Information chiffrée : proportions ; indices

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1 Information chiffrée : proportions ; indices Échauffez-vous! 1 Reliez chacun des nombres décimaux de la colonne de gauche à la fraction qui lui est égale 310 0,79 68, 3,1 79 0,068 2 Complétez : a) 0,72 = 0,72 = 0,72 = = 72 % b) 0,015 = 0,015 1 c) 4,6 = 4,6 1 d) 0,006 = 0,006 1 = 0,015 1 = 1,5 = 1,5 % = 4,6 1 = 460 = 460 % = 0,006 1 = 0,6 = 0,6 % Écritures Un pourcentage peut s écrire sous forme de fraction ou sous forme décimale Par exemple : 38 % = 38 = 0,38 3 Cochez la case correspondant à la bonne réponse a) Le nombre 0,04 est égal à : 0,04 % 40 % 4 % b) Le nombre 1,2 est égal à : 12 % 1,2 % 120 % c) Le nombre 0,9 est égal à : 90 % 0,9 % 9 % d) Le nombre 0,007 est égal à : 0,7 % 0,07 % 7 %

2 Proportions 1 Calculer une proportion L an dernier dans un collège, 24 élèves sur 32 ont réussi le brevet dans la classe de 3 e A, 21 élèves sur 28 ont réussi le brevet dans la classe de 3 e B et 24 élèves sur 30 ont réussi le brevet dans la classe de 3 e C Pour chaque classe, la proportion d élèves ayant réussi le brevet est le quotient du nombre d élèves qui ont réussi par le nombre total d élèves de la classe Activité 1 1 Reliez chacune des proportions de la colonne de gauche au quotient qui lui est égal 24 Proportion d élèves de 3 e A ayant réussi le brevet 30 Proportion d élèves de 3 e B ayant réussi le brevet Proportion d élèves de 3 e C ayant réussi le brevet Complétez et rayez les encadrés inutiles a) = 0,75 et = 0,75, donc les proportions d élèves de 3 e A et de 3 e B ayant réussi le brevet sont égales / différentes b) = 0,75 et = 0,8, donc la proportion d élèves de 3 e B ayant réussi le brevet est plus petite / grande que celle de 3 e C 2 Exprimer une proportion sous forme de pourcentage On peut lire sur l étiquette d un pot de 250 grammes de confiture : «105 grammes de fruits, soit une proportion de fruits de 42 %» La proportion de fruits est le quotient de la quantité de fruits par celle de confiture Activité 2 Complétez 1 La proportion de fruits dans ce pot de confiture est : = 0,42 = = 42 % S il y avait 120 grammes de fruits pour 300 grammes de confiture, la proportion de fruits serait = 0,4 = = 40 %

3 3 Comment calculer une quantité à partir d une proportion exprimée par un pourcentage? Méthode 1 Étape 1 On écrit la proportion sous forme de fraction Étape 2 On écrit le pourcentage sous forme décimale Étape 3 On écrit, puis on utilise l égalité entre les deux expressions précédentes Dans un petit port, 60 % des 720 habitants vivent de la pêche Combien d habitants du port vivent de la pêche? Solution On note n le nombre d habitants vivant de la pêche Étape 1 La proportion d habitants vivant de la pêche est égale à Étape 2 60 % = 60 = 0,6 Étape 3 On a n = 0,6, donc n = 720 0,6 = Concluez : 432 habitants du port vivent de la pêche n 720 Dans un village voisin, 697 habitants vivent de l agriculture, ce qui représente 82 % de la population Combien y a-t-il d habitants dans le village? Solution On note N le nombre d habitants du village Étape 1 La proportion d habitants vivant de l agriculture est égale à 697 N Étape 2 82 % = 82 = 0,82 Étape 3 On a 697 N = 0,82 On en déduit : 0,82 N = 697, donc N = 697 0,82 = 850 Concluez : le village compte 850 habitants 37 CHAPITRE 3 PROPORTIONS ; INDICES 37 45

