Exercices régimes transitoires

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1 Exercices régimes transitoires Exercice 1 1. Écrire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés ci dessous : Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est fermé à l'instant t = 0. Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement fermé, est ouvert à l'instant t = 0. L'inconnue est u c (t), U = 200 V, = 10 Ω L'inconnue est u C (t), I = 10 A et = 20 Ω L'inconnue est i(t), U = 150 V, = 30 Ω L'inconnue est i L (t), I = 15 A, = 30 Ω 2. Déduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit. 3. Pour chaque situation précédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurs proposées. Exercice 2 Déterminer graphiquement les constantes de temps des dispositifs dont les réponses indicielles sont représentées ci contre et ci dessous. Exercices régimes transitoires Page 1 sur 6 TS2 ET

2 Exercice 3 1. La constante de temps du circuit ci contre s'écrit : = = C =C = 1 C C 2. La constante de temps du circuit ci contre s'écrit : = = L =L = 1 L L 3. Pour le dispositif représenté ci contre, l'intensité en régime établi est égale à : 10 A 100 A 0 A elle dépend de la valeur de l'inductance U = 200 V et = 20 Ω 4. Pour le dispositif représenté ci contre, l'intensité en régime établi est égale à : 1 A 0 A 30 A Impossible à déterminer U = 30 V et = 1 Ω 5. L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, parmi les graphes ci dessous et ceux de la page suivante, lequel peut correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de la résistance? U = 20 V, = 10 Ω et L = 100 mh. a. b. Exercices régimes transitoires Page 2 sur 6 TS2 ET

3 c. d. Exercice 4 On considère le montage ci contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t), u(t), et L. 2. En déduire l'expression de la constante de temps en fonction de et L. La tension u(t) est nulle pour t négatif et égale à 100 V si t est positif. 3. Déterminer la valeur de i(t) en régime établi à partir du graphe ci dessous. 4. La solution de l'équation différentielle est de la forme t i t =A e B a. Quelle est la valeur de B? b. Déterminer la constante A à partir des conditions initiales. 5. Le graphe ci contre représente l'évolution de i(t). Déterminer la constante de temps et en déduire la valeur de l'inductance L. Exercice 5 : Variation du couple résistant sur l arbre d un moteur à courant continu Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale à 220 V. La charge mécanique accouplée sur l arbre présente un couple résistant de moment noté C r. Caractéristiques du moteur : ésistance de l induit : = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l inductance de l induit est négligée. Le groupe tournant présente un moment d inertie J = 0,28 kg.m². 1. Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l induit), KF, C r, J et la dérivée de la vitesse de rotation W. 2. À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U,, KF et W. 3. Déduire des deux relations précédentes l équation différentielle reliant W (et d t ) avec C r et les dt éléments caractéristiques du moteur et de la charge. Exercices régimes transitoires Page 3 sur 6 TS2 ET

4 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour C r = C r1 = 6 N.m puis C r = C r2 = 10 N.m. À l instant t = 0, le moment du couple résistant passe de C r1 à C r2. La solution de l équation différentielle de t la question 3 est de la forme t = Ae B. 5. Déterminer la constante de temps t à partir de l équation différentielle. 6. Donner la valeur numérique de B puis déterminer la constante A. 7. eprésenter l évolution de W en fonction du temps. Exercice 6 : Étude du courant dans la charge d un hacheur série On considère le dispositif représenté ci contre (les composants sont supposés parfaits) : K est commandé à la fermeture de 0 à αt et à l ouverture de αt à T. 1. Indiquer la valeur de u(t) entre 0 et αt puis entre αt et T (la conduction est ininterrompue). 2. Établir l équation différentielle reliant u(t), i(t) et les éléments du montage. Déterminer l expression littérale de la constante de temps τ. U i(t) u(t) L E 3. Étude entre 0 et αt La solution de l équation différentielle est de la forme i t =A 1 e t B 1 a. eprésenter le schéma équivalent du montage. i(t) L b. Pour le schéma représenté ci contre : exprimer i(t) en fonction de U, E et. En déduire la valeur de B 1. c. Pour t = 0, i(0) = I min. Déterminer l expression de A 1. U u(t) E d. Écrire la solution de l équation différentielle sur cet intervalle de temps. 4. Étude entre αt et T La solution de l équation différentielle est de la forme i t =A 2 e t B 2. a. eprésenter le schéma équivalent du montage. b. Pour ce schéma, exprimer i(t) en fonction de U, E et. En déduire la valeur de B 2. c. Pour t = αt, i(αt) = I max. Déterminer l expression de A 2. d. Écrire la solution de l équation différentielle sur cet intervalle de temps. 5. Détermination de I max a. À partir de l équation trouvée à la question 3.d, trouver une relation entre I min et I max, les éléments du montage et α et T. b. À partir de l équation trouvée à la question 4.d, trouver une autre relation entre I min et I max, les éléments du montage et α et T. c. Déduire de ce qui précède une relation entre I max, E,, α, et T. Exercices régimes transitoires Page 4 sur 6 TS2 ET

