Chapitre 1: Calcul des intérêts

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1 Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur appredra à: Calculer la valeur acquise par u capital placé durat ue période à u taux d itérêt omial doé; Calculer la valeur acquise par u capital placé à itérêts composés durat plusieurs périodes; Ce chapitre se divise e 5 sectios: Calcul des itérêts Prêt sur ue période d itérêt Notatio des actuaires et otatio mathématique Valeur acquise et valeur actuelle à itérêt composé Valeur acquise après u ombre o-etier de périodes U fichier Excel est préparé pour faire des calculs relatifs aux problèmes. Cliquer ici pour aller chercher ce fichier. Accès à ue série de problèmes sur le chapitre 1. Retour au pla de cours Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

2 Sectio 1.1 : Calcul des itérêts Défiitios : 1- Itérêt : coût de locatio de l arget pour avoir le droit d utiliser (jouir de) l arget pedat u temps doé. 2- Dates d itérêt : dates où les itérêts sot versés. 3- Période d itérêt : période etre 2 dates d itérêt. O emprute 1000$ le 1 er mars Si o rembourse 1100$ le 1 er mars 2002 Itérêt = 100$ Date d itérêt = 1 er mars 2002 Période d itérêt = 1a 2- Si o paye 50$ le 1 er septembre 2001 pour pouvoir poursuivre l emprut et qu o rembourse 1050$ le 1 er mars 2002 Dates d itérêt = 1 er septembre 2001 et 1 er mars périodes de 6 mois U prêt qui s éted sur plusieurs périodes peut-être vu comme ue suite de prêts, chacu état sur ue seule période : Empruter 1000$ le 1 er mars 2001, puis 1- Payer 50$ le 1 er septembre 2001 et 1050$ le 1 er mars 2002; ou rembourser 1050$ puis empruter 1000$ au 1 er septembre 2001 et rembourser 1050$ au 1 er mars Rembourser 0$ le 1 er septembre 2001 et 1102,50$ le 1 er mars Défiitio : Le fait d'additioer les itérêts à la dette porte le om de capitalisatio des itérêts. Chapitre 1 Sectio suivate Auto-évaluatio 1.1 Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

3 Sectio 1.2 : Prêts sur ue période d itérêt Remarque : O emprute 100$, sur lesquels o doit rembourser 0,04$ par dollar empruté tous les 6 mois 1- Après 6 mois, o doit 104$ soit 100$ * 0,04 2- Après 12 mois, o doit 108,16$ soit 104$ * 0,04 (si o e paie pas le premier itérêt de 4$) Taux d itérêt = 8% capitalisé 2 fois par a. Défiitios : 1- Taux d itérêt omial = c est le taux d itérêt auel j ommé par ue istitutio, lorsque ce taux e tiet pas compte de la capitalisatio des itérêts. Das l exemple précédet, 8% est u taux omial. 2- Taux d itérêt périodique = le ombre i tel que i $ soit le motat d itérêt crédité à la fi d ue période pour u prêt (emprut) de 1$ j effectué au début de la période, i= m lorsqu il y a m capitalisatios par aée. Das l exemple précédet, le taux périodique est de 4%. O pourrait aussi avoir : Taux périodique = Taux omial Nombre de périodes das l' aée Défiitios : 1- Capital = le motat d arget prêté (ou empruté) 2- Valeur acquise = capital + itérêts 3- Capitalisatio = le fait d additioer les itérêts au capital pour produire de l itérêt. O parlera de taux j capitalisé soit mesuellemet, trimestriellemet, semestriellemet, etc. Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

4 (Voir plus haut) Capital = 100$ Valeur acquise e 1 a = 108,16$ Formule fodametale des itérêts simples : Si 1$ rapporte i $ e itérêts e 1 période, la valeur acquise par u capital de M$ e ue période sera de M*(1+i) ou M*(1+dj) où d = logueur de la période e aées et j = taux d itérêt omial. NOTE : Si o emprute (dépose) u motat A d ue (das ue) istitutio fiacière et si o rembourse (recueille) u motat B après périodes de capitalisatio de l itérêt alors la différece B A est l itérêt payé (gagé) pedat ces périodes de capitalisatio si aucu itérêt a été payé (prélevé) etre temps. Si le taux omial est de 24% et qu il y a 12 capitalisatios par aée, quel est l itérêt payé pour u prêt de 1000$ pedat u mois? Solutio : S il y a 12 capitalisatios par a, le taux par mois est de 24%/12 = 2%. Chaque dollar empruté occasioera 0,02$ d itérêt par mois. Puisqu il y a 1000$ d emprutés, il y aura u itérêt de 20$ à payer à la fi du mois. Chapitre 1 Sectio suivate Auto-évaluatio 1.2 Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

