ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL

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1 ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL Roland FORTUNIER Cente Mico-électonique de Povence "Geoges Chapak" Avenue des anémones GARDANNE

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3 Table des matièes Intoduction Chapite 1. Notions de base Espace vectoiel E et espace dual E Covaiance et contavaiance Cas pé-euclidien et euclidien : identification de E et E Le tenseu métique Chapite 2. Algèbe tensoielle Les tenseus pé-euclidiens Composantes d un tenseu Opéations su les tenseus Notions d algèbe extéieue Chapite 3. Géométie difféentielle Repèe natuel Symboles de chistoffel Difféentielle absolue, déivée covaiante Les tenseus de coubue et de tosion Chapite 4. Expession de quelques opéateus Accéléation d un point Gadient Divegence Rotationel Laplacien Annexes A. Coodonnées cylindiques B. Coodonnées sphéiques Bibliogaphie

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5 Intoduction En 1900, Ricci et Levi-Civita ont donné le pemie exposé systématique elatif au calcul tensoiel. Dans cet ouvage, les auteus ont attié l attention des mathématiciens et des physiciens su un cetain nombe d applications de cette théoie mathématique. Depuis, l appaition de la théoie de la elativité, qui n a été possible que gâce à l existence péalable du calcul tensoiel, lui a fait éalise pa contecoup d immenses pogès. Ce calcul est devenu l un des instuments essentiels de toute la physique théoique modene. L étude du calcul tensoiel peut ête éalisée au sein d un cade mathématique fomel, à l aide de définitions et de démonstations plus ou moins compliquées. Mais le calcul tensoiel est aussi un outil tès patique pou l écitue et l étude des équations sevant à décie des phénomènes physiques. En effet, les lois physiques ne sont valables que si elles sont indépendantes de tout système de coodonnées paticulie utilisé pou les epésente mathématiquement. Il est ainsi tès commode d utilise l analyse tensoielle en elativité généale, en géométie difféentielle, en mécanique, en themodynamique, et dans de nombeuses autes banches de la science ou de la technologie, et il n est pas nécessaie pou cela de connaîte l ensemble des fondements mathématiques de la théoie. Dans ce document, nous avons choisi de taite l analyse tensoielle comme un outil de desciption simple et concis des lois physiques que l ingénieu aua sans doute à connaîte et à utilise au cous de sa vie pofessionnelle. Le pemie chapite est consacé à la définition des notions élémentaies nécessaies à la compéhension du calcul tensoiel. Il donne le cade mathématique, volontaiement esteint, dans lequel se place ce document. Ensuite, nous définissons dans le second chapite les tenseus, leus composantes, et les difféentes opéations classiques qui y sont associées. Quelques notions d algèbe extéieue sont également founies. Dans le toisième chapite, nous utilisons le calcul tensoiel pou intoduie la géométie difféentielle, qui concétise cet outil. Enfin, dans le quatième chapite, quelques opéateus difféentiels sont intoduits dans un cade tensoiel. Ces opéateus sont à la base de la plupat des lois physiques. Ils sont explicités dans les annexes A et B pou le cas de systèmes de coodonnées cylindiques et sphéiques. Le cade théoique de ce document a été éalisé à l aide des document [LIC 87, RIE 85]. Le lecteu poua également touve des applications du calcul tensoiel dans [HIL 78, FOR 96] pou la mécanique et la défomation plastique, ainsi que dans [HEI 73] pou la cosmologie. Enfin, de nombeux execices ésolus se touvent dans [MUR 73].

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7 Chapite 1 Notions de base 1.1. Espace vectoiel E et espace dual E Dans l ensemble de ce document, nous considéons un espace vectoiel E de dimension N su un cops K, dont les vecteus de base sont notés a i. D une façon généale, les éléments de E seont notés en caactèe gas ("vecteus"), pou les difféencie des éléments de K ("scalaies"). Un élément x de E se décomposea donc su la base des a i sous la fome de composantes x i telles que x = x 1 a 1 + x 2 a x N a N. Nous utiliseons donc féquemment des sommes su des indices vaiant de 1 à la dimension N de l espace considéé. Pou simplifie les notations, ces sommes seont endues implicites losque, dans un poduit ou su un seul teme, le même indice appaaîta à la fois en position inféieue et supéieue. Pa exemple, la décomposition d un élément x de E su la base des a i s écia de façon condensée sous la fome x = x i a i. De même, en notant A j i les temes d une matice, les composantes y i de lélément de E issu du poduit de cette matice pa un élément x de E, et la tace de cette matice, s éciont successivement : y i = A i j xj = A i 1x A i N xn A i i = A A N N (1.1) Il s agit de la convention de sommation dite d Einstein. Souvent, cette convention de sommation est étendue à tous les indices pésents dans un poduit ou su un seul teme, quelle que soit leu position (inféieue ou supéieue). Dans ce document, nous n effectueons pas cette extension. Nous veons en effet que la signification mathématique d un indice dépend de sa position. La pemièe notion fondamentale utile en calcul tensoiel est celle d espace vectoiel dual E, issue de l analyse vectoielle. Pou simplifie, nous citeons simplement la définition de E. Il s agit de l ensemble des fomes linéaies u de E dans K, qui satisfont les conditions : { u(x + y) = u(x) + u(y) x E, y E, λ K, u(λx) = λu(x) (1.2) Dans la suite, les éléments de E seont difféenciés des éléments de E pa un "tait supéieu". Considéons maintenant un cetain nombe d éléments de l espace E définis sous la fome : x E, a i (x) = x i si x = x i a i (1.3)

