Exercice 2 (contrôle 2015/2016) Exercice 3 (contrôle 2015/2016) Exercice 4 (contrôle 2014/2015) Soit A, B et C les points d'affixes z

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1 Exercce 1 ( devor mason 015/01) 1) Montrer que (1 + ) = 8 ) On consdère l équaton (E): = 8 a) Dédure de la queston 1) une soluton notée t de l équaton (E). b) On pose j = e Démontrer que jt et j t sont auss solutons de (E) ) On consdère dans un repère orthonormé (O ; u ; v ) les ponts, et C d affxes respectves t, jt et j t. a) Montrer que, et C appartennent à un même cercle dont on détermnera le centre et le rayon. b) Montrer que C est un trangle équlatéral. c) Fare une fgure (unté = cm) et placer les ponts, et C. Exercce (contrôle 015/01) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; Sot le pont d affxe et le pont d affxe Montrer que O est un trangle équlatéral. Exercce (contrôle 015/01) u ; v ). Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u ; v ). On appelle et les ponts du plan d affxes respectves a = 1 et b = 1. On consdère l applcaton f qu, à tout pont M dfférent du pont, d affxe, fat correspondre le pont M d affxe défne par : = ) Sot P le pont d affxe p = + a) Détermner la forme exponentelle de (p + 1). b) En dédure que P appartent au cercle c de centre et de rayon. 5 e ) a) Sot P l mage du pont P par la foncton f. Calculer l affxe de P (notée p ). b) Sot Q le pont d affxe q = p où p est le conjugué de p. Ecrre q sous forme algébrque. c) Montrer que les ponts, P et Q sont algnés. ) a) Montrer que pour tout nombre complexe dfférent de 1, ( 1)( + 1) = b) En dédure une relaton entre ' 1 et + 1 c) Montrer alors que s M appartent au cercle c de centre et de rayon, alors M appartent à un cercle dont on précsera le centre et le rayon. Exercce 4 (contrôle 014/015) Sot, et C les ponts d'affxes =, = 1 + et C = 1) Ecrre, et C sous forme exponentelle. ) Démontrer que OC est un losange.

2 Exercce 5 (bac blanc 014/015). Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal ( O; u; v) On consdère l'applcaton f qu, à tout pont M d'affxe non nulle assoce le pont M ' f ( M ) ' tel que ' = ( ) = d'affxe Le cercle c 1 de centre O et de rayon 1 est représenté sur la fgure donnée en annexe (vor page suvante). On complétera cette fgure au fur et à mesure des questons. Pour complexe non nul, on note = re α, r étant le module de et α un argument de. ' = r e α. 1) Montrer que ( ) ) Détermner l'affxe a ' du pont ', mage par f du pont d'affxe a =. ) Sot le pont d'affxe b = +. a) Ecrre b sous forme exponentelle. b) Détermner l'affxe b ' du pont ', mage du pont par f. 4) Placer,, ' et ' sur la fgure. 5) a) Détermner l'ensemble e des ponts M du plan prvé du pont O dont l'mage par f est O. b) Représenter e sur la fgure. ) Montrer que le cercle c 1 est l'ensemble des ponts M du plan dstncts de O tels que f ( M ) 7) Pour cette queston, M est un pont du plan, dstnct de O, n'appartenant pas au cercle c 1. MM ' où M ' est l'mage de M par f. On appelle I le mleu du segment [ ] a) Montrer que I appartent à c 1. b) Montrer que I appartent à la dem-drote [ OM ). c) Sur la fgure donnée en annexe est placé un pont nommé M 1. Construre le pont M ', mage par f du pont 1 M 1. Exercce (bac blanc 015/01) = M. On se place dans le plan complexe mun d'un repère orthonormal (O ; u ; v ). On appelle le pont d'affxe 1. On consdère la transformaton du plan f qu, à tout pont M d'affxe assoce le pont M' d'affxe ' défne par ' = + 1 1) Détermner les antécédents du pont O. ) Exste-t-l des ponts nvarants par f? S ou, précser leurs affxes respectves. ( On rappelle qu'un pont nvarant est un pont confondu avec son mage) ) Montrer que deux ponts symétrques par rapport à O ont la même mage. Que peut-on dre des mages de deux ponts symétrques par rapport à l'axe des abscsses? 4) Sot le pont d'affxe = ( 1 + ). a) Ecrre sous forme exponentelle. b) En dédure que appartent au cercle de centre O et de rayon 1. c) Détermner l'affxe du pont ' mage de par f d) Montrer que ' appartent au cercle de centre et de rayon 1. e) Montrer que les ponts O, et ' sont algnés. 5) Sot θ un nombre réel appartenant à l'ntervalle [0; [ et M le pont d'affxe e θ. a) Montrer que M appartent au cercle de centre O et de rayon 1. b) Lorsque θ vare, montrer que M', mage du pont M par f, reste sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon. c) Vérfer que OM' = cos(θ) OM. Que peut-on en dédure quant aux ponts O, M et M'? d) Explquer la constructon du pont M'.

