 0, alors æ u æ v =0. Preuve :Si æ u = æ 0,alorsÎ æ u Î =0et Î æ v æ u Î = Î æ v Î, donc æ u æ v = 0+Î æ v Î Î æ v Î =0. De même si æ v = æ 0, æ u æ v = Î æ u Î +0 Î æ u Î =0. 3
2 Maths s 7. Produit scalaire prog 00 Théorème :Si æ u et æ v sont deux vecteurs du plan de coordonnées æ u (x ; y) et æ v (x Õ ; y Õ ), alors : æ u æ v = xx Õ + yy Õ Preuve :Pardéfinition: æ u æ v = Î æ u Î + Î æ v Î Î æ v æ u Î alors : æ u æ Äp v = x + y + px p Õ + y Õ (x Õ x) +(y Õ y) ä = x + y + x Õ + y Õ (x Õ xx Õ + x + y Õ yy Õ + y ) = (xxõ +yy Õ )=xx Õ + yy Õ. Exemple : Pour æ u ( 5 ; ), æ v (3 ; 4), æ w (8 ; 6) : æ u æ v = = 33 æ u æ w = ( 6) = æ v æ w =3 8+4 ( 6) = 0 Théorème : Pour tout vecteur æ u : æ u æ u = Î æ u Î. Preuve : æ u æ u = Î æ u Î + Î æ u Î Î æ u æ u Î = Î æ u Î = Î æ u Î. Remarque : n note æ u le produit scalaire æ u æ u, appelé aussi carré scalaire de æ u. Propriété du produit scalaire : Pour tous vecteurs æ u, æ v et æ w et pour tout réel : æ u ( æ v + æ w )= æ u æ v + æ u æ w ( æ u ) æ v = ( æ u æ v ) Preuve :Soient æ u (x ; y), æ v (x Õ ; y Õ ) et æ w (x ÕÕ ; y ÕÕ ),alors: æ u ( æ v + æ w )=x(x Õ + x ÕÕ )+y(y Õ + y ÕÕ )=(xx Õ + yy Õ )+(xx ÕÕ + yy ÕÕ )= æ u æ v + æ u æ w ( æ u ) æ v =( x)x Õ +( y)y Õ = (xx Õ + yy Õ )= ( æ u æ v ). Propriétés (identités remarquables) : Pour tous vecteurs æ u et æ v ( æ u + æ v ) = æ u + æ u æ v + æ v ( æ u æ v ) = æ u æ u æ v + æ v ( æ u + æ v ) ( æ u æ v )= æ u æ v Preuve :Pourtousvecteurs æ u et æ v : ( æ u + æ v ) =( æ u + æ v ) ( æ u + æ v )= æ u + æ u æ v + æ v æ u + æ v = æ u + æ u æ v + æ v ( æ u æ v ) =( æ u æ v ) ( æ u æ v )= æ u æ u æ v æ v æ u + æ v = æ u æ u æ v + æ v ( æ u + æ v ) ( æ u æ v )= æ u æ u æ v + æ v æ u æ v = æ u æ v. Remarque : En utilisant ce qui précède, la définition du produit scalaire s écrit : 7.3 rthogonalité ų v = Îų Î + Î v Î Î v ų Î = Äų + v ( v ų ) ä = ų + v v + v ų ų = ų +ų v + v v ų = Ä (ų + v ) ų v ä = Îų + v Î Îų Î Î v Î Définition :nditquelesdeuxvecteurs æ u et æ v sont orthogonaux si : soit æ u = æ 0 ou æ v = æ 0, soit () (), lorsque æ u = æ et æ v = æ sont tous deux distincts du vecteur nul æ 0. 3 v.680
3 Maths s 7. Produit scalaire prog 00 Exemple : () (), æ u = æ 0 et æ v = æ 0 : æ v æ u Théorème :Deuxvecteurs æ u et æ v sont orthogonaux si, et seulement si : æ u æ v =0 Preuve :Si æ u = æ et æ v = æ, alors ce qui montre que : æ u æ v = Î æ Î + Î æ Î Î Î = + æ u æ v =0 + =0 + = ( rectangle en ) et prouve le théorème, puisque ces relations sont également vraies lorsque æ u = æ 0 ou æ v = æ 0. Propriété : Dans un repère orthonormal les vecteurs æ u (x ; y) et æ v (x Õ ; y Õ ) sont orthogonaux si, et seulement si : xx Õ + yy Õ =0 Preuve :namontréquepourtous æ u (x ; y) et æ v (x Õ ; y Õ ), æ u æ v = xx Õ + yy Õ,donc æ u æ v =0 (xx Õ + yy Õ =0). Conséquence : Pour tout vecteur æ u (x ; y), levecteur æ u Õ ( y ; x) est orthogonal au vecteur æ u, ainsi que tout vecteur colinéaire à æ u Õ. Preuve : æ u æ u Õ = x ( y)+y