Exercices sur les Complexes

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1 F-IRIS1-0.tex Exercces sur les Complexes 1) Tracer le cercle trgonométrque et placer les ponts d affxes : ; ; 1 + ) ; ; ; ; 1) ; ; Placer ensute les ponts d affxes conjugués et ndquer sur la fgure l affxe de chaque pont, sous forme algébrque et sous forme exponentelle. ) Formes algébrques et exponentelles Écrre chaque nombre sous forme algébrque ou exponentelle selon le cas : 1 ; 1 ; ; ; 1 + ; 1 ; e π ; e π ; e π 3 ; e π ; e π 3 ; ; 3 3 ; ; cosθ) snθ) ; snθ) + cosθ) 3) Smplfer les expressons suvantes ) ; 5 + ) ) 3 ; ) ; 3 3 ) ) Calcul des arguments a) Pour quelles valeurs de n N le nombre : 1 ) n est-l réel? b) Pour quelles valeurs de n N le nombre : ) n est-l magnare? 5) Lnéarser les expressons suvantes : sn 3 t) cos t) ; snt) cost)) ; cos t) snt) 6) Sot la foncton f : z Z fz) z + 1 z Soent les ponts : A d affxe 1, B d affxe et C d affxe 1 a) Précser la nature de la transformaton complexe f b) On fera une fgure sur laquelle on représentera le trangle ABC, son transformé A B C par f et le transformé de son transformé : A B C. 1 / L A TEX ε

2 F-IRIS1-0.tex 7) Sot la transformaton f : z Z fz) 1)z + 5 a) Précser la nature de la transformaton complexe f b) Fare une fgure sur laquelle on représentera le trangle ABC et le trangle A B C son transformé par f sachant que les affxes respectves de A a, B b et C c sont : a 1, b + et c 3 8) Sot la transformaton f : z Z fz) z + a) Précser la nature de la transformaton complexe f b) Indquer quelle est l mage par f du cercle trgonométrque. c) Détermner l ensemble D) dont l mage par cette transformaton est le cercle de centre Ω1, 0) et de rayon 1.. d) Détermner l ensemble C) dont l mage par f est la drote d équaton : 9) Sot la transformaton X + Y f : z Z 1 )z z 3 a) Écrre Z sous forme : Z α + β z 3 où α et β sont des complexes. b) Détermner, à l ade des transformatons élémentares, l mage du cercle C suvant : C de centre Ω d affxe + et de rayon R 10) Étuder les transformatons complexes suvante : a) z Z z z + b) z Z 1 )z + z / L A TEX ε

3 F-IRIS1-0.tex Exercces sur les Complexes Solutons) 1) Tracer le cercle trgonométrque et placer les ponts d affxes : Placer ensute les ponts d affxes conjugués et ndquer sur la fgure l affxe de chaque pont, sous forme algébrque et sous forme exponentelle. E F G D C B A H O I π 3 + A : e 6 ; B : 3 1 E : e π 3 ; F : Conjugués : 3 A : e π 6 ; B : E 1 3 : e π 3 A G F B C E D 1 + ) e π 1) 3π e 1 ) e π ; F : ; C : e π 3 ; D : e π 3 ; G : e 5π 6 ; H : 1 ; I : 1 ; C : 1 ) 3π e ) Formes algébrques et exponentelles 1 3 ; G : e π 3 3 Écrre chaque nombre sous forme algébrque ou exponentelle selon le cas : ; D : e π e 5π 6 1 e 0 ; 1 e π ; e π ; e π ; 1 + e π ; 1 e π e π 1 ; e π ; e π ) ; e π ; e π ) Curosté : e π ) e π ; R ; 0, e π 3 ; e π 6 ; e π cosθ) snθ) e θ ; snθ) + cosθ) e π θ) 3 / 10 L A TEX ε

4 F-IRIS1-0.tex 3) Smplfer les expressons suvantes ) 6 ) 6 ) )5 ) )5 ) 6 + ) 6 ) e π 6 9 e 3π 51 ) ) 3 ) 7 π ) e e π 3 6 7π e 6 e π e 5π e 3π ) Calcul des arguments ) 8 e π 3e π 3 ) 6 3 e π 6 3 e π ) 8 e π 16 3 e π 81 ) e π e 3π 3 π 3 3 e 8 7 a) Pour quelles valeurs de n N le nombre : 1 ) n est-l réel? Un réel est un complexe d argument 0 s l est postf ou π s l est négatf. ) Or 1 ) n e π n ) n e nπ donc : 1 ) n nπ est réel s et seulement s kπ c est à dre s n est un multple de n k) ) n b) Pour quelles valeurs de n N le nombre : est-l magnare? Un magnare est un complexe d argument π ou π. ) n ) Or e π n 3 n e nπ 3 donc : ) n nπ est magnare s et seulement s 3 π +kπ ce qu est mpossble n 3k+ 3 car n et k sont des enters. 5) Lnéarser les expressons suvantes : ) e sn 3 t) cos t e t 3 ) e t + e t t) 1 e t e t) 3 e t + e t) 5 / 10 L A TEX ε

