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1 I Barycentre de deux points pondérés Barycentre Les propriétés et définitions énoncées sont valables dans le plan et dans l espace 1) Définition : Définition et propriété : A et B sont deux points, a et b deux réels tels que a + b 0 Il existe un point G unique tel que : a GA + b GB = 0 Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( A, a) et ( B, b) Voir démonstration n 1 Point méthode à compléter : pour construire le barycentre G de ( A, a) et (B, b) avec a + b 0, on peut écrire : AG = Voir exercice n 1, 2, 3 Point info à compléter : Position du point G barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b 0 G appartient au segment [AB] si et seulement si. G est plus proche du point affecté du coefficient 2) Propriétés : Propriété : Si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b 0, alors pour tout réel k 0, G est le barycentre de (A, ka) et (B, kb) Voir exercice n 4 Définition et propriété : L isobarycentre de deux points A et B est le barycentre de (A, a) et (B, a) avec a non nul ; ce point est le milieu du segment [AB] Propriété : Si G est le barycentre de (A,a) et (B, b) avec a + b 0, alors pour tout point M, a MA + b MB = ( a+b) MG Voir démonstration n 2 et ex n 5 3) Coordonnées d un barycentre : Dans un repère (O ; i, j ) du plan, on considère les points A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) et G (x G ; y G ) le barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b 0 a Alors OG b = OA + OB et en passant aux coordonnées : x a+b a+b G = a x A + b x B et y a+b G = a y A + b y B a+b Dans un repère (O ; i, j, k ) de l espace, une troisième coordonnées intervient z G = a z A + b z B a+b Voir exercice n 6 et 8 4) Comment démontrer que trois points sont alignés? Voir exercice n 7 et 14 On peut établir que l un des points est barycentre des deux autres.

2 Démonstrations du cours et exercices d application Démonstration n 1 : Exercice n 1 : [AB] est un segment de longueur 6 cm. Dans chaque cas construire le barycentre indiqué. a) G 1 barycentre de (A, 2) et (B, 1) b) G 2 barycentre de (A, -3) et (B, -1) c) G 3 barycentre de (A, 7) et (B, -1) d) G 4 barycentre de (A, 1) et (B, -5) Exercice n 2 : Dans chaque cas, caractériser le point G de la droite (AB) par une égalité vectorielle, puis exprimer G comme barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B, b) Exercice n 3 :Dans chaque cas prévoir si le barycentre G des deux points pondérés donnés appartient à la demi-droite [Ax), au segment [AI], au segment [IB] ou à la demi-droite [By), puis construire G a) (A, 2) et (B, 3 2) b) (A, ) et (B, ) c) (A, 5 4 ) et (B,- 3 2 ) Exercice n 4 : Dans chaque cas, exprimer le point G comme barycentre de (A, a) et (B, b) avec a et b entiers relatifs, puis le construire. a) G est le barycentre de (A, - 3 ) et (B, -2 3 ) b) G est le barycentre de (A, ) et (B, ) c) G est le barycentre de (A, ) et (B, ) d) G est le barycentre de (A, ) et (B, ) Démonstration n 2 : Exercice n 5 : A et B sont deux points distincts du plan. a) Construire le barycentre G de (A, 1) et (B, 2) b) Construire le point M tel que MA + 2 MB = AB Exercice n 6 : Dans un repère du plan, on donne les points A (3 ; 2) et B (-1 ; 4). G est le barycentre de (A, 3) (B, -2) et G le barycentre de (A, -2), (B, 3) a) Calculer les coordonnées de G et G b) Vérifier que [AB] et [GG ] ont le même milieu

