Cours nombres complexes : exercices

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1 Cours nombres complexes : exercices TS / Dans tout cet exercice i est tel que i =. ) Vérifier les égalités suivantes : a) i + 3 i = 3 9i b) + i (7 8i) = 9 + 9i c) (3 + i) 5i(7 + 4i) = 6 33i d) (5 + i)( + 4i) = 8 + 6i e) ( + 3i) = 5 + i. f) ( + i)( 5 5 i) = ) Ecrire sous la forme a + ib : a) ( + i)( 3 + 7i)( i) b) (6 + i) ( 3i) c) ( 3i) ( 8 + 6i) d) i e) + i f) 3i Exercice Exercice Le but de cet exercice est de démontrer qu étant donnés deux nombres complexes z = a + ib et z = a + ib on a l équivalence : ) Démontrer la condition suffisante. zz = 0 z = 0 ou z = 0. ) Nous allons dans cette question démontrer la condition nécessaire. On suppose zz = 0 et on va montrer que l on a z = 0 ou z = 0. a) On munit le plan d un repère orthonormé (O, u, v ) et on considère les vecteurs w (a, b) et w (a, b ). Que suffit-il alors de démontrer? b) A l aide du critère analytique de colinéarité compléter l équivalence suivante (par une condition portant sur a, b, a et b ): Les vecteurs w et w sont colinéaires si et seulement si. c) A l aide du critère analytique d orthogonalité compléter l équivalence suivante (par une condition portant sur a, b, a et b ): Les vecteurs w et w sont orthogonaux si et seulement si. d) Déterminer l écriture algébrique de zz et conclure.

2 Exercice 3 Remarque : dans tout cet exercice on donnera la ou les solutions sous forme algébrique. ) Résoudre dans C l équation suivante : iz + z 4 + 6i = 0 ) Résoudre dans C l équation suivante : 3) a) Résoudre (dans C) l équation suivante : b) Résoudre (dans C) l équation suivante : z i = i. (z i + 5)(z + i 3) = 0. (z i) (4i ) = 0. 4) a) Déterminer l écriture algébrique de (3 i). b) En déduire les solutions dans C de l équation z (5 i) = 0. 5) a) Déterminer l écriture algébrique de (i). b) En déduire que l équation z + 4 = 0 admet deux solutions dans C et les déterminer. 6) Résoudre (dans C) l équation suivante : z 6iz 9 = 0. Exercice 4 ) Soient w (z) et w (z ) deux vecteurs du plan complexe. Soient λ et µ deux nombres réels. Déterminer l affixe du vecteur λ w + µ w. ) Soient N(z) et P (z ) deux points du plan complexe. Soit I le milieu du segment [NP ]. Déterminer l affixe du point I (que l on pourra noter z I ). 3) Soit Q le point du plan complexe tel que le quadrilatère ONQP est un parallélogramme. a) Par quelle égalité vectorielle est caractérisé le point Q? b) En déduire l affixe de Q.

3 Exercice 5 ) Soit z = a+ib un nombre complexe. Le point image M de z est construit sur la figure ci-dessous. a) Construire sur la figure précédente le point N tel que ON soit d affixe z. Quelle est l affixe de N? b) Soient k le vecteur du plan d affixe a et l le vecteur du plan d affixe ib. Construire sur la figure précédente les représentants d origine O des vecteurs k et l. OM + ON c) Construire sur la figure précédente le représentant d origine O du vecteur. Que constate-t-on? Quelle égalité du cours retrouve-t-on? OM ON d) Construire sur la figure précédente le représentant d origine O du vecteur. Que constate-t-on? Quelle égalité du cours retrouve-t-on? ) Soient z et z deux nombres complexes. Les points images de z et z, notés M et M, sont construits sur la figure ci-dessous : a) Construire sur la figure précédente : 3

4 ˆ Le point N tel que ON soit d affixe z; ˆ Le point P tel que OP soit d affixe z ; ˆ Le point Q tel que OQ = OM + OM ; ˆ Le point image R de z + z. b) Construire le représentant d origine O du vecteur ON + OP. Que constate-t-on? Quelle égalité du cours retrouve-t-on? Exercice 6 Soit z un nombre complexe. Le point image M de z est construit sur la figure ci-dessous. ) a) Construire sur la figure précédente le point N, point image de z. b) Comparer OM et ON. Quelle égalité du cours retrouve-t-on? ) a) Construire sur la figure précédente le point P, point image de z. b) Comparer OM et OP. Quelle égalité du cours retrouve-t-on? Exercice 7 Soient z et z deux nombres complexes. Les points images de z et z, notés M et M, sont construits sur la figure ci-dessous : ) Construire sur la figure précédente le point M, point image de z + z. ) Comment se traduit l inégalité z + z z + z? 4

5 Exercice 8 ) Soit z un nombre complexe. Compléter les énoncés suivants : (a) z est un réel non nul si et seulement si arg(z) =... modulo.... (b) z est un réel strictement positif si et seulement si arg(z) =... modulo.... (c) z est un réel strictement négatif si et seulement si arg(z) =... modulo.... (d) z est un imaginaire pur si et seulement si arg(z) =... modulo.... ) Démontrer l équivalence (b). Indication : procéder par double implication. 3) Démontrer l équivalence (c). Indication : procéder par double implication. Exercice 9 Soit θ un nombre réel. Soit z le nombre complexe défini par z = cos(θ) + i sin(θ). ) Exprimer z en fonction de cos(θ) et sin(θ) (et i). ) a) Déterminer z et en déduire z. b) A l aide de la formule de Moivre, déterminer un argument de z. c) En déduire une autre expression de z. 3) Quels résultats retrouve-t-on? Exercice 0 Soit z un nombre complexe. Le point M du plan complexe d affixe z est représenté ci-dessous. 5

6 ) Construire sur la figure précédente le point M d affixe z. ) Construire géométriquement (sur la figure précédente) le point M d affixe zz. 3) Déterminer graphiquement l affixe de M. Quel résultat du cours retrouve-t-on? Exercice ) Soit θ un nombre réel. Démontrer les égalités suivantes : ˆ cos(θ) = eiθ + e iθ. ˆ sin(θ) = eiθ e iθ. i ) a) Soit θ un élément de ]0; π[. Déterminer le module et l argument du nombre complexe suivant : z = e iθ e iθ. b) Soit θ un élément de ] π ; π [. Déterminer le module et l argument du nombre complexe suivant : z = + e iθ. c) Soit θ un élément de ] π; 0[. Déterminer le module et l argument du nombre complexe suivant : z = e iθ. Exercice ( ) Soit z un nombre complexe. Soit z le nombre complexe défini par z 3 = i z i( 3 ). On considère l application f du plan complexe dans lui-même qui à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z. Le but de cet exercice est de déterminer la nature de f et ses éléments caractéristiques. ) Montrer que f admet un unique point fixe A. On notera z A l affixe de A. ) Conclure. Indication : soustraire membre à membre les deux lignes du système : ( z = i ) 3 z i( 3 ) ( z A = i ) 3 z A i( 3 ) 6