9. Équations différentielles

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1 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise. Ainsi, une équation différentielle d'ordre n est une équation de la forme R(x ; ; '; '';... ; (n) ) = 0. Toute fonction qui vérifie, pour tout x, l'équation R(x ; ; '; '';... ; (n) ) = 0 est une solution de cette équation. Résoudre une équation différentielle consiste à déterminer l'ensemble des fonctions qui en sont solutions. Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes phsiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées. Exemples 1. x' = 0 est une équation différentielle du premier ordre. L'une des solutions est donnée par = x. L'ensemble des solutions est donné par l'ensemble des fonctions de la forme = λx, avec R.. '' + 4 = 0 est une équation différentielle d'ordre. L'une des solutions est donnée par = sin(x), une autre par cos(x). Les solutions de cette équation sont de la forme = λcos(x) + µsin(x),, R. 3. ''' + ' e x = 0 est une équation différentielle d'ordre 3. La fonction = e x est solution de cette équation. Exercice 9.1 Trouvez les équations différentielles qui ont pour solution générale les fonctions = f(x) données ci-dessous, α, β et γ étant des constantes. a. = α x b. = αe x c. = sin(x + α) d. = 1 x e. = α x + β x + γ 9.. L'équation ' = f(x) Une équation différentielle d'ordre 1 R(x ; ; ') = 0 admet, sous certaines conditions, une solution qui dépend d'une constante réelle arbitraire (constante d'intégration). Pour caractériser l'une des fonctions f, solution de R(x ; ; ') = 0, il faut se donner une condition initiale. Méthode de résolution Soit l'équation ' = f(x). Si F est une primitive de f, alors la solution générale de l'équation proposée est donnée par = F(x) + α, R. Exemple ' = cos(x) admet comme solution générale = 1 sin x, R.

2 64 CHAPITRE 9 Exercice 9. a. ' = 0 b. ' + x = 0 c. ' = sin(x)cos(x) d. ' = 1 1 x e. ' = x f. ' = x 1 1 x x L'équation à variables séparables ' g() = h(x) Méthode de résolution Une équation différentielle du tpe ' g() = h(x) est dite «à variables séparables». Si G et H sont des primitives respectives de g et h, la solution d'une telle équation est donnée par : G() = H(x) + α, R Exemple L'équation (x 1)' = 0 peut se ramener à ' 1 = x 1 ou d 1 dx = x 1 d = x 1 dx à condition d'écarter provisoirement la solution = 0. En intégrant, on obtient : c ln ln =ln x 1, R * c'est-à-dire ln =ln x 1, d'où la solution = x 1, R. Exercice 9.3 a. ' sin(x) = cos(x) b. + (x+1)' = 0 c. x' k = 0, k R * d. ' = x 1 e. x ' + = 3 f. ' = x g. ' xe - = 0 h. = ln(') 9.4. L'équation homogène '=g x Méthode de résolution Pour résoudre l'équation ' =g x, on pose =z ( = xz et ' = z + xz') : on obtient x ainsi une équation différentielle à variables séparables. Exemple x' = x + est une équation homogène, car elle peut s'écrire : ' =1 x. En posant = xz, on obtient l'équation z + xz' = 1 + z, d'où z '= 1 x. Sa solution générale est z = ln x + α, R. D'où la solution générale de l'équation proposée : =x ln x Exercice 9.4 a. x' = x b. x ' = x c. x + x' = 0 d. (x )' = x

3 L'équation linéaire ' + p(x) = q(x) Méthode de résolution Soit l'équation à résoudre ' + p(x) = q(x). 1. Calculer =e p x dx. µ est appelé facteur d'intégration.. d Poser = q x. dx 3. Intégrer les deux côtés de l'équation obtenue en et résoudre pour. Exemple Résoudre ' 4x = x. Comme p(x) = 4x, le facteur d'intégration vaut =e 4 x dx =e x. Remarque Cette équation aurait aussi pu se résoudre par séparation des variables. On pose d x e =x e x. dx On intègre : e x = x e x dx= 1 4 e x C D'où l'on tire : = 1 x C e 4 Exercice 9.5 Exercice 9.6 a. ' + tan(x) = sin(x) b. x ' + = 1 c. ' x 3 = x d. ' sin(x) cos(x) = cot(x) e. (x+1)' = (x+1) 3 f. x' = ln(x) Résolvez les équations suivantes avec les conditions initiales indiquées : a. x' = x, (0.5) = 0 b. x' + = 1, (1) = c. x' + = xcos(x), =1 d. ' + = e x, (0) = 0 e. ' = + 3x +, (0) = 3 f. x' + 3 = x, ( 1) = Applications des équations différentielles d'ordre 1 Géométrie Trouver une courbe du plan passant par le point (0; 3) et dont la pente de la tangente au point (x; ) est de x. On a ' = d dx = x et la condition initiale (0) = 3. On doit résoudre l'équation différentielle à variables séparables : d = xdx. D'où : d= x dx =x C. De la condition initiale, on déduit que C = 9. La courbe est donc = 3 3 x 7. Exercice 9.7 Trouvez une courbe du plan passant par le point indiqué et dont la pente de la tangente au point (x; ) est également donnée. a. (1; 1) ; pente = 3 x b. (; 0) ; pente = x e

