COMPLEXES. sin(t) 3 Exponentielle complexe 8

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1 COMPLEXES Table des matières 1 Nombres complexes : premières notions : représentation géométrique dans le plan conjugaison : module : complexes de module 1, notation exponentielle : argument : Techniques diverses calcul de l argument ( modulo 2π) d un complexe : puissances entières d un complexe : une astuce pour factoriser a cos(t) + b sin(t) : l astuce de l angle médian : linéarisation de cos p (t) sin q (t) : développement de cos(kt) ou de sin(kt) sin(t) en un polynôme en cos(t) : Exponentielle complexe 8 4 Résolution de certaines équations dans C un résultat théorique : équations du type z n = α, racines n ieme d un complexe cas particulier des racines carrées d un complexe α : équations de degré 2 à coefficients complexes : Notions géométriques rappel : propriétés affines : propriétés euclidiennes (distances, angles et orthogonalité) transformations du plan et de C associées

2 1 Nombres complexes : 1.1 premières notions : définition : un nombre complexe z s écrit de manière unique z = a + ib où a et b sont des réels et i n est pas un réel ( on ne définit pas i, on se servira uniquement de sa propriété : i 2 = 1). vocabulaire et notations : - l écriture de z sous la forme z = a + ib avec a et b réels s appelle forme algébrique de z. - le réel a est la partie réelle de z (notée Re(z)), b sa partie imaginaire (notée Im(z)). - on note C l ensemble des complexes. - tout réel a est aussi un complexe puisqu il peut s écrire a + i 0. Autrement dit, on a R C. - on appelle imaginaire pur tout complexe z pouvant s écrire z = ib où b est un réel. On notera ir l ensemble des imaginaires purs. caractériser un réel ou un imaginaire pur : z R Im(z) = 0 z ir Re(z) = 0 soit z un complexe principe d identification des parties réelles et imaginaires : si a, b, c, d sont des réels tels que a + ib = c + id alors a = c et b = d règles de calcul : pour z et z complexes quelconques Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) et Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ) Cette règle est valable avec à la place de + et s étend à des sommes finies. Pour le produit ou le quotient, on ne dispose pas de règle simple de ce genre, mais on a quand même un résultat intéressant : x R, z C, Re(xz) = xre(z) et Im(xz) = xim(z) On peut résumer cette règle en disant que l on peut sortir ou rentrer un réel en facteur d une partie réelle ou imaginaire. pour résumer : le calcul sur les nombres complexes est formellement identique au calcul sur les nombres réels, en tenant compte du fait que i 2 = 1. 2

3 1.2 représentation géométrique dans le plan plan complexe : Le plan complexe est un plan euclidien ( c est à dire dans lequel on sait mesurer les angles et les distances), muni d un repère orthonormé. affixe d un point : à tout point M de coordonnées réelles (a, b) on associe son affixe complexe ( souvent notée z M ) a + ib. point image d un complexe : réciproquement, à tout complexe z, on associe le point de coordonnées réelles (Re(z), Im(z)), appelé l image de z. affixe d un vecteur : à tout vecteur u de coordonnées (α, β) dans la base ( e 1, e 2 ) du plan complexe ( c est à dire qu on a u = α e 1 +β e 2 ), on associe son affixe complexe ( souvent notée z u ) α +iβ. vecteur associé à un complexe : réciproquement, à tout complexe z, on peut associer le vecteur de coordonnées réelles (Re(z), Im(z)), appelé vecteur associé à z. - ce qui est remarquable avec cette dernière notion est que l addition des vecteurs correspond à l addition de leurs affixes complexes, de même la multiplication des vecteurs par un réel correspond à la multiplication de leurs affixes par ce réel : z u+v = z u + z v ; z λu = λz u 1.3 conjugaison : définition : pour tout complexe z, on définit son conjugué, noté z, par : remarque : z C, z = z. z = Re(z) iim(z) caractériser les réels ou les imaginaires purs : soit z un complexe z R z = z ; z ir z = z règles de calcul : soient z 1, z 2 deux complexes, on a : z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ; z 1 z 2 = z 1 z 2 ; ( z1 z 2 ) = z 1 z 2 Ces propriétés s étendent à des sommes finies et des produits finis. z C, n N, z n = z n 3