8 10 Calcul tensoiel On peut emaque su l équation pécédente que les éléments a i de l espace E sont associés aux éléments a i de E. En paticulie, ils sont au nombe de N et satisfont la elation : a j (a i ) = δ j i = { 1 si i = j 0 si i j (1.4) Les éléments a i foment une base de E. Pou démonte cela, nous véifions qu ils foment dans E : une famille libe, en considéant une combinaison linéaie nulle λ i a i, où les λ i sont des éléments du cops K. L image des vecteus de base a j de E pa cette combinaison linéaie est donc également nulle, et on peut écie : λ i a i (a j ) = λ i δ i j = λ j = 0 (1.5) une famille généatice, en écivant pou tout élément u de E : x E, u(x) = u(x i a i ) = x i u(a i ) = u(a i )a i (x) = u i a i (x) (1.6) ce qui monte que les composantes de u su la base des a i sont les images pa u des vecteus de base a i de E (u i = u(a i )). La base des a i est souvent appelée "base duale" des a i. Elle est constituée de N temes, ce qui monte que E est de dimension N Covaiance et contavaiance Nous considéons maintenant dans E deux systèmes de vecteus de base a i et b j, qui se déduisent l un de l aute pa une combinaison linéaie (b j = Bj ia i et a i = A j i b j, où les temes B j i et Aj i foment des matices inveses l une de l aute). Les bases duales associées à ces deux systèmes se déduisent alos l une de l aute pa des elations analogues, mais en invesant les deux matices mises en jeu. On obtient b j = A j i ai et a i = Bj ibj. Ceci se monte facilement pa exemple en écivant l image pa b j d un élément x de E sous la fome : b j (x) = b j (x i a i ) = b j (a i )x i = b j (A k i b k)x i = A k i bj (b k )x i = A k i δj k xi = A j i xi = A j i ai (x) (1.7) Considéons maintenant un élément quelconque u de E et u de E. Notons x i et y i les composantes de u dans les deux systèmes de base (u = x i a i = y j b j ). Notons maintenant f i et g i les composantes de u dans ces deux systèmes de base (u = f i a i = g j b j ). A l aide des elations pécédentes, on monte alos facilement que l on a : { x i = B i j yj y j = A j i xi et { fi = A j i g j g j = B i j f i (1.8) On emaque su l équation pécédente que les composantes f i et g j de u évoluent de la même façon (dans le même "sens") que les vecteus de base de E. On dit qu elles évoluent de façon covaiante pa appot à ces vecteus. Invesement, les composantes x i et y j de u évoluent de façon invese (dans le sens "invese") des vecteus de base de E. On dit qu elles évoluent de façon contavaiante pa appot à ces vecteus.

9 Notions de base Cas pé-euclidien et euclidien : identification de E et E Losque E est un espace pé-euclidien, il existe dans cet espace une loi de composition, appelée "poduit scalaie", qui à tout couple d éléments x et y de E fait coesponde un élément du cops K (le "scalaie"), que nous noteons x.y. Ce poduit scalaie satisfait de plus les conditions suivantes : x E, y E, x.y = y.x λ E, x E, y E, (λx).y = x.(λy) = λ(x.y) x E, y E, z E, x.(y + z) = x.y + x.z Si x E, x.y = 0, alos y = 0 Le caactèe pé-euclidien de E a une conséquence impotante su E. En effet, chaque élément de base a i de E est une fome linéaie de E dans K. On peut donc écie : x E, a i (x) = a i.x (1.9) Pou obteni les a i, il suffit d utilise la définition des a i pou écie : a i.a j = δ i j (1.10) Les a i sont donc les éléments de E othogonaux aux vecteus a i. Il s en suit que les a i foment une base de E. Plus généalement, l image de tout élément x de E pa un élément u de E peut ête écite sous la fome u(x) = u.x. En effet, on a : u(x) = f i a i (x) = f i a i.x = (f i a i ).x (1.11) Les composantes f i de u dans E sont celles de u dans E, elativement à la base des a i (on a donc u = f i a i ). On peut donc identifie tout élément u de E avec son vecteu associé u de E, et donc ne considée qu un seul espace E. Dans un espace vectoiel pé-euclidien E, la base des a i est dite "covaiante" et celle des a i est dite "contavaiante". Un vecteu quelconque u de E aua donc des composantes dans ces deux bases. Pou simplifie les notations, les composantes f i sont souvent notées x i et on peut écie : { u = x i a i u = x i a i et { xi = u.a i x i = u.a i (1.12) Les composantes x i de u sont dites "contavaiantes", tandis que les composantes x i (i.e. f i ) sont dites "covaiantes". La figue 1.1 illuste ce ésultat dans le cas d un espace euclidien de dimension 2. Les espaces euclidiens sont des espaces pé-euclidiens su le cops des éels, où la denièe condition satisfaite pa le poduit scalaie est emplacée pa la suivante : Si x 0, alos x.x > 0 Il est alos possible de défini une nome su cet espace vectoiel sous la fome : x E, x = x.x (1.13)

10 12 Calcul tensoiel Figue 1.1. Covaiance et contavaiance dans un espace de dimension Le tenseu métique Dans un espace pé-euclidien E, le poduit scalaie ente deux vecteus x et y, de composantes contavaiantes x i et y i, et covaiantes x i et y i, pa appot à des vecteus de base a i et a i, s écit sous la fome : x E, y E, x.y = g j i xi y j = g i jx i y j = g ij x i y j = g ij x i y j (1.14) avec : g ij = a i.a j = a j.a i = g ji g ij = a i.a j = a j.a i = g ji g j i = a i.a j = δ j i = δi j = ai.a j = g i j (1.15) Les temes g ij, g ij, g j i = δ j i et gi j = δi j foment les composantes d un tenseu symétique appelé "tenseu métique" ou "tenseu fondamental", qui est d une gande impotance en calcul tensoiel. En effet, il pemet de calcule le poduit scalaie de deux vecteus quelconques. On peut d ailleus emaque que les composantes contavaiantes g ij sont obtenues en "invesant" la matice fomée pa les g ij, tandis que les composantes "mixtes" g j i foment la matice identité.