3 nnexe de l exercce 5 v u c 1 Exercce 7 Dans le plan complexe mun d'un repère orthonormal drect (O ; d'affxes respectves = 1 et = + + 1) Détermner le module et un argument de. u ; v ), on consdère les ponts et ) a) Ecrre b) Montrer que sous forme algébrque. + = ( ) 1 e c) En dédure la forme exponentelle de.

4 Exercce 8 Le plan complexe est mun d'un repère orthonormé drect (O ; u ; v ). On consdère le pont d'affxe = 1 et le pont d'affxe =. tout pont M d'affxe M = x + y, avec x et y deux réels tels que y 0, on assoce le pont M' d'affxe M' = M On désgne par I le mleu du segment [M]. Le but de l'exercce est de démontrer que pour tout pont M n'appartenant pas à (O), la médane (OI) du trangle OM est auss une hauteur du trangle OM' (proprété 1) et que M' = OI (proprété ). 1) Dans cette queston et unquement dans cette queston, on prend M = e a) Détermner la forme algébrque de M. b) Montrer M' = Détermner le module et un argument de M'. c) Placer les ponts,, M, M' et I dans le repère (O ; u ; v ) en prenant cm pour unté graphque. Tracer la drote (OI) et vérfer rapdement les proprétés 1 et à l'ade du graphque. ) On revent au cas général en prenant M = x + y avec y 0. a) Détermner l'affxe du pont I en foncton de x et y. b) Détermner l'affxe du pont M' en foncton de x et y. c) Ecrre les coordonnées des ponts I, et M'. d) Montrer que la drote (OI) est une hauteur du trangle OM'. e) Montrer que M' = OI. Exercce 9 Parte On consdère le polynôme P défn sur Z par P() = ( + ) + ( 1 ) 1) Montrer que le nombre complexe 0 = est soluton de l'équaton P() = 0 ) a) Détermner les réels a et b tels que P() = ( )( + a + b) b) En dédure les solutons dans Z de l'équaton P() = 0 Parte Le plan complexe est mun d'un repère orthonormé drect (O ; graphque. u ; + v ). On prendra cm pour unté 4 On consdère les ponts,, J et K d'affxes respectves = 1 +, = 1, J = et K = e 1) Placer les ponts,, J et K sur une fgure qu sera complétée au fur et à mesure de l'exercce. ) Sot L le symétrque du pont J par rapport au pont K. Montrer que l'affxe de L est égale à. ) Montrer que les ponts,, J et L appartennent à un même cercle dont on précsera le centre et le rayon.