x =0et æ u ( æ u Õ )=x ( y)+y ( x) = ( xy + yx) =0,où œ R. 7.4 Propriétés géométriques du produit scalaire Définition : Le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) est le point d intersection H de la droite (d) avec la perpendiculaire à (d) issue de M. M H (d) Théorème :Si æ u et æ v sont deux vecteurs distincts du vecteur nul tels que æ u = æ et æ v = æ, alors æ u æ v = H, où H est le projeté orthogonal de sur (). æ v æ u (d) H Preuve :ParlarelationdeChaslesetpropriétéduproduitscalaire: æ u æ v = æ æ = æ æ æ H + H æ æ = H + H or par construction de H () (H) donc æ æ H =0et par suite æ u æ v = æ æ H. Remarque : Suivant la mesure de l angle on a : 33 v.680
4 Maths s 7. Produit scalaire prog 00 aigu droit obtus H = H = H =0 H = H Conséquence : Dans le triangle H rectangle en H, H = cos H, alors en tenant compte du signe de cos, on obtient : = cos soit de façon plus générale : æ u æ v = Î æ u ÎÎ æ v Î cos( æ u ; æ v ). 7.5 pplications géométriques du produit scalaire Équation d une droite Définition : n dit qu un vecteur non nul æ n est normal àune droite (d), si æ n est orthogonal àunvecteur directeur æ u de la droite (d). æ n æ u M Conséquence :Si æ n est un vecteur normal à la droite (d) passant par le point, alors (d) est l ensemble des points M tels que æ M æ n =0. Théorème :Sia et b sont deux nombres réels non simultanément nuls tous les deux, alors la droite (d) admet le vecteur æ n (a; b) pour vecteur normal si, et seulement si, elle admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c =0, où c œ R. Preuve : Si æ n (a ; b) est un vecteur normal à la droite (d) passant par (x ; y ),alors(d) est l ensemble des points M(x ; y) tels que æ M æ n =0,soita(x x )+b(y y )=0d où ax + by (ax + by )=0,cequiestbiendelaforme ax + by + c =0avec c = (ax + by ). Si ax + by + c =0est une équation cartésienne de la droite (d), alors æ u ( b ; a) est un vecteur directeur de (d) et par suite æ n (a ; b) est un vecteur normal à (d) puisque æ u æ n = b a + a b =0,cequiprouvequelesvecteurs æ u et æ n sont orthogonaux. Exemple : Déterminer l équation de la droite (d), perpendiculaire à () issue de sachant que : ( ; 3) et ( ; ). æ Solution : (3 ; 4) vecteur normal (d), alors une équation cartésienne de (d) est : 3(x ) 4(y + ) = 0, soit 3x 4y 7=0 La droite d équation cartésienne 4x +3y +=0a pour vecteur normal le vecteur æ n (4 ; 3). Équation d un cercle Propriété : Une équation cartésienne du cercle C de centre (x ; y ) et de rayon r est : (x x ) +(y y ) = r Preuve : M(x ; y) appartient à C si, et seulement si, M = r, soitm = r,d où(x x ) +(y y ) = r. Propriété : Le cercle de diamètre [] est l ensemble des points M tels que : æ M æ M =0 34 v.680