11 Chapite 2 Algèbe tensoielle 2.1. Les tenseus pé-euclidiens Les tenseus sont constuits su la base d une opéation appelée "poduit tensoiel". Pa exemple, si E et F sont deux espaces vectoiels de dimension N et P espectivement, su un même cops K, on définit leu poduit tensoiel E F de la façon suivante. Chaque élément de E F peut ête écit sous la fome u v, où u et v sont des vecteus de E et F espectivement, l opéation jouissant des popiétés suivantes : { u E, v1 F, v 2 F, u (v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2 u 1 E, u 2 E, v F, (u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v λ K, u E, v F, λ(u v) = λu v = u λv Si N vecteus a i constituent une base de E et P vecteus b j une base de F, alos les N P vecteus a i b j constituent une base de E F. Le poduit tensoiel de deux espaces vectoiels est également un espace vectoiel. On peut donc à son tou le multiplie (de façon tensoielle) pa un toisième espace vectoiel G, et on obtienda l espace vectoiel (E F ) G. En constatant que l opéateu est associatif, on peut note l espace final E F G. D une façon généale, on appelle tenseu constuit su les espaces E, F, G,... tout élément de l espace vectoiel E F G... Dans ce qui suit, nous nous limiteons au cas où l espace vectoiel est engendé uniquement pa un espace E et son dual E, tous deux éventuellement multipliés plusieus fois ente eux. Dans ce cas les éléments de l espace vectoiel engendé sont appelés tenseus affines. Considéons pa exemple un élément T de l espace vectoiel E E. Si les vecteus a i et a j constituent des bases espectives de E et E, alos les composantes de T dans l espace vectoiel E E seont notées Tj i et on aua T = Tj ia i a j. Il est évident que T aua des équivalents dans les espaces E E, E E, et E E, mais les notations dans ce cas deviennent vite loudes. O dans la plupat des applications, l espace vectoiel E est pé-euclidien, de sote que l on identifie E et E. Il s en suit que l on peut identifie T et ses équivalents. Dans la suite, nous nous limiteons au cas d un espace vectoiel pé-euclidien E. Les tenseus affines définis dans des espaces vectoiels issus de poduits tensoiels (successifs ou non) ente un espace vectoiel pé-euclidien E et son dual (identifié à E) sont appelés tenseus pé-euclidiens. En notant a j les vecteus de la base duale des a i, on peut alos écie : T E E, T = T ij a i a j = T ij a i a j = T j i ai a j = T i j a i a j (2.1) Ceci pemet de défini l ode d un tenseu (nombe d indices su les composantes), ainsi que le type de ses composantes (voi paagaphe suivant).

12 14 Calcul tensoiel 2.2. Composantes d un tenseu Nous avons vu que les composantes d un vecteu u de E expimées pa appot à deux systèmes de vecteus de base a i (de dual a j ) et b i (de dual b j ) se déduisaient les unes des autes pa des combinaisons linéaies faisant inteveni une matice ou son invese suivant leu caactèe covaiant ou contavaiant. D une façon plus généale, on peut défini des tenseus d ode quelconque qui se tansfoment de façon mixte (covaiante et contavaiante). Pa exemple, Xij klm et sont les composantes tois fois contavaiantes et deux fois covaiantes d un même tenseu T d ode 5, expimées Y klm ij espectivement pa appot aux vecteus de base a i et b i. Ces composantes espectent donc la elation suivante : T = Xij klm a i a j a k a l a m = Yij klm b i b j b k b l b m (2.2) et se déduisent les unes des autes sous la fome : Y st pq = A i pa j qb kb s l B t mx klm ij (2.3) Un tenseu d ode zéo est un scalaie invaiant pa changement de système de coodonnées. Un tenseu est dit symétique pa appot à deux indices covaiants ou deux indices contavaiants si ses composantes estent inchangées dans une pemutation des deux indices. Il sea dit antisymétique pa appot à ces indices si ses composantes changent de signe dans une pemutation. Le tenseu métique pemet de elie ente elles les difféentes composantes d un tenseu. En effet,la multiplication pa g ij peut ête intepétée de la façon suivante : pose i = j (ou j = i) dans tout ce qui suit et éleve l indice. De même nous pouvons donne à la multiplication pa g ij la signification suivante : pose i = j (ou j = i) dans tout ce qui suit et abaisse l indice. Pa exemple, les composantes covaiantes du tenseu Y de l équation pécédente sont obtenues sous la fome : Y pqst = g i g sj g tk Y ijk pq (2.4) Il existe enfin pou les tenseus un aute type de composantes, lagement utilisé en physique, dans les espaces euclidiens. Ces composantes sont d ailleus appelées "composantes physiques". Ce sont les pojections du tenseu su les vecteus de base de l espace. Nous avons donc pou un vecteu u les composantes physiques u I suivantes, en fonction de ses composantes covaiantes et contavaiantes, et de la métique : a i u I = u. a i = u i = g iju j (2.5) gii gii De même, pou un tenseu A d ode 2, les composantes physiques A IJ s obtiennent de la façon suivante : A IJ = A : a i a j a i a j = A ij = g ikg jl A kl (2.6) gii g jj gii g jj Dans le cas d une base othogonale, les composantes de la métiques foment une matice diagonale, ce qui pemet de simplifie les elations pécédentes. Dans un système othonomé, les composantes du tenseu métique coïncident toutes avec la matice identité. Il s en suit que tous les types de composantes d un tenseu sont identiques. Dans ce cas, les indices sont tous placés "en bas" en ne considéant que les composantes covaiantes des tenseus. En calcul maticiel, ceci est couamment utilisé. La convention de sommation d Einstein est alos étendue aux indices épétés en même position (et non en haut et en bas comme c est nomalement le cas).