5 Exercce 10 d après bac Le plan est mun du repère orthonormé drect (O ; u ; v ) 1 On donne le nombre complexe j = + Le but de cet exercce est d étuder quelques proprétés du nombre j et de mettre en évdence un len entre ce nombre avec les trangles équlatéraux. Parte : Proprétés du nombre j 1) Vérfer que le nombre complexe j est une soluton de cette équaton = 0 ) Détermner le module et un argument du nombre complexe j, pus donner sa forme exponentelle. ) Démontrer les égaltés suvantes: a) j = 1 b) j = 1 j 4) On note P, Q, R les mages respectves des nombres complexes 1, j et j dans le plan. Quelle est la nature du trangle PQR? Justfer la réponse. Parte Sot a, b, c tros nombres complexes vérfant l égalté a + jb + j c = 0 On note, et C les mages respectves des nombres a, b et c dans le plan. 1) En utlsant la queston ) ) b), démontrer l égalté : a c = j(c b) ) En dédure que C = C ) Démontrer l égalté : a b = j (b c) 4) En dédure que le trangle C est équlatéral

6 Exercce 1 - Corrgé 1) Méthode 1 : ( ) (1 + ) = ( 1 ) + = (1 + 1) = () = 8 = 8 = 8 Méthode : On écrt 1 + sous forme exponentelle : 1+ = = sot θ un argument de cos(θ) = = et sn(θ) = 1 = On en dédut que θ = 4 + k et que 1 + = e e = e = 8e = 8 cos + sn = 8( ) = 8 Par conséquent, (1 + ) = ( ) ( ) ( ) ) a) (1 + ) = 8, c est à dre ( 1 ) + = 8 On en dédut que (1 + ) est soluton de l équaton (E). On a donc t = (1 + ) = b) jt = 7 + e = e e = e = e ( jt) = e = e = 8e = 8cos + sn = 8(0 ) = 8 Par conséquent, jt est ben soluton de l équaton (E). j t = 4 e = e = e e = e = e ( j t) e e 8e 8 cos sn = = = = + = 8(0 ) = 8 Par conséquent, j t est ben soluton de l équaton (E). ) a) t = = e jt = j t = 7 e e 11 donc O = t = donc O = jt = donc OC = j t = On en dédut que les ponts, et C appartennent au cercle de centre O et de rayon = e = cos + sn = b) = ( ) = = ( ) + ( ) = + 9 = 1 = C = e = cos + sn = C = ( )

7 C = = ( ) + ( ) = + 9 = C = C = = = = C = C donc C est un trangle équlatéral. c) Exercce - Corrgé O = O = = 9 1 = = + = + = = = e = e = cos + sn = + = + = = + = = = On constate que O = O = donc O est ben un trangle équlatéral. Exercce - Corrgé 1) p + 1 = = 1 + ( ) ( ) p + 1 = 1+ = 1 + = 1+ = 4 = sot θ un argument de (p + 1) cos(θ) = 1 et sn(θ) = On en dédut que θ = () Par conséquent, p + 1 = e

8 b) On a vu que p + 1 = donc : P = P = On en dédut que le pont P appartent au cercle de centre et de rayon, c est à dre à c. ) a) p = ( + )( 1 ) ( )( ) ( ) ( ) p = = = = = p b) q = p = ( + ) = ( ) = = = 1 = = = = + 1 = 1+ c) P' P' Q Q Q On constate que = : On en dédut que les vecteurs P' P' et Q sont colnéares : Par conséquent, les ponts, P et Q sont algnés. ( ) ( ) ) a) ( 1)( + 1) = 1 ( + 1 ) = + 1 = 1 1 = On a ben démontré que, pour tout nombre complexe dfférent de 1, ( 1)( + 1) = b) On en dédut que : ( ' 1)( + 1) = ' = c) M appartent au cercle c de centre et de rayon donc : M = = M ( 1) = + 1 = En remplaçant + 1 par dans l égalté démontrée à la queston 1) b), on obtent : ' 1 = ' 1 = 1 = 1 M' M = 1 On en dédut donc que le pont M appartent au cercle de centre et de rayon 1. Exercce 4 - Corrgé 1) = = 0 e car = et arg() = 0 () = ( ) 1 + = 1+ = 4 = Sot θ un argument de : cos(θ) = 1 et sn(θ) = donc θ = () Par conséquent, = e

