DROITES ET PLANS DE L ESPACE

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1 DROITES ET PLANS DE L ESPACE I Caractérisations barycentriques 1 Cas de la droite et du segment Exercice n 1 : Soient A et B deux points de l espace 1 Démontrer que, si M est un point de la droite (AB, alors M est un barycentre des points A et B 2 Démontrer que, si un point M est un barycentre des points (A, a et (B, b où a et b sont des réels, alors M appartient à la droite (AB Exercice n 2 : Soient A et B deux points de l espace 1 Démontrer que si M est un point du segment [AB] alors M est un barycentre des points A et B affectés de coefficients de même signe 2 Démontrer que, si un point M est un barycentre des points (A, a et (B, b où a et b sont des réels de même signe, alors M appartient au segment [AB] La droite (AB est l ensemble des barycentres des points A et B Le segment [AB] est l ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de même signe 2 Cas du plan Exercice n 3 : Soient A, B et C trois points non alignés de l espace 1 Démontrer que, si M est un point du plan (ABC, alors M est un barycentre des points A, B et C 2 Démontrer que, si un point M est un barycentre des points (A, a, (B, b et (C, c où a, b et c sont des réels, alors M appartient au plan (ABC Le plan (ABC est l ensemble des barycentres des points A, B et C Exercice n 4 : ABCDEFGH est un cube, I est le milieu de [AB] et J celui de [BC] K est le barycentre des points (A, 1, (B, 2, (C, 1, (H, 1 Prouver que les points K, I, J et H sont coplanaires 1

2 3 Cas du triangle Exercice n 5 : Soient A, B et C trois points non alignés de l espace On note le plan A;AB, AC et l intérieur du triangle ABC, côtés compris rapporté au repère ( 1 Démontrer qu un point M de de coordonnées ( x;y appartient à si, et seulement si, x 0, y 0 et x + y 1 2 a Démontrer qu un point M de est barycentre de A, B et C affectés de coefficients positifs ou nuls b Démontrer que si M est un barycentre de A, B et C affectés de coefficients de même signe alors M appartient à L intérieur du triangle, côtés compris, est l ensemble des barycentres des points A, B et C affectés de coefficients de même signe II Représentations paramétriques L espace est muni d un repère orthonormé ( O;i, j,k 1 Représentations paramétriques d une droite Soient Ax ( 0 ;y 0 ;z 0 un point, u ( α; β; γ un vecteur non nul et (D la droite D (A,, droite passant par A et de vecteur directeur u u ( 1 Soit M x;y;z un point de (D Quelle égalité vectorielle peut-on écrire? 2 En déduire une traduction analytique Ax ;y ;z et de vecteur directeur La droite (D passant par ( u ( α; β; γ est l ensemble des points M( x;y;z tels que : x =α t+ x0 ( S y = β t+ y0 t z =γ t + z0 Le système (S est appelé une représentation paramétrique de la droite O;i, j,k et on dit que t est le paramètre (D dans le repère ( Exercice n 6 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les A 1;2; 3 etb 1; 1;1 points ( ( 2

3 Exercice n 7 : Considérons les droites : x = t+ 1 y = 2t 3 t et (d x = 3t+ 2 y = t 1 t z = t + 2 z = t + 1 Étudier l intersection des deux droites et (d, si elle existe 3 Représentations paramétriques d un segment, d une demi-droite A et B sont deux points distincts de l espace et on note AB = u L appartenance d un point M au segment [AB] ou bien à la demi-droite [AB s obtient en adaptant l énoncé de la conclusion cidessus : 1 pour le segment, il suffit de remplacer dans le système (S : «t» par «t 0;1» 2 pour la demi-droite [AB, il suffit de remplacer dans le système (S : «t» par «t 0; +» III Intersections de droites et de plans 1 Intersection de deux plans (P 1 et (P 2 a Le point de vue géométrique (P 1 et (P 2 confondus (P 1 et (P 2 strictement parallèles (P 1 et (P 2 sécants (P 1 (P 1 = (P 2 (P 2 (P 1 (P 2 b Le point de vue algébrique Lorsque ( a;b;c et ( a';b';c' M( x ; y ; z de l espace tels que : ( S dit «définie par le système (S des deux équations» ne sont pas proportionnels, l ensemble des points ax + by + cz + d = 0 est une droite que l on a'x + b'y + c'z + d' = 0 3

4 Exercice n 8 : Considérons les plans d équations : P :2x+ y z 2 = 0 et P' :x+ 3y+ 7z 11 = 0 ( ( 1 Démontrer que les deux plans sont sécants 2 Donner une représentation paramétrique de la droite, intersection de ces deux plans Exercice n 9 : O;i, j,k, Dans un repère orthonormé ( les plans, et ont respectivement pour équations cartésiennes x+ y+ z+ 3= 0,2x+ 2y+ 2z+ 7 = 0 et3x y+ 2 = 0 1 Déterminer un vecteur normal à chaque plan 2 Étudier l intersection des plans et 3 Étudier l intersection des plans et 2 Intersection d un plan et d une droite ( ( est contenue dans ( ( est strictement parallèle à ( ( et sont sécants ( x A Exercice n 10 :, 1 Dans un repère orthonormé ( O;i, j,k le plan a pour équation : 5x + y z + 3 = 0 x = t et la droite pour représentation paramétrique : y = 1 6t t z = 3 t Étudier l intersection de la droite et du plan 2 Étudier l intersection de la droite passant par A2 ( ;1; 4 directeur u2 ( ; 2;4 et du plan d équation : x + 2y z + 2 = 0 et de vecteur IV Intersection de trois plans 1 Le point de vue géométrique, et sont trois plans de l espace 4

5 Ils n ont pas de point commun (d (d Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan A 2 Le point de vue algébrique O;i, j,k Dans un repère orthonormé (, les plans, et ont respectivement pour équations cartésiennes ax + by + cz + d = 0, a'x + b'y + c'z + d' = 0 et a"x + b"y + c"z + d" = 0, où a, b, c puis a, b, c puis a, b, c ne sont pas tous les trois nuls Pour étudier l intersection ax + by + cz + d = 0 des trois plans, on peut résoudre le système : a'x + b'y + c'z + d' = 0 a"x+ b"y + c"z+ d" = 0 Ce système, d après le point de vue géométrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinité de triplets solutions Exercice n 11 : 1 Dans un repère orthonormé ( O;i, j,k, le plan a pour équation : 2 x y + z 7 = 0, le plan a pour équation : x + 2y z 6 = 0, le plan a pour équation : x+ y+ 2z 11 = 0 Étudier l intersection de ces trois plans, le plan a pour équation : 2 x + 3y 2z 2 = 0, 2 Dans un repère orthonormé ( O;i, j,k le plan a pour équation : 2x + 12y 7z 2 = 0 Étudier l intersection de ces trois plans 4x 3y + z 4 = 0, le plan a pour équation : 5