13 Algèbe tensoielle Opéations su les tenseus Considéons deux tenseus X et Y du même ode. Alos, leu somme Z sea un tenseu du même ode dont les composantes sont la somme des composantes coespondantes de X et Y. Toutefois, il convient de somme les composantes de même type uniquement. De même, la soustaction de deux tenseus X et Y donne un tenseu dont les composantes sont obtenues en soustayant celles de X et Y. Le poduit de deux tenseus X et Y se fait également en multipliant les composantes. Pa conte, dans ce cas, le tenseu Z = X Y obtenu a un ode égal à la somme des odes de X et Y. De plus, le poduit de composantes de types difféents peut ête éalisé. Notons enfin que l on ne peut pas écie n impote quel tenseu comme le poduit de deux tenseus d odes inféieus. Pou cette aison, la division des tenseus n est pas toujous possible. Si on pose l égalité ente un indice contavaiant et un indice covaiant des composantes d un même tenseu, le ésultat indique qu on doit faie une sommation su les indices égaux d apès la convention d Einstein. La somme ésultante est la composante d un tenseu d ode N 2 où N est l ode du tenseu initial. Le pocédé s appelle une contaction. Pa exemple, dans un tenseu X d ode 5, si on applique une contaction à ses composantes Xij klm en posant m = j, on obtient les composantes Yi kl d un nouveau tenseu Y d ode 3. De plus, en posant l = i, on obtient les composantes contavaiantes Z k d un tenseu Z d ode 1. Pa un poduit tensoiel de deux tenseus suivi d une contaction, on obtient un nouveau tenseu appelé poduit contacté des tenseus donnés. Pa exemple, le poduit d un tenseu X d ode 3 et d un tenseu Y d ode 2 founit un tenseu d ode 5. En effectuant une contaction d indice, on obtient un tenseu Z d ode 3 dont les composantes sont Zk il = Xij k Y j l. Un exemple couant de poduit contacté est le poduit maticiel. Ainsi, le poduit de deux matices (d ode 2) donne pa contaction une nouvelle matice (d ode 2x2-2=2). Pafois, on utilise un poduit "doublement contacté" de deux tenseus. Il y a alos sommation su deux indices, et l ode du tenseu final est diminué de 4. C est le cas pa exemple de l énegie de défomation élastique (scalaie ou tenseu d ode 0), issue du poduit doublement contacté ente les tenseus de containtes (ode 2) et de défomations (ode 2). Notons enfin qu il existe un citèe, dit "citèe de tensoialité", pou véifie si une quantité est un tenseu. Si le poduit contacté de cette quantité avec un tenseu donne un tenseu, alos cette quantité est elle-même un tenseu. Ce citèe est également appelé "loi du quotient" en anglais Notions d algèbe extéieue Nous nous intéessons ici aux tenseus d ode p N (où N est la dimension de E) complètement antisymétiques. Soit T un tel tenseu, alos ses composantes covaiantes T i1i 2...i p changent de signe dès que l on pemute deux indices. On montent alos qu il en est de même pou tous ses types de composantes. Si E (p) est l ensemble des tenseus complètement antisymétiques d ode p N, alos E (p) est un sous-espace vectoiel de celui des tenseus d ode p su E. Soit T un élément de E (p). On définit ses composantes "stictes" T α1α 2...α p telles que 1 α 1 < α 2 <... < α p N. On a alos : T i1i 2...i p = δ α1α2...αp i 1i 2...i p T α1α 2...α p (2.7) où le teme δ j1j2...jp i 1i 2...i p est une généalisation du symbole de Koenecke δ j i qui vaut ( 1)q si les deux suites i 1 i 2... i p et j 1 j 2... j p se déduisent l une de l aute pa q pemutations d indices, et 0 sinon. Ainsi, tous les types de composantes de T se déduisent de ses composantes stictes, qui sont au nombe de Cn. p Pa exemple, pou N = 3, les tenseus d ode 2 complètement antisymétiques ont C3 2 = 3 composantes stictes (T 12, T 23, T 13 ). On econnaît ici les temes indépendants des matices 3x3 antisymétiques.

14 16 Calcul tensoiel On peut maintenant défini le "poduit extéieu" ente p éléments de E (u 1, u 2,..., u p ), qui est une généalisation du poduit vectoiel classique, sous la fome du tenseu suivant : u 1 u 2... u p = δ i1i2...ip 12...p u i1 u i2... u ip (2.8) Si on note a j les vecteus de base de E, et x j i les composantes contavaiantes de u i su cette base (u i = x j i a j), alos le poduit extéieu s écit : u 1 u 2... u p = x j1 i 1 x j2 i 2... x jp i p δ i1i2...ip 12...p a j1 a j2... a jp = x j1 1 xj (2.9) xjp p a j1 a j2... a jp On monte ainsi que les C p n tenseus a α1 a α2... a αp foment une base de l espace vectoiel E (p) des tenseus complètement antisymétiques d ode p. Ceci pemet de donne la dimension de cet espace, et d expime tout tenseu T sous la fome : T = T α1α2...αp a α1 a α2... a αp = T α1α 2...α p a α1 a α2... a αp (2.10) Los d un changement de base dans E (passage des a i aux b j avec b j = B i j a i et a i = A j i b j), on constate que les composantes stictes X α1α2...αp et Y β1β2...βp d un même tenseu T de E (p) dans les deux bases issues de celles de E sont eliées de la façon suivante : T = X α1α2...αp a α1 a α2... a αp = Y β1β2...βp b β1 b β2... b βp (2.11) avec : X α1α2...αp = δ α1α2...αp j 1j 2...j p B j1 β 1 B j2 β 2... B jp β p Y β1β2...βp (2.12)

15 Chapite 3 Géométie difféentielle 3.1. Repèe natuel Nous nous plaçons ici dans un espace ponctuel (affine) euclidien E 0, dont l espace vectoiel associé E est de dimension N, muni d un epèe (R) d oigine O et d un système de coodonnées cuvilignes (x i ). Ce système de coodonnées est caactéisé pa N fonctions plusieus fois continuement difféentiables eliant les coodonnées cuvilignes x i d un point M à ses coodonnées X i dans le epèe (R). De plus, nous supposeons qu il existe autou du point M une elation bi-univoque ente les x i et les X i. Les coodonnées cuvilignes les plus utilisées en dimension 3 sont les coodonnées cylindiques (, θ, z) et les coodonnées sphéiques (, θ, φ). En un point M de coodonnées cuvilignes x i, on définit un epèe natuel de la façon suivante. L oigine du epèe est fixée en M, et les vecteus de base a i sont définis pa : dom = a i dx i soit a i = OM x i (3.1) Figue 3.1. Repèe natuel en un point de l espace Ce epèe natuel est donc tangent aux lignes de coodonnées (figue 3.1). L équation pécédente monte que les dx i sont les composantes contavaiantes de dom (vecteu de E) dans le epèe natuel. Il est donc possible de défini le tenseu métique (souvent appelé "métique") de cet espace. Les composantes covaiantes de ce tenseu sont issues du epèe natuel (g ij = a i.a j ). Ce tenseu dépend du point M, oigine du epèe natuel, et donc de la position à laquelle on se touve dans l espace E 0. Supposons maintenant que l on définisse un nouveau système de coodonnées cuvilignes (y i ). Au point M, un nouveau epèe natuel sea constitué du point M et de vecteus de base b i. D apès la fomule de déivation des fonctions composées, on peut écie :