4 formules d Euler : soit z un complexe, Re(z) = 1 2 (z + z) ; Im(z) = 1 (z z) 2i conjugué et géométrie : soient M et M des points du plan complexe d affixes respectives z et z. On a l équivalence : z = z M et M sont symétriques par rapport à l axe des abscisses 1.4 module : définition : pour tout complexe z, le module de z, noté z est défini par : z = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 règles de calcul : soient z et z deux complexes, on a : zz = z z et si z 0, z z = z z ( cette propriété s étend à des produits finis). module et géométrie : du plan. n N, z n = z n ; z = z ; zz = z 2 on note O l origine du plan complexe et M, M deux points z M = OM ; z M z M = MM - ainsi, pour tout réel strictement positif r et tout point M 0 du plan, le cercle de centre M 0 et de rayon r est l ensemble des points M d affixe z vérifiant z z 0 = r. Le disque de centre M 0 et de rayon r est l ensemble des points M d affixe z vérifiant z z 0 r. inégalité entre Re(z), Im(z) et z : soit z un complexe. Re(z) Re(z) z ; Im(z) Im(z) z inégalité triangulaire : soient z et z deux complexes, alors on a : z + z z + z de plus, il y a égalité entre ces deux termes ssi il existe un réel positif t, tel que z = tz ou z = 0. 4

5 1.5 complexes de module 1, notation exponentielle : notation U : l ensemble des complexes de module 1 est noté U. Il est représenté dans le plan complexe par le cercle de centre O et de rayon 1, appelé cercle unité ou cercle trigonométrique. - le cercle unité est paramétré par les fonctions cos et sin ( appelées pour cela fonctions circulaires). Autrement dit, pour tout point M du cercle unité, il existe un réel t tel que (cos(t), sin(t)) soient les coordonnées réelles de M. notation e it pour t réel : pour tout complexe z de U, il existe un réel t tel que z = cos(t) + i sin(t). On note e it ce complexe. On a donc : t R, e it = cos(t) + i sin(t) On a donc : t R, { cos(t) = Re(e it ) sin(t) = Im(e it ) règle fondamentale : la notation exponentielle est justifiée par la propriété suivante : t, t R, e i(t+t ) = e it e it formules d Euler : t R, cos(t) = 1 2 (eit + e it ) ; sin(t) = 1 2i (eit e it ) ces formules sont des cas particuliers des formules d Euler plus générales, vues avant. règles de calcul : soient t et t deux réels, on a les formules suivantes : e it = 1 e it = e it ; e i(t t ) = eit e it ; n N, e int = (e it ) n formule de Moivre : la dernière formule ci-dessus peut aussi s écrire : n N, t R, (cos(t) + i sin(t)) n = cos(nt) + i sin(nt) cas d égalité : soient t et t deux réels. e it = 1 t = 0[2π] ; e it = e it t = t [2π] 5

6 1.6 argument : forme exponentielle d un complexe non nul : tout complexe non nul z peut s écrire sous la forme z = re it où r et t sont 2 réels avec r > 0. - dans cette forme exponentielle, r est unique : r = z et t est unique à un multiple de 2π près. Autrement dit, pour r, r, t, t réels avec r, r > 0, on a l équivalence : { re it = r r = r e it t = t [2π] définition : soit z un complexe non nul. On appelle argument de z et on note arg(z), toute valeur réelle de t telle que z = z e it. - un complexe non nul a donc une infinité d arguments, tous égaux modulo 2π. caractériser les réels, les réels positifs ou les imaginaires purs : on a les équivalences suivantes pour un complexe non nul z : z R arg(z) = 0[π] ; z R + arg(z) = 0[2π] z ir arg(z) = π 2 [π] cos et sin de l argument d un complexe non nul : soit un complexe non nul z et θ un réel : θ = arg(z)[2π] z = z (cos(θ) + i sin(θ)) { cos(θ) = Re(z) z sin(θ) = Im(z) z règles de calcul : soient z et z deux complexes non nuls, on a les formules : arg( z) = arg(z) + π[2π] ; arg(z) = arg(z)[2π] ( z ) arg(zz ) = arg(z) + arg(z )[2π] ; arg = arg(z) arg(z )[2π] z n N, arg(z n ) = n arg(z)[2π] identification de modules et arguments : soient z et z deux complexes non nuls : { z = z z = z arg(z) = arg(z )[2π] sens géométrique : pour tout complexe non nul z, représenté dans le plan par le point M, arg(z) est une mesure de l angle orienté ( e 1 ; OM), où e 1 est le premier vecteur de la base. 6