9 C = = e = e Exercce 5 - Corrgé re r r e r α α = = car = r 1) ' = ( ) ( ) ( ) a a = = 1 car a = = a ) a' = ( ) ( ) ) a) ( ) b = + 1 = + 1 = Sot θ un argument de b: cos θ = et sn θ = 1 On en dédut que θ = 5 5 () d'où b = e b) b' = ( ) ( ) 5 arg b ( ) b e = e = 0 4) vor fgure page suvante 5) a) L'mage par f du pont M est le pont O s et seulement s ' = 0 ( r) e α = 0 r = 0 (car L'ensemble e est donc le cercle de centre O et de rayon. b) Vor fgure page suvante ) f(m) = M équvaut à ' = ( r) e α r = r (car r = 1 = 1 = r e α e α 0) r = = OM = e α 0) OM = 1 Le cercle c 1 est donc ben l'ensemble des ponts M du plan dstncts de O tel que f(m) = M ( ) ( ) 7) a) I mleu du segment [MM'] donc I = ' α α α α + re + r e e r + r e = = = = e α = e = 1 donc OI = 1: On a ben montré que I appartent à c 1 I b) = OI I O = I = e α = OM M O = = re α On constate que r = donc les vecteurs OI et OM sont colnéares. OI OM Cela prouve que les ponts O, I et M sont algnés. α

10 De plus, on sat que r > 0 donc les vecteurs dem-drote [OM) OI et utre méthode: arg( I O ) = α () et arg( M O ) = α () On en dédut donc que arg( I O ) = arg( M O ) () sot ( u ; On en dédut donc que I appartent à la dem-drote [OM) c) Vor fgure c-dessous: I est le pont d'ntersecton entre la dem-drote [O M 1 ) et le cercle c 1. M' 1 est le symétrque de M 1 par rapport à I (car I est le mleu de [M 1 M' 1 ] OM ont le même sens: par conséquent, I appartent à la OI ) = ( u ; OM) () Exercce Corrgé 1) Rechercher les antécédents du ponts O revent à résoudre l équaton : = = 0 = 1 = ou = Le pont O a donc deux antécédents qu sont les ponts C et D d affxes respectves et ) Rechercher les ponts nvarants revent à résoudre l équaton : = + 1 = + 1 = 0 Δ = ( 1) = 1 4 =

11 Δ < 0 donc cette équaton a deux solutons complexes conjuguées égales à = 1 et 1 Par conséquent, l exste deux ponts nvarants: Ce sont les ponts E et F d affxes respectves ) Deux ponts M et N sont symétrques par rapport au pont O s leurs affxes et M N sont opposées. On a donc : N = M f N = N + 1 = M + 1 = M + 1 = f M Par conséquent, on a ben prouvé que deux ponts symétrques par rapport à O ont la même mage. et ( ) ( ) ( ) Deux ponts M et N sont symétrques par rapport à l axe des abscsses s leurs affxes et M conjuguées. On a donc : N = M et ( ) f = + 1 = ( ) + 1 = + 1 = + 1 = + 1 = f ( ) N N M M M M M et N sont Par conséquent, on en dédut que les mages de deux ponts symétrques par rapport à l axe des abscsses sont symétrques elles auss par rapport à l axe des abscsses. 4) a) = ( 1+ ) = = + = = 4 4 Sot θ un argument de. cos(θ) = On a donc : = et sn(θ) = 1 = e 4 : On en dédut que θ = 4 () b) On a vu précédemment que = 1 donc on en dédut que O = 1 : Par conséquent, appartent ben au cercle de centre O et de rayon c) ' = + 1 = e + 1 = e + 1 = e + 1 = + 1 utre méthode : 1 ' = + 1 = ( 1+ ) + 1 = ( 1+ ) + 1 = ( 1+ 1) + 1 = d) = ' = 1+ 1 = = 1 On en dédut que appartent ben au cercle de centre et de rayon 1. O O = = = 1+ e) = = = ( 1+ ) O' ' O ' On constate que =, c est à dre que O O O' = O' : On en dédut que les vecteurs O et O' sont colnéares : Les ponts O, et sont ben algnés. 5) a) OM = θ M 0 = M = e = 1 On en dédut que le pont M appartent ben au cercle de centre O et de rayon 1.