16 18 Calcul tensoiel { a i = OM x i b j = OM y j = OM y j = OM x i y j x i x i y j = yj x i b j = A j i b j avec A j i = yj x i = xi y j a i = B i j a i avec B i j = xi y j (3.2) Cette équation monte qu un changement de coodonnées cuvilignes est caactéisé pa un changement de epèe natuel. Les composantes d un tenseu T changeont donc losque, en un point M fixé, on changea de système de coodonnées. Pou obteni les nouvelles composantes de T dans le epèe natuel défini pa les b i, on utilisea donc les elations de changement de base vues pécédemment. Les composantes d un tenseu T pouont également change losque l on déplacea le point M, tout en gadant le même système de coodonnées, puisque le epèe natuel change. On pale alos de "champs de tenseus" Symboles de chistoffel Nous avons vu que, en chaque point M de l espace E 0, on pouvait caactéise la métique de cet espace pa un tenseu de composantes covaiantes g ij. Ainsi, si l on se déplace de quantités dx i dans le epèe natuel des a i, l élément de longueu engendé ds est obtenu pa le poduit scalaie, dans E, du vecteu dx de composantes dx i avec lui-même. On obtient alos : ds 2 = dx.dx = g ij dx i dx j (3.3) Le poblème fondamental en géométie difféentielle éside dans le fait que le epèe natuel, et donc la métique, dépend du point M de l espace. Il s en suit que deux tenseus définis pa leus composantes pa appot à deux epèes difféents (ou en deux points distincts de l espace) ne pouont ête compaés que si l on connaît le lien ente ces deux epèes. L objectif des symboles de Chistoffel est de éalise le lien ente deux epèes natuels infiniment voisins a i et a i + da i. Losque l on déplace l oigine M du epèe natuel d une quantité dx, les vecteus de base a i de ce epèe se modifient d une quantité da i. En notant dans le epèe natuel initial dx i et dx i les composantes de dx (dx = dx i a i, dx i = dx.a i ) et dω j i et dω ij celles de da i (da i = dω j i a j, dω ij = da i.a j ), les symboles de Chistoffel elient ces quantités sous la fome : { dωkj = Γ ikj dx i dω k j = Γk ij dxi (3.4) Les fonctions Γ ikj et Γ k ij sont appelés symboles de Chistoffel espectivement de pemièe et de deuxième espèce. Il s agit de N 3 fonctions eliées ente elles sous la fome Γ ikj = g kl Γ l ij et Γk ij = gkl Γ ilj. Pou obteni ces N 3 fonctions, on difféencie les composantes covaiantes de la métique pou obteni : { dgjk = g jk x i dx i dg jk = da k.a j + da j.a k = (Γ ikj + Γ ijk )dx i g jk x i = Γ ikj + Γ ijk (3.5) On peut enfin intepéte les symboles de Chistoffel de seconde espèce comme les composantes dans le epèe natuel des déivées patielles secondes du vecteu position OM : da i = dω j i a j = Γ j ki dxk a j = (Γ j ki a j)dx k Γ j ki a j = a i x k = 2 OM x k x i (3.6)

17 Géométie difféentielle 19 La symétie des déivées secondes coisées du vecteu OM (qui sea discutée los de la définition du tenseu de tosion) implique les elations de symétie Γ ikj = Γ jki et Γ l ij = Γl ji, qui pemettent d écie pa pemutation ciculaie des indices les elations suivantes : Γ kij + Γ ikj = g jk x i Γ ikj + Γ jik = g ki x j Γ jik + Γ kji = gij x k (3.7) En effectuant dans l équation pécédente la somme des deux pemièes elations moins la denièe, on obtient la définition des temes Γ ikj. On peut finalement écie l expession des symboles de Chistoffel de pemièe et de seconde espèce sous la fome : { Γikj = 1 2 ( g ik x j Γ k ij = gkl Γ ilj + g jk x i gij x k ) (3.8) On emaque su les équations pécédentes que les symboles de Chistoffel peuvent ête expimés diectement en fonction des vaiations des composantes du tenseu métique le long des lignes de coodonnées Difféentielle absolue, déivée covaiante Considéons un vecteu quelconque u défini pa ses composantes contavaiantes u i dans le epèe natuel des a i au point M. Losque l on va se déplace d un quantité infinitésimale su le système de coodonnées cuvilignes, les composantes de u vont ête modifiées d une quantité du i, mais comme le epèe natuel change également, un teme (souvent appelé "convectif") va veni s ajoute à cette vaiation pou obteni : du = du j a j + u j da j (3.9) Le denie teme de cette équation est appelé "convectif". Il est dû à la vaiation du epèe natuel au cous du déplacement dans l espace. Il est illusté su la figue 3.2, où un vecteu u est simplement tanspoté dans le système de coodonnées. On n a donc pas de vaiation de ses coodonnées dans le epèe initial (du i = 0), mais ses nouvelles composantes (dans le nouveau epèe natuel) sont tout de même modifiées. Figue 3.2. Tanspot d un vecteu en coodonnées cuvilignes En utilisant les définitions pécédentes, les composantes contavaiantes du vecteu du peuvent ête écites sous la fome :