7 2 Techniques diverses 2.1 calcul de l argument ( modulo 2π) d un complexe : si z est sous forme algébrique, notons r = z et t un argument de z, alors on a tan(t) = Im(z)/Re(z) ce qui donne t à un multiple de π près. On se sert ensuite du signe de Re(z) ou de Im(z) pour connaitre arg(z) à un multiple de 2π près. 2.2 puissances entières d un complexe : définitions : pour z complexe, on définit les puissances entières positives de z ( les z n pour n entier naturel), par récurrence sur n. - pour z complexe non nul, on définit z 1 = 1/z, puis les puissances entières négatives de z, par n N, z n = (z n ) 1. règles de calcul : on a les formules attendues : z C, r, s Z : z r z s = z r+s ; (z r ) s = z rs z, z C, r Z, (zz ) r = z r z r mise en garde : pour x réel strictement positif, on peut définir les puissances réelles de x par : x r = e r ln(x). Mais, on ne peut pas définir z r quand r est un réel non entier et z un complexe non réel positif! ( si l on veut que les formules usuelles restent valables, bien sûr) - en particulier (e it ) n = e int n est valable que pour n entier relatif : comparer (e i2π ) 1/2 et e iπ par exemple. 2.3 une astuce pour factoriser a cos(t) + b sin(t) : méthode : on introduit le complexe z = a+ib, que l on met sous forme trigonométrique z = re iφ et on remplace a par r cos(φ) et b par r sin(φ) pour obtenir : a cos(t) + b sin(t) = r cos(t φ) applications en physique et SI : on montre avec cette technique que la somme de fonctions sinusoïdales de pulsation ω est une autre fonction sinusoïdale de pulsation ω. 2.4 l astuce de l angle médian : méthode : factorisation par e it/2 dans e it + 1 ou e it 1. - pour e it + e it ou e it e it, on factorise par e i(t+t )/2. N.B : la traduction géométrique est que la diagonale d un losange est aussi une bissectrice! ( faire un dessin) application : factoriser rapidement cos(p) + / cos(q) et sin(p) + / sin(q). 7

8 2.5 linéarisation de cos p (t) sin q (t) : objectif : écrire une telle fonction comme une somme de fonctions du type t A k cos(kt) ou t B k sin(kt) avec k entiers et A k, B k réels. méthode : formules d Euler, développement avec la formule du binôme ( + distribution éventuelle dans le cas d un produit de cos et sin), passage à la partie réelle. intér^et : calcul de dérivées n ieme, de primitives ou de sommes. 2.6 développement de cos(kt) ou de sin(kt) sin(t) cos(t) : en un polynôme en méthode : formule de Moivre, on développe (cos(t) + i sin(t)) k avec la formule du binôme, on prend la partie réelle ou imaginaire. intér^et : résolution d équations particulières et polynômes de Tchébychev. 3 Exponentielle complexe définition : on définit la fonction exp de C dans C par : z C, exp(z) = e Re(z) e iim(z) cohérence avec les exponentielles déjà définies : on vérifie que si z est réel, alors exp(z) = e z et si z est imaginaire pur, i.e. de la forme it avec t réel, alors exp(it) = e it. On notera alors aussi e z pour exp(z). module et argument : z C, e z = e Re(z) ; arg(e z ) = Im(z)[2π] règles de calcul : soient z, z deux complexes et n un entier naturel, on a : e z = e z ; e z+z = e z e z ; e z z = ez e z ; (e z ) n = e nz 8

9 4 Résolution de certaines équations dans C 4.1 un résultat théorique : théorème de d Alembert : toute équation polynomiale de degré n ( n entier supérieur ou égal à 1) à coefficients complexes admet exactement n solutions dans C comptées avec multiplicité ( cf cours sur les polynômes). En particulier, elle admet au moins une solution et au plus n solutions distinctes dans C. 4.2 équations du type z n = α, racines n ieme d un complexe Soit n un entier naturel non nul. cas où α = 1 : l équation z n = 1 ( d inconnue z) admet exactement n solutions dans C, qu on appelle racines n ieme de l unité. On note U n l ensemble de ces solutions : U n = {e 2ikπ n, k [0; n 1]} = {ωn, k k [0; n 1]} où ω n = e 2iπ n - les images des racines de l unité sont les sommets d un polygone régulier, inscrit dans le cercle unité. - les racines cubiques de l unité sont 1, j, j où j = exp(2iπ/3). - pour tout entier n 2, la somme des racines n ieme de l unité est égale à 0. résultat général : - soit n un entier supérieur ou égal à 1, soit α un complexe non nul. L équation z n = α ( d inconnue complexe z) a exactement n solutions distinctes dans C. - ces solutions, appelées les racines n ieme de α, sont données par les formules : α 1/n e i( t n + 2kπ n ) où t est un argument de α et k décrit n entiers consécutifs, par exemple k décrit [0; n 1]. - si l on a une racine n ieme de α ( notons la z 0 ), les autres s en déduisent en multipliant z 0 par les racines n ieme de cas particulier des racines carrées d un complexe α : méthode à partir d une forme exponentielle de α : on utilise le résultat ci-dessus : les 2 racines carrées de α sont : + α e it/2, où t est un argument de α. - l inconvénient de cette méthode est qu un argument de α fait souvent intervenir la fonction arctan, ce qui donne des expressions peu pratiques. 9