12 b) M = ( θ ) = = e = e = 1 θ M' M Par conséquent, le pont M appartent au cercle de centre et de rayon 1. c) θ = M O = M = e = cos( θ ) + sn( θ) OM θ = M ' O = M ' = M + 1 = ( e ) + 1 = ( cos( θ ) + sn ( θ ) OM ' ) + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OM ' ( ) = cos θ + cos θ s θ sn θ + 1 = cos θ + cos θ sn θ 1 cos θ + 1 On rappelle que pour tout θ Y, on a : cos (θ) + sn (θ) = 1 = cos θ + cos θ sn θ 1+ cos θ + 1= cos θ + cos θ sn θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OM' = cos( θ) ( cos( θ ) + sn ( θ) OM' ) On constate que = cos ( θ), ce qu prouve ben que = ( θ ) OM' cos OM OM' OM On en dédut que les vecteurs OM' et OM sont colnéares (pusque cos(θ) est un réel). Par conséquent, les ponts O, M et M sont algnés. d) Pour construre le pont M : On tracer le cercle c de centre et de rayon 1. On trace la drote (OM). M est à l ntersecton du cercle c et de la drote (OM) Remarque : Le cercle c et la drote (OM) ont deux ponts d ntersecton qu sont O et M sauf quand l affxe de M est ou et, dans ce cas, le pont M est confondu avec le pont O. Exercce 7 - Corrgé 1) ( ) 1 = = Sot θ un argument de cos(θ) = 1 = et sn(θ) = On en dédut que θ = 4 + k ) a) ( + + )( 1+ ) = = = =

13 b) ( ) ( ) ( ) 1 1+ e = 1+ cos + sn 1 = + + ( ) 1 e + = = + = On a ben montré que = ( ) 1+ e c) En fasant le produt en crox, on obtent : = ( 1+ ) e = e ( 1+ ) e = ( 1+ ) e = ( 1+ ) e C est la forme exponentelle de car (1 + ) > 0 Exercce 8 - Corrgé 1) a) M = b) M' 1 e = cos + sn = = 1 = M = (1 ) = = M ' ( ) ( ) = = + 1 = + 1 = Sot θ un argument de M' cos(θ) = et sn(θ) = 1 c) vérfcaton fate donc θ = 5 + k + M 1+ x + y a) I est le mleu du segment [M] donc I = = = = x + y = x + y = y x b) ( ) M' M

14 1+ x c) I y 0 1 y M x 1+ x 1+ x y 0 y 0 d) M' = OI = x 1 x 1 y y 1+ x y y + xy xy y M'.OI = y + ( x 1 ) = = 0 On en dédut que les drotes (M ) et (OI) sont perpendculares : (OI) est donc ben une hauteur du trangle OM. OI = 1+ x y 1+ x + x + y 1+ x + x + y + = = 4 M = ( ) y + x 1 = y + x + x + 1 On a ben M = OI Exercce 9 - Corrgé Parte 1) est soluton de l'équaton P() = 0 s et seulement s P ( ) = 0 Calculons donc P ( ) : P ( ) = ( ) ( )( ) ( )( ) = ( + )( ) + ( ) = = 0 est ben soluton de l'équaton P() = 0 Remarque: cela sgnfe que P() se factorse par ( 0 ) = ( ) (mas ce n'est plus au programme de Tale S depus longtemps) ) a) P() = ( )( + a + b) ce qu explque la queston ) = ( ) ( ) D'autre part, on sat que P() = ( + ) + ( 1+ ) + a + b a b = + a + b a b En dentfant les coeffcents des termes de même degré, on en dédut le système suvant: a = ( + ) a = b a = ( 1 + ) b = b b = = d'où P() = ( )( + ) b) On résout l'équaton + = 0