5 F-IRIS1-0.tex sn 3 t) cos t) 1 e t e t) 3 e t + e t) 5 1 e 3t 3e t + 3e t + e 3t) e t + + e t) 5 1 e 7t 3e 5t + 5e 3t 7e t + 7e t 5e 3t + 3e 5t e 7t) 5 e 7t e 7t 3 e5t e 5t + 5 e3t e 3t 1 ) sn7t) 3 sn5t) + 5 sn3t) 7 snt) 1 sn7t) + 3 sn5t) 5 sn3t) + 7 snt) 16 ) 7 et e t e snt) cost)) t e t ) et + e t 1 e t e t) 1 e t + e t) 1 cost) 1) 1 3 cost) 8 ) e cos t + e t e t e t t) snt) 1 e t + e t e t + e t) e t e t) 5 1 e 8t + e 6t + 6e t + e t e t 6e t e 6t e 8t) 5 sn8t) + sn6t) + 6 snt) + snt) 16 6) Sot la foncton f : z Z fz) z + 1 z Soent les ponts : A d affxe 1, B d affxe et C d affxe 1 a) Précser la nature de la transformaton complexe f On a f : z Z fz) z + 1 z 1 )z + 1 Le pont fxe, soluton de fz) z est : z Donc f est une smltude : de centre Ω d affxe ) de raport 1 d angle π arg1 ) 5 / 10 L A TEX ε

6 F-IRIS1-0.tex b) On fera une fgure sur laquelle on représentera le trangle ABC, son transformé A B C par f et le transformé de son transformé : A B C. B A B A A C C B C Les transformés des ponts A, B et C sont les ponts : A d affxe ), B d affxe + ) et C d affxe ) A d affxe + ), B d affxe ) et C d affxe 3) 7) Sot la transformaton f : z Z fz) 1)z + 5 a) Précser la nature de la transformaton complexe f Le pont fxe, soluton de 1)z + 5 z est : z + Donc f est une smltude : de centre Ω d affxe + ) 1 + de raport d angle 3π arg 1 + ) b) Fare une fgure sur laquelle on représentera le trangle ABC et le trangle A B C son transformé par f sachant que les affxes respectves de A a, B b et C c sont : a 1, b + et c 3 On fera de même une fgure Les transformés des ponts A, B et C sont les ponts : A d affxe a 6 ), B d affxe b 6 3) et C d affxe c 3) 6 / 10 L A TEX ε

7 F-IRIS1-0.tex 8) Sot la transformaton f : z Z fz) z + a) Précser la nature de la transformaton complexe f Décomposton en transformatons élémentares : Attenton aux notatons z f 1 f z 1 z + z 1 f 3 Z fz) z z 1 Ce qu sgnfe que f est la composée de f 1, f et f 3 successvement dans cet ordre. z Z fz) f 3 f f1 z) )) Avec : f 1 f f 3 Translaton de vecteur d affxe ) Inverson Complexe π Rotaton de centre O d angle arg) b) Indquer quelle est l mage par f du cercle trgonométrque. T f 1 f f 3 T 1 T T ft ) R T ft ) 0 T 1 T 1 T R L mage T du cercle trgonométrque T par f est la drote vertcale d équaton : X 1 7 / 10 L A TEX ε

8 F-IRIS1-0.tex c) Détermner l ensemble D) dont l mage par cette transformaton est le cercle de centre Ω1, 0) et de rayon 1. D f 1 f f 3 D 1 D D fd) cercle de centre Ω de rayon 1 Il sufft de fare la transformaton f 1 récproque «à l envers» R 0 D fd) 1 D 1 D R D L ensemble D) est la drote horzontale d équaton : Y 1. d) Détermner l ensemble C) dont l mage par f est la drote d équaton : X + Y C f 1 f f 3 C 1 C C fc) C 1 C fc) R C C 0 1 R L ensemble C est la drote d équaton : Y + X 0 8 / 10 L A TEX ε

9 F-IRIS1-0.tex 9) Sot la transformaton f : z Z 1 )z z 3 β a) Écrre Z sous forme : Z α + où α et β sont des complexes. z 3 1 )z ) On a Z + 1 avec : α 1 et β z 3 z 3 Décomposton en transformatons élémentares : z f 1 f z 1 z 3 z 1 f 3 f z3 ) z Z fz) z3 + 1 z 1 f f f 3 f f 1 c est à dre : z Z fz) f f 3 f f1 z) ))) Avec : f 1 Translaton de vecteur d affxe 3 ) f Inverson Complexe f 3 Smltude de centre O de rapport et d angle π f Translaton de vecteur d affxe 1 ) arg ) b) Détermner, à l ade des transformatons élémentares, l mage du cercle C suvant : C de centre Ω d affxe + et de rayon R C f 1 f f 3 f C 1 C C3 C fc) C R C Ω C R C 3 C fc) L ensemble C est l axe des magnares. 9 / 10 L A TEX ε

10 F-IRIS1-0.tex 10) Étuder les transformatons complexes suvante : a) z Z z z + f : z Z z z + 1 z + + Décomposton en transformatons élémentares : z f 1 f z 1 z + z 1 f 3 Z fz) z + z 1 f f 3 f f 1 c est à dre : z Z fz) f 3 f f1 z) )) Avec : f 1 f f 3 f 1 Translaton de vecteur d affxe ) Inverson Complexe Translaton de vecteur d affxe ) b) z Z 1 )z + z f : z Z 1 )z + z z + 1 Décomposton en transformatons élémentares : z f 1 f z 1 z z 1 f 3 f z ) z Z fz) z3 + 1 z 1 f f f 3 f f 1 c est à dre : z Z fz) f f 3 f f1 z) ))) Avec : f 1 Translaton de vecteur d affxe ) f Inverson Complexe f 3 Smltude de centre O de rapport d angle arctan3) arg1 + 3) f Translaton de vecteur d affxe 1 ) 10 / 10 L A TEX ε