5 Exercice 7 On considère le circuit LC ci contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant u c (t) et ses dérivées première et seconde,, L, C et u(t). 2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des éléments du circuit. 3. Pour quelle valeur c de obtient on le régime critique? Quelle est l'allure de la réponse à un échelon si = 3000 W? L = 150 mh, C = 470 nf 4. On relève l'évolution de u c (t) lorsque u(t) est un échelon de 0 à 10 V pour = 500 W et = 1000 W. Parmi les trois graphes suivants : Lequel (ou lesquels) ne correspond pas à cette évolution? Lequel (ou lesquels) correspond au régime pseudo périodique? Lequel (ou lesquels) correspond au régime apériodique? Lequel correspond à 500 W? à 1000 W? Exercice 8 On considère le circuit LC ci contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant i L (t) et ses dérivées première et seconde,, L, C et i(t). 2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des éléments du circuit. 3. Pour quelle valeur c de obtient on le régime critique? 4. Comment évolue le facteur d'amortissement lorsque augmente? 5. i(t) est un échelon de 0 à 10 A, quelle sera la valeur de i L (t) en régime établi? L = 0,15 H, C = 470 nf Exercices régimes transitoires Page 5 sur 6 TS2 ET

6 Exercice 9 Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous tension U réglable. La charge mécanique accouplée sur l'arbre présente un couple résistant constant de moment noté C r (le moment du couple de pertes est négligé). Caractéristiques du moteur : ésistance de l'induit : 2,5 W Constante de couple : KF = 16, N.m Moment d'inertie du groupe : J = 5890 g.cm 2 Une inductance L est placée dans le circuit de l'induit. 1. Équation mécanique Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l'induit), KF, C r, J et la dérivée de la vitesse de rotation W (en rad/s). 2. Équation électrique À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U,, L, KF et la vitesse de rotation W (l'inductance du circuit d'induit n'est pas négligeable). 3. Équation différentielle pour la vitesse de rotation a. Extraire l'expression de I de l'équation de la question 1. b. À partir de cette expression et de l'équation de la question 2, montrer que l'équation différentielle permettant de déterminer la vitesse de rotation s'écrit K J d K dt L J d 2 K dt =U.C r 2 K c. Mettre l'équation précédente sous la forme normalisée et exprimer la pulsation propre et le coefficient d'amortissement en fonction des caractéristiques de la machine. Calculer ces deux éléments pour une inductance de 40 mh puis 100 mh. 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour une tension d'induit de 30 V puis 60 V si le couple résistant est égal à 1,2 N.m. 5. Les courbes suivantes représentent la réponse à un échelon de 30 V à 60 V pour 40 mh puis 100 mh. a. Quelle courbe correspond à 100 mh (les axes verticaux sont gradués en rad/s)? b. Si l'induit du moteur est alimenté par un redresseur commandé, quel est l'avantage de placer une bobine de lissage d'inductance élevée en série avec l'induit? Quel est l'inconvénient? Exercices régimes transitoires Page 6 sur 6 TS2 ET