4 Taux d évolution 1 Calculer un taux d évolution et l écrire sous forme de pourcentage Le taux d évolution d une valeur V 0 (valeur de départ) à une valeur V 1 (valeur V d arrivée) est le nombre 1 V0 t = - valeur d arrivée valeur de départ V = 0 valeur de départ On l exprime en général sous forme de pourcentage Un taux d évolution positif signifie que l évolution est une augmentation (ou hausse) Un taux d évolution négatif signifie que l évolution est une diminution (ou baisse) Exemple La capacité d un stade est passée de à places Le taux d évolution de la capacité du stade est 40 % (Ici, la valeur de départ est et la valeur d arrivée est ) Activité 1 1 Entourez la fraction égale au taux d évolution de la capacité du stade ; ; Calculez ce taux t = = = 0,4 = 40 % Rayez les encadrés inutiles Le taux d évolution est positif / négatif, donc la capacité du stade a augmenté / diminué de 40 % L entreprise qui a effectué les travaux d agrandissement du stade employait 800 personnes il y a un an ; elle en emploie aujourd hui 700 Le taux d évolution de l effectif de l entreprise est 12,5 % Activité 2 1 Cochez la case correspondant à la bonne réponse a) La valeur de départ est : b) La valeur d arrivée est : Calculez le taux d évolution de l effectif de l entreprise t = = = 0,125 = 12,5 % Rayez les encadrés inutiles Le taux d évolution est positif / négatif, donc l effectif de l entreprise a augmenté / diminué de 12, 5 % / 12,5 % 46 38

5 2 Comment calculer la valeur de départ ou la valeur d arrivée lorsqu on connaît l autre valeur et le taux d évolution? Méthode 2 On note t le taux d évolution de la valeur de départ V 0 à la valeur d arrivée V 1 Dans cette méthode, on utilise l égalité V = V ^1 + th qui se déduit de la définition : 1 0 V t 1 V0 = - V0 Étape 1 On écrit le taux d évolution t sous forme décimale, en remarquant que lorsque l évolution est une baisse, t est un nombre négatif Étape 2 On remplace t par sa valeur dans l égalité V1= V ^ th Étape 3 Si le nombre V 0 est connu, on le remplace par sa valeur dans l égalité précédente et on calcule V 1 Si le nombre V 1 est connu, on le remplace par sa valeur dans l égalité précédente V et on calcule V 1 0 = 1 + t Un magasin réduit de 10 % le prix des jeans et augmente de 10 % celui des pulls 1 Calculez le prix, après réduction, d un jean dont le prix initial est 50 2 Calculez le prix, avant augmentation, d un pull dont le prix actuel est 44 Solution 1 Le prix de départ est V0 = 50, et on note V 1 le prix d arrivée cherché Étape 1 L évolution étant une baisse, le taux t est négatif : t = 10 % = 0,1 Étape 2 On remplace t par 0,1 dans l égalité V1= V ^ th : V 1 = V 0 (1 0,1) Étape 3 On remplace V 0 par sa valeur 50 : V 1 = 50 (1 0,1) = 50 0,9 = 45 Concluez : le prix du jean après réduction est 45 2 On note V 0 le prix de départ cherché ; le prix d arrivée est V1 = 44 Étape 1 L évolution étant une hausse, le taux t est positif : t = 10 % = 0,1 Étape 2 On remplace t par 0,1 dans l égalité V1= V ^ th : V 1 = V 0 (1 + 0,1) Étape 3 On remplace V 1 par sa valeur 44 : 44 = V 0 (1 + 0,1), c est-à-dire 44 = V 0 1,1 On en déduit que V 0 = 44 1,1 = 40 Concluez : le prix du pull avant augmentation est CHAPITRE 3 PROPORTIONS ; INDICES 39 47

6 Indices 1 Calculer un indice Le salaire mensuel de Lola est passé de en mai à en juin L indice du salaire de Lola en juin par rapport à son salaire en mai est 110 L indice de par rapport à est le nombre I tel que la suite des nombres ; I soit proportionnelle à la suite des nombres ; Activité 1 1 Complétez le tableau de proportionnalité 2 Complétez Ainsi, I = 1 650, donc I = mai juin Salaire de Lola Indice I = 110 Un agriculteur a récolté 16 tonnes de blé en 2007 et 12 tonnes en 2008 L indice de la production en 2008 par rapport à la production en 2007 est 75 Activité 2 1 Rayez les encadrés inutiles a) L indice I de la production en 2008 par rapport à la production en 2007 est l indice de 12 / 16 par rapport à 16 / 12 b) On en déduit que la suite ; I est proportionnelle à la suite 12 ; 16 / 16 ; 12 2 Complétez le tableau de proportionnalité 3 Complétez Ainsi, 16 I = 12, donc I = = Récolte annuelle Indice I 2 Calculer le taux d évolution à partir de l indice Activité 3 L indice du coût de la vie en octobre 2008 par rapport à celui d octobre 2007 était 102,7 Le taux d évolution de ce coût, d octobre 2007 à octobre 2008, est 2,7 % On note I l indice d une valeur d arrivée V 1 par rapport à une valeur de départ V 0 Le taux d évolution de V 0 à V 1 est t = ^I - h % (Ici, V 0 est le coût de la vie en octobre 2007 et V 1 est le coût de la vie en octobre 2008) Complétez Le taux d évolution du coût de la vie d octobre 2007 à octobre 2008 est : (102,7 ) % = 2,7 % Valeur V 0 V 1 Indice I 48 40