5 Maths s 7. Produit scalaire prog 00 Preuve : M appartient au cercle de diamètre [] si, et seulement si, M = ou M =, oubienm rectangle en M, soit æ M æ M =0,cettedernièreégalitéétantvérifiéesiM = ou M =. Exemple : Une équation cartésienne du cercle de centre ( 4 ; 3) et de rayon 5 est : (x + 4) +(y 3) = 5 Soient les points et C de coordonnées ( ; 7) et C( 7; ). Un point M appartient au cercle de diamètre [C] si, et seulement si, æ M æ CM =0, soit, en posant M(x ; y) : (x + )(x + 7) + (y 7)(y + ) = 0 Remarque :Endéveloppantl équationducercledecentre on obtient x +8x+6+y 6y+9 = 5,soitx +8x+y 6y =0, et en développant l équation du cercle de diamètre [C] on obtient x +8x +7+y 6y 7=0,soitx +8x + y 6y =0. p Il s agit donc du même cercle : en e et C = ( 7+) +( 7) =0= 5 et le milieu de [C] est le point puisque 7 = 4 =x et 7 =3=y. Relation sur les longueurs et les angles dans un triangle Théorème de la médiane : Si I est le milieu du segment [], alors pour tout point M : M M + M =MI + Preuve : M + M = æ M + æ M =( æ MI + æ I) +( æ MI + æ I) / I / donc M + M = MI + MI I + I + MI + MI I + I =MI + æ MI ( I + I)+I + I or æ I + æ I = æ 0 et I = I = 4,doncM + M =MI +. Théorème d l-kashi :(relations métriques dans le triangle) Dans un triangle C, avec les notations suivantes : a = C, b = C, c =, b = C, = C et C = C, () a = b + c bc cos b () b = a + c ac cos (3) c = a + b ab cos C Preuve (de la relation ()) : C = æ C =( æ + æ C) =( æ C æ ) = æ C æ C æ + æ ce qui s écrit : a = C + C cos C = b + c bc cos b. Les deux autres relations se montrent de la même façon en permutant les points, et C. Propriété de l aire d un triangle : Dans un triangle C d aire S, avec les notations suivantes : a = C, b = C, c =, b = C, = C et C = C, S = bc sin b = ac sin = ab sin C Preuve :SoitH le projeté orthogonal de C sur (), alors S = CH = C cos CH = C sin C = bc sin b n démontre de la même manière que S = ac sin b,puiss = ab sin b C,parpermutationdespoints, et C. Formule des sinus : Dans un triangle C, avec les notations suivantes : a = C, b = C, c =, b = C, = C et C = C, a sin b = b sin = c sin C 35 v.680
6 Maths s 7. Produit scalaire prog 00 S Preuve :Enutilisantlapropriétédel airedutriangleetenmultipliantpar,onobtient abc abc = sin b = sin b = sin C b, a b c or dans un triangle de sommets non alignés les côtés et les angles sont non nuls, donc en passant à l inverse on obtient : a sin b = b sin b = c sin b C. Formules d addition de trigonométrie Soient et deux points du cercle trigonométrique dans le repère ( ; I,J) et les angles de vecteurs a =( æ I ; æ ) et b =( æ I ; æ ), alors : æ æ = cos( ; ) or = =et ( æ ; æ ) =( æ ; æ I)+( æ I ; æ ) =( æ I ; æ ) ( æ I ; æ ) =a b, donc æ æ = cos(a b), de plus = = (cos a I +sinaj) (cos b I +sinbj) = cos a cos b +sinasin b, car I = J =et æ I æ J = æ J æ I =0, donc cos(a b) = cos a cos b +sina sin b. Les autres formules d addition s en déduisent : cos(a + b) = cos(a ( b)) = cos a cos( b)+sinasin( b) = cos a cos b sin a sin b fi fi fi sin(a + b) = cos (a + b) = cos a cos( b) sin a sin( b) =sinacos b + cos a sin b sin(a b) =sina cos( b) + cos a sin( b) =sina cos b cos a sin b 36 v.680
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