PERFORMANCES DES SYSTEMES AUTOMATISES

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1 PERFORMANCES DES SYSTEMES AUTOMATISES I Analyse d'un sysème Démarches d'éude Ch.II Performances des sysèmes asservis - p1 Le chapire précéden a mis en évidence la schémaisaion srucurelle de la commande d'un sysème asservi, le schéma-blocs ou diagramme foncionnel. Cee éape es le poin de dépar de l'analyse d'un sysème asservi. Les sysèmes asservis son des sysèmes commandés, élecromécaniques, régis par les lois de la dynamique, e de l'élecricié. La mise en équaion d'un sysème condui à un sysème d'équaions différenielles. Le bu de la modélisaion d'un asservissemen, es de parvenir à déerminer la commande du sysème qui remplisse les exigences du cahier des charges foncionnel (Analyse foncionnelle, caracérisaion des foncions de service aendues, e foncions de service réalisées). Le schéma ci-dessous présene la démarche globale d'éude d'un sysème asservi, avec les deux méhodes conduisan au diagramme foncionnel (la méhode héorique qui passe par la mise en équaions, e la méhode "praique" qui consise à effecuer des essais). Si le sysème es simple SYSTEME MATERIEL ASSERVI Si le sysème es complexe Mise en équaions Sysème d'équaions Expérimenaion Solliciaion du sysème par un signal Modélisaion Idenificaion Schémaisaion foncionnelle (schéma-blocs) Simulaion Solliciaion par un signal ypique Comporemen du sysème Réponse du sysème Analyse des performances Réglage e correcion, en foncion des performances souhaiées

2 II Les signaux d'enrée ypiques Ch.II Performances des sysèmes asservis - p2 1. Inroducion Dans le cas général les signaux d'enrée on une forme quelconque e inconnue. Néanmoins pour des besoins d'analyse on défini des signaux de forme simple don on pourra calculer les effes en sorie d'un sysème. Parmi ces signaux, les plus courans son l'échelon e la sinusoïde. Pour l'éude des sysèmes solliciés par un signal, on disingue deux phases : le régime ransioire, phase duran laquelle le sysème "réagi" au signal, puis le régime permanen ou éabli, qui correspond au comporemen lorsque +. Remarque : Tous les signaux seron considérés nuls pour < Signal d'enrée Dirac δ() (Cf. ableau des ransformées de Laplace) Mahémaiquemen, le Dirac es défini comme éan le signal d'ampliude infinie, pour une durée nulle : e() = δ() = 0 pour < 0 e > 0. En praique on ne peu que générer une impulsion proche du Dirac, qui modélise alors une acion qui s'exerce pendan un emps rès cour (Choc, secousse ). e() = 0 La réponse à une impulsion de Dirac, réponse impulsionnelle, es rès inéressane en héorie, permean de caracériser parfaiemen le sysème. En praique il es difficile de procéder à ce essai. 3. Signal d'enrée consan e() = A : échelon Soi le signal échelon défini ci-conre : pour < 0 e() = 0 pour > 0 e() = A Foncion non définie en = 0 e() A = 0 Lorsqu'on applique un échelon à l'enrée d'un sysème, il s'agi d'une bruale variaion, passage de zéro à une ampliude A. La sorie du sysème ne peu suivre insananémen cee brusque variaion, e on observe une phase ransioire, qui me en évidence ceraines caracérisiques de la chaîne foncionnelle. Par ailleurs, on peu observer le comporemen en régime éabli, sabilié ou divergence, e définir ainsi d'aures caracérisiques du sysème. La réponse à un échelon es appelée réponse indicielle. Remarque : foncion exisence u(), définie par u() = 0 pour < 0 e u() = 1 pour > 0. Cee foncion es uile si le signal e() n'es pas nul pour < 0, on uilisera alors [e() x u()].