18 20 Calcul tensoiel du = ( u k )a k avec u k = du k + u j dω k j (3.10) On donne à u k le nom de "difféentielle absolue" de u k. Il s agit des composantes contavaiantes du tenseu du, ce qui n est pas le cas pou les temes du k. Pa abus de language, on dit souvent que du est la difféentielle absolue de u. En intoduisant maintenant les déivées patielles pa appot aux coodonnées cuvilignes x i, on peut écie : u k = u k,idx i avec u k,i = uk x i + Γk iju j (3.11) Les temes u k,i sont les composantes mixte d un tenseu appelé "déivée covaiante" de u. Si u avait été donné pa ses composantes covaiantes u k, alos le même aisonnement nous auait conduit à défini la déivée covaiante de u pa appot à ses composantes covaiantes. On peut ésume ces ésultats pa les fomules suivantes : u k,i = uk x + Γ k i ij uj u k,i = u k x Γ j i ki u j (3.12) D une façon plus généale, on définit la déivée covaiante d un tenseu d ode quelconque T pa celles de ses composantes. Pa exemple, si T est d ode 5, sa déivée covaiante sea d ode 6. Ses composantes mixtes (4 fois covaiantes et 2 fois contavaiantes) seont données pa : Tijk,l mn = T mn ijk x l Γ il T jk mn Γ jl T ik mn Γ kl T ij mn +Γ m l T ijk n + Γn l T ijk m (3.13) En applicant pa exemple ces fomules au tenseu métique, et en utilisant les elations pécédentes, on obtient : g ij,k = g ij x k Γl ikg lj Γ l kjg li = g ij x k (Γ jik + Γ kji ) = 0 (3.14) La difféentielle absolue du tenseu métique est donc nulle. Ce ésultat est connu sous la nom de "théoème de Ricci" Les tenseus de coubue et de tosion La déivée covaiante peut ête calculée su tout tenseu, et donc en paticulie su des tenseus eux-même déivée covaiante. En utilisant les elations pécédentes, on peut elie la difféence ente les déivées covaiantes secondes coisées d un vecteu à ce vecteu sous la fome : u j,kl u j,lk = R n jklu n avec R n jkl = Γ m jl Γ n mk Γ m jkγ n ml + Γn jl x k Γn jk x l (3.15) Les temes Rjkl n sont les composantes d un tenseu. En effet, d apès cette équation, leu poduit contacté avec un tenseu d ode 1 donne une difféence de tenseus, et donc un tenseu. Le tenseu R ainsi obtenu est d ode 4. Il est appelé "tenseu de Riemann-Chistoffel" ou "tenseu de coubue". Ses composantes covaiantes sont R ijkl = g in Rjkl n. On monte qu elles sont :

19 Géométie difféentielle 21 antisymétiques en (k, l) : R ijkl = R ijlk antisymétiques en (i, j) : R ijkl = R jikl symetiques en (i, j),(k, l) : R ijkl = R klij Pa exemple, en dimension 2, ce tenseu ne possède qu une seule composante non nulle : R De plus, les popiétés peécédentes montent que l on peut caactéise ce tenseu à l aide des seules composantes R jk = g il R ijkl, qui foment un tenseu symétique d ode 2 appelé "tenseu de Ricci". Enfin, la tace de ce tenseu est appelée "coubue scalaie". Dans un espace euclidien, le tenseu de Riemann-Chistoffel est nul. En effet, dans ce type d espace, le changement de epèe natuel ne dépend pas du chemin suivi. Ceci signifie que, si en chaque point d un espace une métique (c est à die des composantes g ij ) peut ête choisie de façon abitaie, celle-ci ne coesponda pas focément à celle d un espace euclidien. Pou cela, il fauda qu elle annule le tenseu de Riemann-Chistoffel. On peut maintenant se pose la question : si le tenseu de Riemann-Chistoffel est nul, l espace est-il euclidien? En fait, l espace n est alos que "localement" euclidien, puisque ce tenseu n est défini qu autou d un point M de l espace. Plus généalement, si ce tenseu n est pas nul, alos l espace est dit "localement" non-euclidien. Nous entons alos dans le domaine de la géométie iemannienne (espaces de Riemann), géométie pa exemple lagement utilisée en cosmologie [HEI 73]. Les symboles de Chistoffel ont été définis comme des fonctions Γ ikj et Γ k ij. Toutefois, ces fonctions ne sont pas les composantes d un tenseu. Considéons en effet deux epèes natuels en un point M de l espace, avec des vecteus de base a i et b i tels que b i = B j i a j et a i = A j i b j. On monte alos facilement que : { dbi = Ω j i b j da i = ω j i a j Ω j i = Bk i A j l ωl k + db k i A j k (3.16) En notant maintenant x i les coodonnées cuvilignes associées aux a i, et y i celles associées aux b i, et Γ k ij et Πk ij les symboles de Chistoffel associés espectivement à ces deux systèmes de coodonnées, on obtient la elation suivante de tansfomation des symboles de Chistoffel pa changement de coodonnées : Π k ij = A l ia m j BnΓ k n lm + Bn k 2 x n y i y j (3.17) Le denie teme de cette équation monte que les symboles de Chistoffel n ont pas de caactèe tensoiel. Pa conte, ce denie teme est symétique en (i, j). Il s en suit que les temes : τ k ij = Γ k ij Γ k ji (3.18) foment les composantes d un tenseu T du toisième ode, antisymétique en (i, j), appelé "tenseu de tosion" ou "tenseu de Catan". Ce tenseu est pa exemple utilisé dans la desciption des défauts linéaies (dislocations) dans les cistaux [FOR 96]. Nous avions pécédemment elié les symboles de Chistoffel aux déivées secondes du vecteu position OM. Il appaaît que la nullité du tenseu de tosion equivaut à la pemutabilité des déivées patielles de fonctions vectoielles (telles que le vecteu position). Elle conduit à la symétie des symboles de Chistoffel, et à leu expession explicite en fonction des vaiations de la métique le long des lignes de coodonnées.

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21 Chapite 4 Expession de quelques opéateus 4.1. Accéléation d un point Nous considéons ici un point M de l espace dont la tajectoie est paamétée pa t (que nous intepèteons comme le temps). Cette tajectoie est donc donnée pa l évolution au cous du temps des coodonnées du point M, que nous noteons u i (t). La vitesse instantanée du point sea un vecteu v, de composantes contavaiantes v i = dui dt. L accéléation instantanée γ du point M sea également un vecteu, obtenu comme la déivée du vecteu vitesse, soit γ = dv dt. Comme le vecteu dv a pou composantes contavaiantes les difféencielles absolues des v i, alos le vecteu accéléation aua comme composantes contavaiantes : γ i = vi dt = dvi dt + Γi klv l duk dt = d2 u i dt 2 + du k du l Γi kl dt dt (4.1) Considéons maintenant les tajectoies des point M d accéléation nulle. Ces tajectoies sont communément appelées des "doites". En fait, les tajectoies d accéléation nulle sont données d une façon généale pa le système d équations difféentielles suivant, issu de l équation pécédente : i = 1,..., N, d2 u i dt 2 + du k du l Γi kl dt dt = 0 (4.2) Elles sont appelées "géodésiques". Dans un espace dont la métique est constante, c est-à-die ne dépend pas du point M considéé, alos les symboles de Chistoffel sont pa définition nuls, est on etombe su l équation d une doite. Notons enfin que la distance d qui sépae deux points situés su une coube paamétée x i = x i (t), aux abscisses t 1 et t 2, est donnée pa : d = t2 t 1 g ij du i dt du j dt dt (4.3) On monte que les géodésiques endent extémale cette distance (minimum ou maximum). Pa exemple, la suface d une sphèe peut ête considéée comme un espace de dimension 2, dans lequel on peut défini un système de coodonnées cuvilignes (lattitude et longitude), et dans lequel les gands cecles joignent deux point avec une distance minimum ou maximum. Ces gands cecles sont des coubes paamétées qui satisfont le système d équations difféentielles pécédent. Ce sont les géodésiques de cet espace.