5 Sectio 1.3 : Notatio des actuaires et otatio mathématique Pour calculer la logueur d de la période, il y a deux possibilités : 1- Utiliser les foctios caledrier d'excel O peut etrer ue date das ue cellule d Excel. Il faut alors s assurer que le format de la cellule correspod bie au format de date désiré. O peut pour cela utiliser la foctio DATE() d Excel. O peut faire des soustractios de dates das Excel. Il faut alors s assurer que le format de la cellule correspod bie à u format umérique. (Voir fichier Excel, p. Calcul de d) 2- U mois = u douzième d aée Tout au log de ce cours, ous coviedros que chaque mois a ue durée de 1/12 d aée. Notatio : O ote par j m ou (j, m) le taux omial lorsqu il y a m capitalisatios de l itérêt das ue aée. O peut dresser le tableau suivat des périodes les plus courates : Périodicité des Durée d ue période Nombre de Taux périodique itérêts (d) périodes e 1 a Mesuelle d =1/12 m = 12 i = j/12 Trimestrielle d =1/4 m = 4 i = j/4 Semestrielle d =1/2 m = 2 i = j/2 Auelle d =1 m = 1 i = j Quel est le taux d itérêt périodique si j 4 = (j, 4) = 12 %? La durée d ue période est ¼ d aée. Le taux d itérêt périodique est doc 12%/4 = 3%. Quel est le taux d itérêt omial correspodat à u taux d itérêt par mois de 1,75 % Il y a 12 périodes das l aée. Doc j 12 =(j, 12) = 12*1,75% = 21 % Chapitre 1 Sectio suivate Auto-évaluatio 1.3 Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

6 Sectio 1.4 : Valeur acquise et valeur actuelle à itérêts composés Lorsque les itérêts sot additioés au capital pour la période suivate, o parle d itérêts composés. Pour calculer la valeur acquise par u capital M pedat périodes au taux i, il suffit de faire le calcul : V M (1 i) (1 i)... (1 i) M (1 i ) A période près ue A périodes près deux Après périodes La otatio courammet utilisée est la suivate : V M ( 1 i). FV = «Future Value» = Valeur acquise = VC (das EXCEL) PV = «Preset Value» = Valeur actuelle = VA (das EXCEL) Ou FV = PV (1+i). VC=VA(1+I). VC = VA (1+i) Quelle est la valeur acquise par 100$ e 4 as au taux de 8% capitalisé semestriellemet? Solutio : j 2 = 8% d où le taux d itérêt périodique par semestre i = 4 as = 8 semestres soit 8 périodes FV PV(1 i ) 100 * (1,04) 8 136,86$. 8 2 % = 4% La foctio fiacière EXCEL VC (pour Valeur Cumulée) permet d effectuer plus facilemet ce calcul. Pour y accéder, o commece par cliquer avec le bouto gauche de la souris sur l icôe f x das la barre d outils stadard. Puis o sélectioe das la catégorie de foctios Fiaces la foctio VC. Il y a 5 paramètres pour utiliser cette foctio. Les 3 premiers sot obligatoires et les 2 deriers sot facultatifs. Nous verros leur utilisatio das des chapitres ultérieurs. L appel de la foctio VC se fait comme suit : VC(i,, PMT, PV, Type) où i PMT PV Taux périodique Nombre de périodes Mettre 0 ou laisser e blac Valeur actuelle Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

7 Type Facultatif (laisser e blac ou mettre 0) Repreos l exemple précédet : Quelle est la valeur acquise par 100$ e 4 as au taux de 8% capitalisé semestriellemet? Solutio : Il suffit d utiliser la foctio VC(4%, 8, 0, 100, 0) et Excel doera ue valeur de 136,86$. Le sige égatif s explique par le fait que l arget «voyagera» das le ses opposé. Il faut déposer 100$ pour pouvoir retirer 136,86$. (Voir fichier Excel, p. Calcul des itérêts et Itérêts composés) Avec la calculatrice TI BA II Plus, o peut obteir le même résultat e faisat la séquece de touches suivate : 1.04 y x 8 = x 100 = et le résultat apparaitra à l écra. Ou ecore, o peut utiliser la feuille de calcul TVM de la calculatrice : Effacer la mémoire de la calculatrice : 2 ND CLR TVM Etrer le taux périodique d itérêt : 4 I/Y Etrer le ombre de périodes : 8 N Etrer la valeur actuelle (e égatif pour avoir le résultat positif : -100 PV Efi, calculer la valeur acquise : CPT FV qui apparaitra e positif à l écra. Défiitio : Le facteur (1+ i) est appelé facteur de capitalisatio. Note : Das la formule VC =VA (1+i), il y a 4 variables soit VC,VA, i et. La coaissace de 3 de ces variables, ous permet de déduire la 4 ème. Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