7 3 Comment calculer une valeur en utilisant un indice? Méthode 3 On note I l indice d une valeur V 1 par rapport à une valeur V 0 Étape 1 On réalise un tableau de proportionnalité représentant la situation C 1, C 2 et C 3 sont les chiffres d affaires annuels, exprimés en millions d euros, réalisés par une entreprise au cours de ses première, deuxième et troisième années d activité On sait que C2 = 6, 6 1 Sachant que l indice de C 3 par rapport à C 2 est 120, calculez C 3 2 Sachant que l indice de C 2 par rapport à C 1 est 110, calculez C 1 Solution 1 Étape 1 Tableau de proportionnalité : Valeur V 0 V 1 Indice I Étape 2 On utilise l égalité des produits en croix Valeur C 2 = 6,6 C 3 Indice Étape 2 On utilise l égalité des produits en croix : 6,6 120 = C 3, d où C 3 = 792 = 7,92 Concluez : le chiffre d affaires réalisé la deuxième année est : 7,92 millions d euros 2 Étape 1 Tableau de proportionnalité : Valeur C 1 C 2 = 6,6 Indice Étape 2 On utilise l égalité des produits en croix : C = 6,6, d où C 1 = = 6 Concluez : le chiffre d affaires réalisé la première année est : 6 millions d euros 41 CHAPITRE 3 PROPORTIONS ; INDICES 41 49

8 1 1 a) 44,5 % = 0,445 b) 0,25 % = 0,002 5 c) 1,5 % = 0,015 d) % = 1 e) 0,031 % = 0, a) 0,36 = 36 % b) 0,05 = 5 % c) 0,152 = 15,2 % d) 0,000 7 = 0,07 % e) 0,002 9 = 0,29 % 2 La proportion d Italiens dans le groupe de voyageurs est 40 0,471, c est-à-dire environ 47,1 % 85 3 La proportion de la recette versée à l association est 900 = 30 % Une bouteille de 150 ml d alcool à 90 contient % = 135 ml d alcool 5 On note N l effectif de la population française L information donnée à la radio se traduit par = 16 %, N c est-à-dire N = , donc N = ,16 Les données de l INSEE confirment que ce résultat est une approximation correcte de la population française 6 On note N le nombre d électeurs inscrits L information donnée dans l énoncé se traduit par = 61,43 %, N c est-à-dire N = 4 421, donc N , L évolution est une baisse, donc on sait d avance que le résultat est négatif Le taux d évolution du nombre d habitants entre le 1 er janvier 2008 et le 1 er janvier 2009 est = 15 = 12,5 % Le taux d évolution de la consommation d eau de 2007 à 2008 est = 8 % La consommation d eau a diminué de 8 % 9 Taux d évolution V 0 V 1 Évolution de V 0 à V 1 de V 0 à V baisse 33,3 % hausse 87,5 % baisse 30,3 % hausse % 10 1 Le prix soldé de l article est 132 0,85 = 112,20 2 Le prix initial de l article est 35,70 = 42 0, La fillette mesure 94 1,05 = 98,7 cm 2 Le lancer précédent était de 76,93 = 78,5 m 0,98 12 D après la précédente enquête, le nombre d auditeurs qui écoutaient régulièrement cette station est ,006, soit (valeur arrondie) 13 1 Valeur 8 5 Indice I 1 L indice de 5 par rapport à 8 est I 1 tel que 8 I 1 = 5, donc I 1 = 5 8 = 62,5 2 Valeur 5 8 Indice I 2 L indice de 8 par rapport à 5 est I 2 tel que 5 I 2 = 8, donc I 2 = 8 5 = Valeur V 0 = V 1 = Indice I L indice de V 1 par rapport à V 0 est I = = 642, Valeur Indice I L indice du nombre des internautes en 2008 par rapport au nombre de ces internautes en 2007 est I = = 135,053, donc I 135, CHAPITRE 3 PROPORTIONS ; INDICES 51