3 Exercice n 7 : Dans un repère du plan, on donne les points : A ( 1 ; 1 2 ), B ( 3 ; 2) et C (-1 ; ) a) Démontrer que A, B et C sont alignés b) Déterminer les réels a et b tels que C soit le barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b = 1 Exercice n 8 : Dans un repère de l espace, on donne les points A (-1 ; 0 ; z), B (x ; 3 ; -1 ) et G (1 ; 2 ; 3 ) G est le barycentre de (A, a) et B, 3). Calculer les réels a, x et z. Exercice n 9 : ABC est un triangle. a) Construire le barycentre de (A, 2), (B,-1) et (C, 2 ) b) Construire le barycentre de (A, 1), (B, 2) et (C, 3 ) c) Construire le barycentre de (A, 2 3 ), (B,1 ) et (C, -1 ) 2 Exercice n 10 : ABCD est un rectangle G est le barycentre de (A, 1), (B, 2), (C, 1) et (D, 1). On se propose de construire G de trois façons différentes. 1 a) Construire le barycentre H de (A, 1 ), (C, 1 ) et (D, 1 ) 2 a) Construire le barycentre M de (A, 1 ) et (B, 2), puis le barycentre N de (C, 1 ) et (D, 1) 3 a) Construire le barycentre K de (N, 2 ) et (B, 2) Exercice n 11 : ABCD est un tétraèdre, G est le point défini par : AG = 1 6 AB AC AD a) Exprimer G comme barycentre de B, C, D affectés de coefficients à préciser b) Justifier l appartenance de G au plan (BCD) Exercice n 12 : Dans un repère du plan, on donne les points : A (3 ; -2), B (4 ; 2) et C (5 ; 1) 1) Calculer les coordonnées : a) de l isobarycentre G du triangle ABC b) du barycentre G de (A, 1), (B, -2) et (C, 3) 2) Déterminer les coordonnées du point D tel que G soit le barycentre de (A, 1), (B, -2) et (D, 2) Exercice n 13 : ABC est un triangle. M, N et P sont les points tel que : AM = 3 AB BN = 1 4 BC AP = - AC a) Exprimer M, N, P comme barycentre de deux points choisis parmi A, B, C et affectés de coefficients à préciser b) Démontrer que les droites (AN), (BP), (CM) sont concourantes en G barycentre des points (A, 2), (B, -3) et (C, -1) Exercice n 14 : ABC est un triangle. I est le point tel que AI = 2 AB. K est le symétrique de A par rapport à C 3 et J le milieu de [BC] On se propose de démontrer de différentes façons que les points I, J et K sont alignés Méthode avec les barycentres Exprimer I, K et J comme barycentres de deux points pondérés dont les coefficients sont à préciser Quel est le barycentre de (A, 1), (B, 2), (B, -2) et (C, -2)? Méthode vectorielle Exprimer les vecteurs IJ et JK en fonction des vecteurs AB et AC Méthode analytique Dans le repère (A ; AB, AC ), donner les coordonnées des points B et C, puis des points I, J et K

4 II Barycentre de trois points pondérés 1) Définition : Définition et propriété : A, B et C sont trois points, a, b et c trois réels tels que a + b + c 0 Il existe un point G unique tel que : a GA + b GB + c GC = 0 Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( A, a), ( B, b) et (C, c) Remarque : les propriétés et définitions énoncées s étendent au cas de quatre points pondérés Point méthode à compléter : pour construire le barycentre G de ( A, a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c 0, on peut écrire : AG = Point info à compléter : l égalité vectorielle précédente prouve que les points A, B, C et D sont.. Voir exercice n 9, 11 2) Propriétés : Propriété : Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c 0, alors pour tout réel k 0, G est le barycentre de (A, ka), (B, kb) et (C, kc) Propriété d associativité : Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c 0 et si H est le barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b 0, alors G est le barycentre de (H, a + b ) et (C, c) Démonstration : Voir exercice n 10 Définition et propriété : L isobarycentre de trois points A, B et C est le barycentre de (A, a), (B, a) et (C, a) avec a non nul ; ce point est le centre de gravité du triangle ABC Propriété : Si G est le barycentre de (A,a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c 0, alors pour tout point M, a MA + b MB + c MC= ( ) MG 3) Coordonnées d un barycentre : Dans un repère du plan, on considère les points A (x A ; y A ), B (x B ; y B ), C (x C ; y C ) et G (x G ; y G ) le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c 0 x G = a x A + b x B + c x C et y G = a y A + b y B + c y C Dans un repère de l espace, une troisième coordonnées intervient : Voir exercice n 12 z G = a z A + b z B + c z C 4) Comment démontrer que des droites sont concourantes? G étant le barycentre de trois points ou plus, la propriété d associativité permet de définir G de plusieurs façons comme barycentre de deux points et donc d établir qu il appartient à plusieurs droites connues. Ces droites sont donc concourantes en G Voir exercice n 13

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