8 1.4.1 Calcul de la valeur actuelle d u motat futur Méthode de calcul Défiitio : La valeur actuelle d'u capital est le motat qu'il faut placer aujourd'hui à u taux d itérêt doé pour obteir u motat voulu à u momet doé. Le calcul se fait à l'aide de la formule: FV PV ( 1 i) ou ecore VC = VA (1+i) O cherche la valeur actuelle (PV) ou (VA) coaissat le motat voulu (FV) ou (VC), le taux périodique (i) et le ombre de périodes (): PV FV ( 1 i) = FV (1+i) - Défiitio : Le facteur (1+ i) -1 est appelé facteur d actualisatio O veut disposer d u capital de 8000$ das 15 as e déposat aujourd'hui ue certaie somme d'arget das ue istitutio fiacière qui verse de l itérêt au taux d itérêt auel de 10%. Quelle somme faut-il déposer? Solutio: La période de capitalisatio de l itérêt est l'aée, doc =15. Le taux d itérêt périodique est le taux d itérêt auel, doc i=10%. Le motat désiré das 15 as est de 8000$, doc FV=8000$. PV ,14 15 (1,10) La foctio fiacière EXCEL VA permet d effectuer plus facilemet ce calcul. Pour y accéder, o commece par cliquer avec le bouto gauche de la souris sur l icôe f x das la barre d outils stadard. Puis o sélectioe das la catégorie de foctios Fiaces la foctio VA. Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

9 Il y a 5 paramètres pour utiliser cette foctio. Les 3 premiers sot obligatoires et les 2 deriers sot facultatifs. Nous verros leur utilisatio das des chapitres ultérieurs. L appel de la foctio VA se fait comme suit : VA(i,, PMT, FV, Type) où i Taux périodique Nombre de périodes PMT Mettre 0 ou laisser e blac FV Valeur acquise Type Facultatif (laisser e blac ou mettre 0) Repreos l exemple précédet : O veut disposer d u capital de 8000$ das 15 as e déposat aujourd'hui ue certaie somme d'arget das ue istitutio fiacière qui verse de l itérêt au taux d itérêt auel de 10%. Quelle somme faut-il déposer? Solutio : Il suffit d utiliser la foctio Excel VA(10%, 15, 0, 8000, 0) et Excel doera la valeur de 1915,14. Là ecore la répose est égative car l arget voyage e ses iverse. Pour pouvoir retirer 8000$ das 15 as, il faut commecer par déposer 1915,14$ aujourd hui. Voir fichier Excel, p. Valeur actuelle. A l aide de la calculatrice, o peut obteir le même résultat avec la séquece de touches suivates : 8000 ( 1.1 y x 15 ) = et le résultat apparaitra. Ou ecore, o peut utiliser la feuille de calcul TVM de la calculatrice : Effacer la mémoire de la calculatrice : 2 ND CLR TVM Etrer le taux périodique d itérêt : 10 I/Y Etrer le ombre de périodes : 15 N Etrer la valeur acquise (e égatif pour avoir le résultat positif) FV Calculer la valeur actuelle : CPT PV Le résultat devrait apparaitre à l écra. Applicatio: Calcul de la valeur actuelle d'ue dette payable das le futur Lorsqu'ue dette doit être remboursée par u versemet uique qui aura lieu das quelques périodes, la valeur de cette dette au momet préset est la valeur actuelle de ce versemet au taux d itérêt coveu du prêt. Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