9 16 Valeur p 0,63 Indice 105 Le prix, en euros, du m 3 d eau de l an dernier est p = 0,63 = 0, Valeur p Indice 215 Le prix d achat, en euros, de l appartement en 2009 est = Le taux d évolution de V 0 à V 1 est t = (173 ) % = 73 % 19 1 Le taux d évolution du nombre d élèves entre septembre 2008 et septembre 2009 est t = (95,3 ) % = 4,7 % 2 Le nombre d élèves a diminué, car le taux d évolution est négatif ,75 = 120 élèves ont réussi l an dernier 2 Cette année : a) s il y avait 140 candidats, 140 0,80 = 112 ont réussi ; b) s il y avait 150 candidats, 150 0,80 = 120 ont réussi ; c) s il y avait 160 candidats, 160 0,80 = 128 ont réussi 3 La déclaration de l enseignant est inexacte Pour des populations de référence différentes, les effectifs et les proportions ne sont pas forcément rangées dans le même ordre 21 a) La proportion des personnes qui ont vu leur santé s améliorer parmi celles qui ont pris le médicament est 60 = 75 % 80 b) La proportion des personnes qui ont vu leur santé s améliorer parmi celles qui n ont pas pris le médicament est 5 = 12,5 % 40 c) La proportion des personnes qui ont pris le médicament parmi celles qui ont vu leur santé s améliorer est 60 92,3 % Le nombre d électeurs qui ont voté est 0, = Le nombre d électeurs qui ont voté pour Icks est 0, = La proportion des électeurs inscrits qui ont voté en faveur de Icks est = 36,4 % a) On sait que si t est le taux d évolution de V 0 à V 1 alors V 1 = V 0 (1 + t) Ici, V 0 est le prix HT, V 1 est le prix TTC et t = 19,6 %, donc prix TTC = prix HT (1 + 0,196) Ainsi, prix TTC = 120 1,196 b) Le prix TTC du produit est 120 1,196 = 143,52 c) Le montant de la TVA est 143, = 23,52 2 a) Le prix HT du produit est 299 = 250 1,196 b) Le montant de la TVA est = 49 3 a) Pour obtenir le total TVA, on multiplie le total HT par 0,196, ce qui peut s expliquer de deux façons : le taux de TVA est 19,6 % = 0,196 ; = 0,196 b) Le total TTC est la somme du total HT et du total TVA 24 1 Le capital acquis au bout d un an est ,04 = Le montant des intérêts est = 2 Le capital initial C est = ,06 Le montant des intérêts est = Le taux d évolution de l espérance de vie entre 1989 et 2008 au Botswana est ,03 % 61 2 Le taux d évolution de l espérance de vie des hommes est 77,6 71,2 8,99 %, celui des femmes est 71,2 84,5 79,3 6,56 % Ainsi, le taux d évolution de l espérance de vie des hommes est supérieur à celui des 79,3 femmes 26 1 Le nombre de voyageurs qui ont utilisé le tramway au cours de la deuxième année est 1, = Le nombre de voyageurs qui ont utilisé le tramway au cours de la troisième année est 1, =

10 3 Le taux d évolution du nombre de voyageurs qui ont utilisé le tramway, de la première à la troisième année est = 26,5 % Ce taux n est pas égal à 25 % 27 1 Le nouveau prix du bidon est 20 (1 0,2) = 16, donc le prix du litre est 16 = 3, La nouvelle quantité de peinture est 5 (1 + 0,2) = 6 litres, donc le prix du litre est 20 3, Le prix du litre est moins élevé pour l offre A 28 L indice de l impôt en 2007 est I = = 93, Le montant de l impôt en 2008 est V 2008 = ,75 = Le tableau suivant contient tous les résultats 2 Le nombre d élèves de seconde est 200 (cellule B8) et le nombre d élèves passant en première est 180 (cellule C8) 3 On entre la formule =C2/B2 dans la cellule D2 Le pourcentage obtenu est 88,2 % 4 a) Le résultat de la cellule D8 est la proportion d élèves de seconde du lycée qui sont passés en première b) La moyenne des pourcentages des cellules D2 à D7, arrondie à 0,1 %, est 90,2 % Ce résultat a été calculé dans la cellule E7 en utilisant la formule =MOYENNE(D2:D7) Cette moyenne n est pas égale à celle obtenue dans la cellule D8, car son calcul a été effectué avec des valeurs arrondies 44 CHAPITRE 3 PROPORTIONS ; INDICES 53