3 4. Signal rampe Soi le signal rampe défini ci-conre : Ch.II Performances des sysèmes asservis - p3 e() pour < 0 e() = 0 pour > 0 e() = A Foncion non définie en = 0 = 0 Ce signal va permere d'observer la façon don le sysème sui l'évoluion du signal d'enrée, e mere ainsi en évidence le phénomène de viesse. C'es rès uile pour caracériser les sysèmes suiveurs. 5. Signal d'enrée sinusoïdal Soi le signal sinusoïdal défini ci-conre : pour < 0 e() = 0 pour > 0 e() = A sin (ω 0 ) Foncion non définie en = 0 e() = 0 L'hypohèse de sysème linéaire, assure que la sorie d'un sysème sollicié par une enrée sinusoïdale, es égalemen sinusoïdale. La sorie es de même fréquence que l'enrée, mais possède une ampliude différene, e présene un déphasage par rappor au signal d'enrée. Il s'agi de la réponse fréquenielle ou harmonique. L'éude porera sur l'analyse du sysème en régime éabli. Elle sera faie à parir de la variaion de la fréquence du signal d'enrée (variaion de fréquence de zéro à l'infini). 6. Signaux complexes Tou signal peu s'écrire comme la somme de signaux simples. Le principe réside dans l'uilisaion d'un signal élémenaire (échelon, rampe ou sinusoïde) e dans la prise en compe du reard (voir exercice 1 en fin de chapire, e chapire "Transformée de Laplace"). III Performances des sysèmes Il s'agi mainenan d'analyser la réponse d'un sysème à un signal, que ce soi lors d'une expérimenaion ou d'une simulaion. 1. Inroducion : crières de performance Une simulaion (ou expérimenaion) ayan éé réalisée, il es alors nécessaire d'analyser la réponse du sysème obenue. Si une expérience a éé menée en parallèle, on peu confroner la réponse expérimenale à la réponse simulée. La seule comparaison visuelle des courbes ne suffi pas (voir idenificaion).

4 Signal d'enrée Sysème Ch.II Performances des sysèmes asservis - p4 Signal de sorie réponse du sysème Les crières permean de qualifier e quanifier les performances du sysème son : La sabilié La précision La rapidié L'amorissemen L'asservissemen idéal es un sysème ayan une bonne sabilié e bonne précision, le régime ransioire doi êre rapide e bien amori. Ces crières de performances ne son pas oujours compaibles. Par exemple en mécanique, un processus rapide es léger, il a ainsi une faible inerie e risque d'êre peu amori voire insable. D'aure par si on veu améliorer la précision, on raidi l'asservissemen e on risque de omber alors sur un phénomène d'insabilié. Tou l'ar de l'auomaicien es de réaliser une parie commande permean de respecer au mieux ces crières. 2. La sabilié Un sysème es sable si pour un signal d'enrée borné, la sorie rese bornée. Le bouclage d'un sysème peu rendre celui-ci insable. Les courbes ci-dessous illusren les deux cas de figure. Sysèmes insables (solliciaion échelon) Sysèmes sables (solliciaion échelon)

5 3. La précision Ch.II Performances des sysèmes asservis - p5 La précision caracérise l'apiude d'un sysème à aeindre la valeur de sorie souhaiée. L'écar enre la consigne (sorie aendue) e la sorie (sorie réelle) se caracérise donc de la manière suivane (enrée e sorie homogènes) : ε() = e() s() e on envisage la valeur de ε pour (régime permanen) L'écar es exprimé dans l'unié de la grandeur de sorie, ou encore en %. On peu alors envisager l'écar à la sorie du comparaeur, ce qui es équivalen. On disingue différens ypes d'erreur, en foncion du signal d'enrée. #Précision saique, erreur saique : la réponse indicielle (échelon d'ampliude E 0 ) perme la mise en évidence de l'erreur saique. On verra par la suie que suivan la naure du sysème cee erreur peu ne pas êre nulle, e que des correcions (augmenaion du gain, du nombre d'inégraions...) peuven réduire ou annuler cee erreur. #Ecar de raînage (ou de poursuie), erreur en viesse : la réponse à une rampe perme la mise en évidence de l'erreur en poursuie d'un sysème suiveur. On caracérise comme indiqué sur la figure ci-conre, l'erreur de raînage, que l'on observe en régime permanen. L'erreur de raînage ou erreur en viesse, paricipe aussi à la précision d'un sysème, que l'on peu améliorer par des correcions. 4. La rapidié La rapidié es caracérisée par le emps que me le sysème à réagir à une brusque variaion du signal d'enrée. Cependan, la valeur finale éan le plus souven aeine de manière asympoique (sysème sable), on reien alors comme principal crière d'évaluaion de la rapidié d'un sysème, le emps de réponse à n%. En praique, on uilise le emps de réponse à 5% (T r 5%) appelé aussi emps d'éablissemen, c'es le emps mis par le sysème pour aeindre sa valeur de régime permanen à ± 5% près e y reser. Le emps de réponse à 5% caracérise la durée de la phase ransioire. C'es une des caracérisiques imporanes des sysèmes bouclés. On cherchera souven à diminuer ce emps de réponse, sans que cela soi au dérimen d'aures performances.