10 Ex. Ue dette porte itérêt au taux d itérêt j 2 = (j,2) = 12% et doit être remboursée par u versemet de 3000$ das u a et demi. S'il 'y a pas de péalité pour payer u remboursemet aticipé, combie faut-il verser aujourd hui pour payer cette dette? Solutio: La période est le semestre. Doc e u a et demi il y a 3 périodes. Le taux d itérêt périodique est i=6%. Le versemet est de FV=3000$. PV ,86 3 La valeur de PV est doc doée par: (1,06) ou par VA(6%; 3; 0; -3000; 0) Applicatio: Valeur actuelle d'u bééfice à veir Lorsqu'o doit évaluer aujourd'hui u projet qui rapportera u certai bééfice das l'aveir, l'évaluatio doit correspodre à la valeur actuelle du bééfice selo le taux d'actualisatio coveu. O suggère u placemet qui demaderait d'ivestir $ tout de suite et qui rapporterait $ das 3 as. Doit-o accepter, sachat qu'il est possible d'obteir u taux d itérêt de 10% par aée pour des prêts qui garatisset la dispoibilité à tout istat du capital? Solutio: O cherche le motat qu il faut placer à la baque aujourd'hui à 10% par aée pour avoir $ das 3 as. La période est l'aée doc =3 et i=10%. La valeur de FV est de $: PV ,09 3 O aura ce motat e déposat aujourd'hui (1,10) Ce projet, s il était accepté, ferait doc perdre 232,91$ à l'ivestisseur lorsque la locatio de l'arget est faite à 10% par aée Calcul du taux d itérêt périodique Lorsqu'o cherche à détermier à quel taux d itérêt o doit placer u motat PV pour qu'il soit de valeur FV après périodes, o utilise la formule Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

11 Chapitre 1 : Calcul des itérêts et comparaiso de taux FV PV(1 i) (1 i) FV PV i FV PV 1/ 1. La foctio fiacière EXCEL TAUX permet d effectuer plus facilemet ce calcul. Pour y accéder, o commece par cliquer avec le bouto gauche de la souris sur l icôe f x das la barre d outils stadard. Puis o sélectioe das la catégorie de foctios Fiaces la foctio TAUX. Il y a 5 paramètres pour utiliser cette foctio. Le premier, le deuxième et le troisième sot obligatoires et les 2 restats sot facultatifs. Nous verros leur utilisatio das des chapitres ultérieurs. L appel de la foctio TAUX se fait comme suit : TAUX(, VPM, VA, VC, Type) où Nombre de périodes VPM Mettre 0 ou laisser e blac VA Valeur actuelle VC Valeur acquise Type Facultatif (laisser e blac ou mettre 0) Remarque : Les valeurs acquise et actuelle doivet être de sige opposé. O place 1000$ à itérêt composé durat u a. O accumule aisi 120$ d'itérêt. Quel est le taux d itérêt omial de ce placemet si la capitalisatio est trimestrielle? Solutio: 1/ i = 2,8737% Le taux d itérêt omial est doc de j 4 = 4*2,8737% = 11,5%. Voir fichier Excel, p. Taux périodique. O peut obteir le même résultat à l aide de la séquece de touches suivate sur la calculatrice : 1.12 y x 0.25 = - 1 = et le résultat apparaitra. Ou ecore, o peut se servir de la feuille de calcul TVM de la calculatrice : Effacer la mémoire de la calculatrice : 2ND CLR TVM Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

12 Chapitre 1 : Calcul des itérêts et comparaiso de taux Etrer la valeur actuelle : 1000 PV. Etrer le ombre de périodes : 4 N Etrer la valeur acquise (e égatif si PV est positif) FV Calculer le taux périodique d itérêt : CPT I/Y Le résultat devrait apparaitre à l écra Calcul du ombre de périodes de capitalisatio de l itérêt O cherche ici, à partir de PV, FV et i la valeur de correspodate : E partat de FV PV 1 i FV 1 i o trouve PV. FV log 1 i log E utilisat les logarithmes, o obtiet PV log FV PV d où log 1 i La foctio fiacière EXCEL NPM permet d effectuer plus facilemet ce calcul. Pour y accéder, o commece par cliquer avec le bouto gauche de la souris sur l icôe f x das la barre d outils stadard. Puis o sélectioe das la catégorie de foctios Fiaces la foctio NPM. Il y a 5 paramètres pour utiliser cette foctio. Les 3 premiers sot obligatoires et les 2 deriers sot facultatifs. Nous verros leur utilisatio das des chapitres ultérieurs. L appel de la foctio NPM se fait comme suit : NPM(i, VPM, VA, VC, Type) où i Taux périodique VPM Mettre 0 ou laisser e blac VA Valeur actuelle VC Valeur acquise Type Facultatif (laisser e blac ou mettre 0) Remarque : Les valeurs acquise et actuelle doivet être de sige opposé. O place 1000$ à itérêt composé das u compte qui porte itérêt au taux de 10% par aée. Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