11 COMME À L ÉCRAN Calculs de proportions et de taux d évolution La feuille de calcul suivante donne, pour un lycée et pour l année scolaire : les nombres de passages d élèves à l infirmerie enregistrés mensuellement ; le nombre total de passages d élèves à l infirmerie enregistrés au cours de l année scolaire ; les proportions de passages mensuels par rapport aux passages dans l année ; le taux d évolution du nombre de passages d un mois au mois suivant 1 Cochez la formule entrée dans la cellule B12 = SOMME^B2:B11h = SOMME^222:h = SOMME] Bg = SOMME^A2:A11h 2 Les cellules de la colonne C ont été mises au format Pourcentage avec une décimale a) Cochez la formule entrée dans la cellule C2, puis recopiée jusqu à la cellule C11 = *B2/$B$12 = *B2/B12 = B2/$B$12 = B2/B12 b) Complétez : la formule obtenue en cliquant dans la cellule C11 est : =B11/$B$12 3 Les cellules de la colonne D ont été mises au format Pourcentage avec une décimale a) Cochez la formule entrée dans la cellule D3, puis recopiée jusqu à la cellule D11 = ^B3-B2h /B2 = * ^B3-B2h/B2 = B3/$B$2-1 = *B3/$B$2-1 b) Complétez : la formule obtenue en cliquant dans la cellule D11 est : =(B11 B10)/B

12 Évaluation Nom Prénom Classe Date Exercice 1 7 points 1 En 2008, un musée a reçu visiteurs, dont étrangers Calculer la proportion de visiteurs étrangers dans ce musée en 2008 ; écrire le résultat sous forme de pourcentage arrondi à 0,1 % près La proportion de visiteurs étrangers en 2008 est p = = 0,325 91, donc p 32,6 % 2 Dans une ville de habitants, 8,5 % des habitants sont chômeurs Combien y a-t-il de chômeurs? On note N le nombre de chômeurs N On a = 8,5 %, donc N = ,085, c est-à-dire N = En 2007, il s est vendu en France voitures de marque française, ce qui représente approximativement 51,84 % des ventes totales de voitures en France Quel est le nombre total de voitures vendues en France en 2007? Arrondir le résultat au millier le plus proche On note N le nombre total de voitures vendues en France = 51,84 %, donc = 0,518 4 N, N c est-à-dire N = = ,21 0,518 4 Le nombre total est environ Exercice 2 7 points 1 Le nombre d employés d une société de conseil et d ingénierie en nouvelles technologies est passé de 80 à 70 au bout de deux mois d existence Calculer le taux d évolution du nombre d employés initial au nombre d employés au bout de deux mois ; écrire le résultat sous forme de pourcentage Le taux d évolution est = 0,125 = 12,5 % CHAPITRE 3 PROPORTIONS ; INDICES 55

13 2 Une ville comptait habitants en 2007 Le nombre d habitants a baissé de 4 % entre 2007 et 2008 Calculer le nombre d habitants de la ville en 2008 Le nombre d habitants de la ville en 2008 est (1 0,04) = ,96 = Un lycée avait élèves en , ce qui représentait une hausse de 10 % par rapport à Calculer le nombre d élèves du lycée en On note V 0 le nombre d élèves du lycée en On a V 0 (1 + 0,1) = 1 650, donc 1,1 V 0 = Ainsi, V 0 = = ,1 Exercice 3 6 points 1 Une multinationale avait employés dans le monde le 1 er janvier 2008 L indice du nombre d employés le 1 er janvier 2009 par rapport au nombre d employés le 1 er janvier 2008 est I = 96, 4 Calculer le nombre d employés de la multinationale le 1 er janvier 2009 Valeur N On note N le nombre d employés Indice 96,4 le 1 er janvier On a ,4 = N, donc N = = Une association a vendu billets lors de la loterie qu elle a organisée en 2008 et billets lors de la loterie qu elle a organisée en 2009 Calculer l indice du nombre de billets vendus en 2009 par rapport au nombre de billets vendus en 2008 Valeur L indice I du nombre de billets vendus Indice I en 2009 par rapport au nombre de billets vendus en 2008 est tel que I = Ainsi, I = = CHAPITRE 3 INFORMATION CHIFFRÉE : PROPORTIONS ; INDICES

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