4 66 CHAPITRE 9 Mélanges 1 lb = 1 livre = 453,6 grammes 1 gal = 1 gallon = 3.8 litres (USA) ou 4.5 litres (GB) Au temps t = 0, un réservoir contient 4 lb de sel dissous dans 100 gal d'eau. Supposons qu'une saumure contenant lb de sel par gallon d'eau s'écoule dans le réservoir à un débit de 5 gal/min et que la solution obtenue s'échappe du réservoir aussi avec un débit de 5 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir après 10 min (t = 10)? Soit (t) la quantité de sel (en livres) au temps t. Commençons par trouver une expression de d, la vitesse de variation de la quantité de sel au temps t. 10 lb de sel pénètrent chaque minute dans le réservoir, et On a donc d t =10 0. d t =10 est une équation différentielle linéaire d'ordre 1. 0 On a aussi la condition initiale (0) = 4. Résolvons. =e 1/0 =e t/0 d e t/0 =10e t /0 e t /0 = 10e t /0 =00 e t /0 C 5 t en sortent. 100 t /0 t =00 C e D'après la condition initiale, 4 = 00 + C C = 196. Donc, t = e t/0. Après 10 minutes, la quantité de sel sera 10 =00 196e 0.5 =81.1 lb. Exercice 9.8 Exercice 9.9 Exercice 9.10 Au temps t = 0, un réservoir contient 5 lb de sel dissous dans 50 gal d'eau. Supposons qu'une saumure contenant 4 lb de sel par gallon d'eau s'écoule dans le réservoir à un débit de gal/min et que la solution obtenue s'échappe du réservoir aussi avec un débit de gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur. a. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir au temps t? b. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir après 5 min? Un réservoir d'une capacité de 1000 gallons contient initialement 500 gal d'une saumure contenant 50 lb de sel. Au temps t = 0, de l'eau pure est ajoutée à un débit de 0 gal/min et la solution obtenue est évacuée avec un débit de 10 gal/min. Combien de sel aura-t-il dans le réservoir quand il commencera à déborder? La loi de Torricelli donne une relation entre la vitesse d'écoulement d'un liquide par l'orifice d'un récipient et la hauteur de liquide au-dessus de l'orifice. Soit h(t) la hauteur de liquide contenu dans le récipient au-dessus de l'orifice au temps t et A(h) l'aire de la surface du liquide quand la hauteur du liquide est h. On a la relation : A h dh = k h où k est une constante positive dépendant de certains facteurs, comme la viscosité du liquide et l'aire de la section du trou d'écoulement. Au temps t = 0, un réservoir clindrique d'un mètre de raon contient 4 mètres d'eau audessus de l'orifice. La constante k vaut a. Trouvez h(t). b. Après combien de minutes le réservoir arrêtera-t-il de se vider?

5 67 Croissance exponentielle En mathématiques, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance exponentielle (ou géométrique) lorsque la croissance en valeur absolue de la population est proportionnelle à la population existante, c'est-à-dire lorsque le taux de croissance est constant. Une croissance exponentielle s'exprime en mathématiques : pour un phénomène discret (on prend des mesures à intervalle régulier) sous forme d'une progression géométrique, pour un phénomène continu (on essaie de calculer ce qui se passe entre deux mesures consécutives) sous forme d'une fonction exponentielle. Soit (t) la population en question. Comme la croissance en valeur absolue de la population est proportionnelle à la population existante, cela se traduit par d =k où k est le facteur de proportionnalité, avec (0) = 0. Cette équation est à variables séparables et peut donc être résolue comme vu plus haut. d = k ln = kt + C =e kt C =e C e kt De la condition initiale (0) = 0, il suit que e C = 0. Par conséquent, la solution de l'équation différentielle d =k est = 0 e k t. Exercice 9.11 Exercice 9.1 Selon les données de l'onu, la population mondiale au début de l'année 1990 était d'environ 5.3 milliards d'habitants, avec un taux de croissance de % par an. En utilisant le modèle de la croissance exponentielle, estimez la population mondiale au début de l'année 015. Le nombre de bactéries dans une culture croît de manière exponentielle au taux de 1% par heure. En supposant qu'il ait actuellement 10'000 bactéries, trouvez... a. le nombre de bactéries au temps t ; b. le nombre de bactéries après 5 heures ; c. le temps nécessaire pour obtenir 45'000 bactéries Ce qu'il faut absolument savoir Résoudre une équation à variables séparables Résoudre une équation homogène Résoudre une équation linéaire