15 Δ = ( ) 4 1 = 4 8 = 4 < 0 donc l'équaton + = 0 a deux solutons complexes ( ) ( ) conjuguées égales à = = 1+ et 1 1 L'ensemble des solutons de l'équaton P() = 0 est donc s = { ;1+ ;1 } Remarque: Vues les affxes des ponts, et J dans la parte de cet exercce, on est sûr d'avor trouvé les bonnes solutons de l'équaton P() = 0 (même s les partes et sont ndépendantes, elles ont quand même un len entre elles) Parte 1) Pour construre avec précson le pont K, on utlse le fat que K = 1 et que arg( K ) = donc K est sur le cercle de 4 centre O et de rayon 1 et l'angle ( u ; OK) = 4 ) L est le symétrque du pont J par rapport à K donc les vecteurs JK = et KL sont égaux. Par conséquent, K J = L K L = K J = e 4 = cos + sn = L = + = On a ben montré que l'affxe du pont L est égal à. ) Conjecture: Il semble que,, J et L appartennent au cercle de centre O et de rayon. Démonstraton: O = = 1+ = = O = ( ) OJ = OK = = 1 = = J = = K = = On a ben O = O = OJ = OK = donc les ponts,, J et L appartennent ben au cercle de centre O et de rayon.

16 Exercce 10 - Corrgé Parte 1) On remplace par j = 1 + dans et on vérfe que le résultat est égal à 0 : 1 1 j j + 1 = = = = j est donc ben soluton de l équaton = 0 ) méthode 1 (la méthode tradtonnelle) 1 1 j = + = + = 1 = Sot θ un argument de j 1 1 cos(θ) = = et sn(θ) = = donc θ = 1 1 et j = e méthode (plus subtle que la précédente) On sat que j = 1 + et on sat auss que 1 = cos et que = sn On en dédut donc que j = cos + sn = 1 cos + sn = e ) a) On utlse la forme exponentelle de j pour calculer j j 0 = e = e = e = e = 1 On a ben j = 1 b) Méthode 1 (celle à laquelle on pense mmédatement) 4 j = e e = = e = cos + sn = D autre part, 1 j = = + = Concluson: on a ben j = 1 j Méthode (celle à laquelle on ne pense pas mas qu est pourtant beaucoup, beaucoup plus rapde) On sat que j est soluton de l équaton donc j + j + 1 = 0 donc j = 1 j

17 4) PQR semble être équlatéral 1 PQ = Q P = j 1 = + 1 = + PQ 9 1 = + = + = = QR = QR = R Q = j j = 1 j j = 1 j = 1+ 1 = = 1 P R = 1 j = 1 1 j = j = + j = + = RP = ( ) 9 1 RP = + = = On constate que PQ = QR = RP donc PQR est ben un trangle équlatéral. Parte 1) On sat que a + jb + j c = 0 De plus, dans la queston ) ) b), on a démontré que j = 1 j On en dédut que : a + jb + ( 1 j)c = 0 a + jb c jc = 0 a c = jb + jc a c = j( b + c) a c = j(c b) ) On en dédut que : a c = j( c b) a c = j c b C = C On a ben montré que C = C C = 1 C ) On sat que a + jb + j c = 0 De plus, on sat que j = 1 j donc j + 1 = j j = j 1 Par conséquent, on a : a + ( j 1)b + j c = 0 a j b b + j c = 0 a b = j b j c a b = j (b c) 4) Comme précédemment, on en dédut que : On a alors montré que = C ( ) a b = j b c = j b c = j b c = 1 b c = b c Concluson : On constate que C = C = donc C est équlatéral. + = +