10 méthode à partir d une forme algébrique de α : on cherche a et b, des réels tels que (a + ib) 2 = A + ib où A = Re(α) et B = Im(α). On raisonne par déduction. Si a + ib est une racine carrée de A + ib alors : à partir de (a + ib) 2 = A + ib, on égalise les parties réelles et les modules ce qui donne a et b au signe près, donc 4 complexes a + ib possibles. Le signe des parties imaginaires permet d éliminer 2 de ces 4 complexes. Or, on sait qu un complexe non nul a deux racines carrées distinctes équations de degré 2 à coefficients complexes : formules : soient trois complexes a, b, c tels que a 0. On considère l équation, en l inconnue complexe z : az 2 + bz + c = 0 (E) soit = b 2 4ac ( discriminant de (E) ) et δ une des deux racines carrées de. > Si = 0, (E) admet une solution ( dite double) : et, on a la factorisation suivante : z 0 = b 2a az 2 + bz + c = a(z z 0 ) 2 > Si 0, (E) admet deux solutions distinctes : z 1 = b + δ 2a et, on a la factorisation suivante : ; z 2 = b δ 2a az 2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ) - en pratique, l usage de ce résultat requiert l obtention d une racine carrée de, ce qui nous renvoie au paragraphe précédent. somme et produit des racines : la somme et le produit des racines ( égales dans le cas d une solution double) de l équation az 2 + bz + c = 0 sont respectivement b a et c a. trouver 2 complexes quand on connait leur somme et leur produit : soient s et p deux complexes. Soit (E) l équation en z : z 2 sz + p = 0 et (S) le système ( z 1 + z 2 = s et z 1 z 2 = p ). On a l équivalence : (z 1, z 2 ) solution de (S) z 1 et z 2 sont les deux solutions de (E) 10

11 5 Notions géométriques On notera P le plan complexe. Pour tout vecteur u, on notera z u son affixe complexe et pour tout point M de P, on notera z M son affixe complexe. 5.1 rappel : le calcul vectoriel correspond au calcul sur les complexes ( en se limitant à la somme et au produit par des réels), via les formules ci-dessous : z u+v = z u + z v ; z λu = λz u 5.2 propriétés affines : condition de colinéarité de 2 vecteurs : u et v sont colinéaires z u = 0 ou z v z u R - on en déduit sans peine une condition d alignement de 3 points avec leurs affixes. affixe du milieu et du centre de gravité : - si I est le milieu des points P et Q, alors z I = z P +z Q 2. - si G est le centre de gravité des points P, Q et R, alors z G = z P +z Q +z R propriétés euclidiennes (distances, angles et orthogonalité) norme d un vecteur et distance entre 2 points : u = z u ; AB = z B z A angle entre 2 vecteurs, angle dans un triangle : ( u, v ) = arg( z v z u )[2π] - la formule donnant un angle orienté dans un triangle, en fonction des affixes des points, s en déduit aisément. condition d orthogonalité de 2 vecteurs : u v z v z u ir ou z u = 0 11

12 5.4 transformations du plan et de C associées A toute application f de P dans P, on peut faire correspondre une application φ de C dans C : à tout complexe z, on associe φ(z), qui est l affixe de f(m) où M est d affixe z. ( φ est en quelque sorte l application f au niveau des affixes ) translation : soit u un vecteur du plan. On appelle translation dans P de vecteur u l application, notée t u, qui à tout point M de P associe le point M tel que MM = u. A cette translation, correspond l application de C dans C, qu on appellera translation dans C : z z + z u - une translation de vecteur non nul n a pas de point fixe. Dans ce qui suit, Ω est un point quelconque du plan. On notera ω son affixe complexe. rotation de centre Ω : soit θ un réel. On appelle rotation de centre Ω et d angle θ dans P l application de P dans P, qui à tout point M de P associe le point M vérifiant : ΩM = ΩM et ( ΩM, ΩM ) = θ[2π] A la rotation de P, de centre Ω et d angle θ, correspond la rotation dans C donnée par l expression suivante : z e iθ (z ω) + ω homothétie de centre Ω : soit λ un réel non nul. On appelle homothétie de centre Ω et de rapport λ l application de P dans P qui, à tout point M de P, associe le point M tel que : ΩM = λ ΩM A l homothétie de P de centre Ω et de rapport λ, correspond l application de C dans C,, qu on appellera homothétie de C, donnée par l expression suivante : z λ(z ω) + ω symétrie par rapport à Ox : à la symétrie par rapport à Ox correspond la symétrie de C par rapport à l axe des réels : z z 12