13 Au bout de combie de temps ce motat aura-t-il doublé? Combie de temps faudra-t-il pour qu il triple? Solutio : O a ici que PV=1000$ et i = 10%. Pour avoir FV = 2000$ o utilisera la foctio NPM d Excel : NPM(10%, 0, 1000, -2000, 0) = 7,27 aées. i.e. après 7 as o aura pas ecore 2000$ et après 8 as o aura plus que 2000$. Pour avoir FV = 3000$ o utilisera la foctio NPM d Excel : NPM(10%, 0, 1000, -3000, 0) =11,52 aées. i.e. après 11 as o aura pas ecore 3000$ et après 12 as o aura plus que 3000$. Nous verros das la sectio suivate commet calculer exactemet le momet où o atteidra la valeur de 2000$. Avec la calculatrice, o pourra obteir le même résultat à l aide de la séquece de touches suivate : Effacer la mémoire de la calculatrice : 2ND CLR TVM Etrer la valeur actuelle : 1000 PV Etrer le taux périodique : 10 I/Y Etrer la valeur acquise (de sige opposé à celui de PV) : /- FV Calculer le ombre de périodes : CPT N et le résultat (7,27) apparaitra à l écra. Chapitre 1 Sectio suivate Auto-évaluatio 1.4 Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

14 Sectio 1.5 : Valeur acquise e u ombre o-etier de périodes Pour calculer la valeur acquise par u capital e ue fractio de période, la pratique diffère selo les coditios du prêt. O utilisera parfois la formule des itérêts simples et parfois la formule des itérêts composés. Voir fichier Excel, p. Nombre fract. de période Calcul à l aide de la formule des itérêts composés O utilise la formule des itérêts composés même si est o-etier Si le taux d itérêt omial est de j 2 = 12%, et si la dette est de $ lors d ue date d itérêt, elle sera de (1 + 6% ) 1/6 u mois plus tard. Les itérêts serot doc de 195,17$. Calcul à l'aide de la formule des itérêts simples Lorsque c'est la formule d'itérêt simple qui est utilisée sur la derière fractio de période, c'est le taux d itérêt omial multiplié par la fractio de période (mesurée e aée) qui est le taux d itérêt périodique pour la fractio de période. Si le taux d itérêt omial est de j 2 =12%, et si la dette est de $ lors d'ue date d'itérêt, elle sera de (1+12%/12) u mois plus tard. Les itérêts serot doc de 200,00$. Remarque : Gééralemet, la formule des itérêts simples, lorsqu'elle est utilisée, s'applique sur la derière fractio de période. Pour la partie etière du ombre de périodes, les itérêts sot habituellemet capitalisés et c'est doc la formule des itérêts composés qui devra être utilisée. Si le taux d itérêt omial est de j 2 = (j, 2) =12%, et la dette est de $ lors d'ue date d'itérêt, elle sera de 20000(1,06) 3 (1+3*12%/12) vigt et u mois plus tard. Les itérêts serot doc de 4534,93$. Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,

15 Ex : O place 1000$ à itérêt composé das u compte qui porte itérêt au taux de 10% par aée. Au bout de combie de temps ce motat aura-t-il doublé si les itérêts sot calculés, pedat la derière période avec 1. La formule des itérêts composés? 2. La formule des itérêts simples? Solutio : 1) O a vu das la sectio précédete que le ombre de périodes devrait être de 7,27 aées lorsqu o utilise la foctio NPM das Excel. 0,27 aée représete 100 jours. Il faudra doc 7 as et 100 jours pour que ce motat ait doublé. 2) Si c est la formule des itérêts simples qui s applique pour la derière fractio de période, ous devos d abord calculer quelle est la somme d arget accumulée après 7 as et puis les itérêts maquats pour la derière période : Après 7 as o aura accumulé 1000*(1,1) 7 =1948,72$. Il maquera doc 51,28$. E appliquat la formule des itérêts simples : 1948,72 * (1+d*10%) =2000 Doc d=0,263 aée ou 96 jours. Doc, si la formule des itérêts simples s applique, il faudra 4 jours de mois. Chapitre 1 Série de problèmes 1 Auto-évaluatio Écoles des Hautes Études Commerciales, Motréal, Québec,