22 24 Calcul tensoiel 4.2. Gadient Le gadient d un tenseu T est à son tou un tenseu, dont les composantes sont obtenues comme la déivée covaiante des composantes de T. Le gadient d un tenseu d ode N est donc un tenseu d ode N + 1. Si f est un scalaie (tenseu d ode 0, invaiant pa changement de epèe), le gadient de f est un tenseu d ode 1 (un vecteu) dont les composantes covaiantes sont définies pa f,i = f x. Si u est un vecteu (tenseu d ode 1), le gadient de u est un i tenseu d ode 2, dont les composantes covaiantes et mixtes sont : u i,j = u i x j Γk iju k et u i,j = ui x j + Γi jku k (4.4) Le gadient est lagement pésent dans les disciplines scientifiques. Il set pa exemple à défini les défomations en mécanique, et les foces motices en themique (gadient themique) et en chimie minéale (gadients de potentiels chimiques ou d activité). En coodonnées othonomées (x, y, z), on obtient pa exemple : gad(f) = f x f y f (4.5) gad(u) = u x x u y x u z x u x y u y y u z y u x u y u z (4.6) 4.3. Divegence La divegence d un tenseu T est à son tou un tenseu, dont les composantes sont obtenues pa contaction de sa déivée covaiante (son gadient) pa appot à son denie indice contavaiant. La divegence d un tenseu d ode N est donc un tenseu d ode N 1. La divegence d un vecteu u est donc le scalaie u i,i, tandis que celle d un tenseu A d ode 2 est un vecteu dont les composantes contavaientes sont A ij,j. L expession généale de la divegence d un tenseu d ode 2 peut ête simplifiée en utilisant le théoème de Ricci. La divegence est lagement pésente dans les équations d équilibe en mécanique, ainsi que dans les équations de consevation en themique et en tansfet de masse. Elle est pincipalement appliqué su des tenseus d ode 1 et 2. En coodonnées othonomées (x, y, z), on obtient : div(u) = u x x + u y y + u z (4.7) div(a) = A xx x A yx x A zx x + Axy y + Ayy y + Azy y + Axz + Ayz + Azz (4.8)

23 Expession de quelques opéateus Rotationel Le otationel appliqué su un vecteu u (tenseu d ode 1) est un tenseu d ode 2 dont les composantes covaiantes sont u i,j u j,i. Du fait de la symétie des symboles de Chistoffel de seconde espèce su les indices covaiants, les composantes covaiantes du otationel d un vecteu s écivent simplement ui x uj j x. Le otationel d un vecteu est i un tenseu anti-symétie. Il est pésent dans les équations de Maxwell en électomagnétisme. Il peut ête écit sous la fome : Rot(u) = 0 R 3 R 2 R 3 0 R 1 R 2 R 1 0 (4.9) où R 1, R 2 et R 3 sont les composantes d un "vecteu otation". En coodonnées othonomées (x, y, z), on obtient : R x = uz y R y = ux R z = uy x uy uz x ux y (4.10) 4.5. Laplacien Le laplacien est la divegence du gadient. Il est souvent noté. Cet opéateu conseve donc l ode d un tenseu. Appliqué su une fonction scalaie f, on obtient le scalaie (f) = (g ij f,i ),i = g ij f,ji. Appliqué su un vecteu u, on obtient un tenseu d ode 1 dont les composantes covaiantes sont g kj u i,jk. Le laplacien est lagement utilisé dans les équations d équilibe ou de bilan, losque le compotement du matéiau est linéaie. En coodonnées othonomées (x, y, z), on obtient : (f) = 2 f x f y f 2 (4.11) (u) = 2 u x x 2 2 u y x 2 2 u z x u x y u y y u z y u x u y u z 2 (4.12)

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25 Annexe A Coodonnées cylindiques Figue A.1. Système de coodonnées cylindiques Le système de coodonnées cylindiques est un système paticulie de coodonnées cuvilignes défini de la façon suivante (figue A.1). Soit un espace vectoiel E de dimension 3 su le cops des éels, muni d un système de coodonnées othonomées (x i ) dans un epèe (e i ). Soit u un vecteu de E joignant les points O et M. Le système de coodonnées cylindiques (, θ, z) est généé pa un epèe natuel (a i ) tel que, au voisinage du point M : du = dx 1 e 1 + dx 2 e 2 + dx 3 e 3 = da 1 + dθa 2 + dza 3 (A.1) avec la elation suivante ente les coodonnées : x 1 = cosθ x 2 = sinθ x 3 = z (A.2) Les vecteus a i ont donc comme composantes dans le epèe othonomé : a 1 = cosθ sinθ 0, a 2 = sinθ cosθ 0, a 3 = (A.3) ce qui donne pou la métique :