6 Ch.II Performances des sysèmes asservis - p6 5. L'amorissemen L'amorissemen es caracérisé par le rappor enre les ampliudes successives des oscillaions de la sorie. Plus ces oscillaions s'aénuen rapidemen, plus le sysème es amori. Pour caracériser la qualié de l'amorissemen on peu reenir deux crières : # le aux de dépassemen, qui caracérise l'ampliude maximale des oscillaions : D 1 : premier dépassemen 1 : insan du premier dépassemen s( ) : valeur asympoique de la sorie en régime permanen. On exprime le dépassemen en % : s( ) s( ) % = s( ) 1 D1 100

7 Ch.II Performances des sysèmes asservis - p7 Pour un sysème c'es le premier dépassemen qui es le plus pénalisan. C'es celui qui es donc pris en compe. D'aure par nous verrons que si le premier dépassemen peu êre imporan, rès souven les dépassemens suivans son faibles, voire non mesurables. Néanmoins, pour idenifier un sysème à parir d'une réponse, nous verrons dans le cas d'un sysème du deuxième ordre que lorsque c'es possible D 2, D 3, peuven êre uiles. Nous verrons plus loin que si le crière privilégié es le emps de réponse, alors un dépassemen de la valeur finale es présen. Mais pour ceraines applicaions (l'usinage par exemple), un comporemen oscillan n'es pas auorisé e ou dépassemen es inaccepable. # Le emps de réponse à 5% qui correspond au emps de sabilisaion du sysème.

8 EXERCICES D'APPLICATION Ch.II Performances des sysèmes asservis - p8 Ex. 1 Obenion de signaux complexes 1. Signal créneau périodique A s() αt T On considère le signal d'ampliude A, appliqué sur un inervalle de emps donné [0 ; αt] puis nul sur inervalle [αt ; T]. On rend ensuie ce signal périodique en répéan le signal obenu sur l'inervalle [0 ; T] (voir la figure ci-dessous). On cherche alors à déerminer l'expression emporelle de ce signal, à parir de signaux simples Eude du signal de base S b () S b () Pour obenir ce signal, une soluion consise à le décomposer en deux signaux de durée infinie, don la somme sur [ 0 ; T ] es égale au signal voulu : A Signal de base αt T # Le premier signal aura pour ampliude consane A ; # Le second signal une ampliude de -A, mais sera reardé par rappor au premier. Représener ces deux signaux, donner l'expression emporelle de S b () en uilisan la foncion exisence Signal comple : écrire alors sous la forme d'un somme de 0 à n, l'expression emporelle du signal périodique (n périodes). 2. Signal riangulaire périodique On considère cee fois le signal défini par la figure ci-dessous. On cherche là encore à déerminer l'expression emporelle de ce signal, à parir de signaux simples. mt s() Quesion : en reproduisan la démarche du signal précéden, déerminer l'expression du signal riangulaire périodique. T

9 Ex. 2 Nacelle : performances du disposiif de compensaion Ch.II Performances des sysèmes asservis - p9 Reprenons le disposiif de compensaion, de la nacelle à flèche élescopique uilisée pour effecuer des ravaux en haueur. Dans le premier chapire nous avons pu éablir un schéma foncionnel du disposiif de compensaion par asservissemen de niveau. La modélisaion (ce aspec sera développé dans le chapire suivan) de ce asservissemen de posiion angulaire perme de réaliser des simulaions (voir -I. de ce chapire), e les courbes proposées sur les documens réponses, son des réponses du sysème (modèle) à des solliciaions. Elles permeen d'appréhender les performances de ce disposiif. Z() ( ) Perurbaions Consigne ( ) Adap. u c () (V) + - Ecar (V) Cor. (V) Disribueur Débi (m 3.s -1 ) Vérin hydraulique posiion (m) Chaîne Cinémaique + + θ() ( ) M θ () (V) Posiion angulaire ( ) Inclinomère Quesions : 1. Pour chaque simulaion, après avoir vérifié la sabilié du sysème, déerminer : # Le ype de signal d'enrée (consigne e/ou perurbaion) ; # Le crière de précision, erreur saique ou erreur de raînage ; # Le emps de réponse à 5% ; # Les dépassemens D i % lorsqu'il y en a (se limier aux dépassemens facilemen mesurables). Les déerminaions seron réalisées avec précision, les racés nécessaires porés sur les documens réponses. 2. Quelles peuven êre les causes des perurbaions proposées?

10 Ex. 2 Nacelle à flèche élescopique Ch.II Performances des sysèmes asservis - p10 # Simulaion 1 # Simulaion 2

11 # Simulaion 3 Ch.II Performances des sysèmes asservis - p11 # Simulaion 4