26 28 Calcul tensoiel g ij = , g ij = , (A.4) Les composantes physiques d un vecteu u sont donc : u = u 1 = u 1 u θ = u2 = u2 u z = u 3 = u 3 (A.5) tandis que celles d un tenseu du second ode A seont : A = A 11 = A 11 A θ = A12 = A 12 A z = A 13 = A 13 A θ = A21 = A 21 A θθ = A22 = 2 A 22 A 2 θz = A23 = A 23 A z = A 31 = A 31 A zθ = A32 = A 32 A zz = A 33 = A 33 (A.6) Les symboles de Chistoffel de pemièe espèce sont obtenus à l aide de leu définition et de la métique définie pécédemment sous la fome : Γ i1j = et Γ 1 ij = (A.7) Γ i2j = et Γ 2 ij = (A.8) Γ i3j = et Γ 3 ij = (A.9) L ensemble de ces équations pemet de etouve l expession des opéateus physiques en coodonnées cyclindiques. On touve pa exemple les composantes physiques suivantes : le gadient d un scalaie f : gad(f) = f 1 f f θ le gadient d un vecteu u : (A.10) gad(u) = u u θ u z 1 ( u 1 ( u θ 1 u z θ θ u θ) θ + u ) u u θ u z (A.11)

27 Coodonnées cylindiques 29 la divegence d un vecteu u : div(u) = u + u + 1 u θ θ + u z la divegence d un tenseu A du second ode symétique : div(a) = A + 1 A θ θ + Az + A A θθ A θ + 1 A θθ θ + A θz + A θ+a θ A z + 1 A zθ θ + Azz + Az les composantes du "vecteu otation" associé au otationel d un vecteu u : R = 1 R θ = u R z = u θ u z θ u θ uz 1 u θ + u θ le laplacien d un scalaie f : (A.12) (A.13) (A.14) (f) = 2 f f 2 θ f f (A.15)

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29 Annexe B Coodonnées sphéiques Figue B.1. Système de coodonnées sphéiques Le système de coodonnées sphéiques est un système paticulie de coodonnées cuvilignes défini de la façon suivante (figue B.1). Soit un espace vectoiel E de dimension 3 su le cops des éels, muni d un système de coodonnées othonomées (x i ) dans un epèe (e i ). Soit u un vecteu de E joignant les points O et M. Le système de coodonnées sphéiques (, θ, φ) est généé pa un epèe natuel (a i ) tel que, au voisinage du point M : du = dx 1 e 1 + dx 2 e 2 + dx 3 e 3 = da 1 + dθa 2 + dφa 3 (B.1) avec des coodonnées liées ente elles sous la fome : x 1 = sinθcosφ x 2 = sinθsinφ x 3 = cosθ (B.2) Les vecteus a i ont donc comme composantes : a 1 = sinθcosφ sinθsinφ cosθ, a 2 = cosθcosφ cosθsinφ sinθ, a 3 = sinθsinφ sinθsinφ 0 (B.3) ce qui donne pou la métique :

30 32 Calcul tensoiel g ij = , g ij = sin θ sin 2 θ, (B.4) Les composantes physiques d un vecteu u sont donc : u = u 1 = u 1 u θ = u2 = u2 u φ = u3 sinθ = sinθu3 (B.5) tandis que celles d un tenseu du second ode A seont : A = A 11 A θ = A12 A φ = A13 sinθ A θ = A21 A θθ = A22 A 2 θφ = A23 2 sinθ A φ = A31 sinθ A φθ = A32 2 sinθ A φφ = A33 2 sin 2 θ (B.6) ou : A = A 11 A θ = A 12 A φ = sinθa 13 A θ = A 21 A θθ = 2 A 22 A θφ = 2 sinθa 23 A φ = sinθa 31 A φθ = 2 sinθa 32 A φφ = 2 sin 2 θa 33 (B.7) Les symboles de Chistoffel de pemièe espèce sont obtenus à l aide de leu définition et de la métique définie pécédemment : Γ i1j = sin 2 θ et Γ 1 ij = sin 2 θ (B.8) Γ i2j = sin(2θ) et Γ 2 ij = sin(2θ) (B.9) Γ i3j = 0 0 sin 2 θ sin(2θ) sin 2 θ 2 2 sin(2θ) 0 et Γ 3 ij = cosθ sinθ cosθ sinθ 0 (B.10) Ces équations pemettent de etouve les opéateus difféentiels classiques en coodonnées sphéiques. On touve pa exemple les composantes physiques des tenseus suivants :

31 Coodonnées sphéiques 33 le gadient d un scalaie f : gad(f) = f 1 f θ 1 sinθ f φ (B.11) le gadient d un vecteu u : gad(u) = u u θ u φ 1 u θ 1 u θ θ 1 u φ θ u θ 1 + u u sinθ φ 1 u θ sinθ φ 1 u φ sinθ φ u φ cosθ sinθ u φ + u + cosθ sinθ u θ (B.12) la divegence d un vecteu u : div(u) = u + 2u + 1 u θ θ + 1 u φ sinθ φ + cosθ sinθ u θ (B.13) la divegence d un tenseu A symétique d ode 2 : div(a) = A + 1 A θ θ + 1 A φ sinθ φ A θ + 1 A θθ θ + 1 A θφ sinθ φ A φ + 1 A φθ θ + 1 A φφ sinθ φ + 2A A θθ A φφ + 3A θ + cosθ + 3A φ + cosθ sinθ A θ sinθ (A θθ A φφ ) + 2 cosθ sinθ A θφ (B.14) le "vecteu otation" associé au otationel d un vecteu u : R = 1 R θ = 1 sinθ R φ = u θ u φ θ 1 u θ sinθ φ u φ u φ u φ + u θ 1 u θ le laplacien d un scalaie f : + cosθ sinθ u φ (B.15) (f) = 2 f f 2 θ f 2 sin 2 θ φ f + cosθ f 2 sinθ θ (B.16)

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33 Bibliogaphie [FOR 96] FOREST S., Modèles mécaniques de la défomation hétéogène des monocistaux, Thèse de Doctoat, Ecole des Mines de Pais, [HEI 73] HEIDMANN J., Intoduction à la cosmologie, PUF, [HIL 78] HILL R., «Aspects of invaiance in solid mechanics», Advances in applied mechanics, vol. 18, Academic Pess, p. 1 75, [LIC 87] LICHNEROWICZ A., Eléments de calcul tensoiel, Jacques Gabay, 1987, éimpession de Amand Colin (1946). [MUR 73] MURRAY, SPIEGEL R., Analyse vectoielle : cous et poblemes, McGaw-Hill Inc, New-Yok, 1973, taduit de theoy and poblems of vecto analysis. [RIE 85] RIEU-BÉTRÉMA C., Elements de calcul tensoiel, cous ENSM-SE, 1985.